Prodotto scalare ed angoli

[niccoset]

Siano $ vec u $ e $vec v$ due versori. Determinare l'angolo tra $ vec u $ e $vec v$ sapendo che $ | 2 vec u - vec v| =sqrt3 $


Potreste dirmi come partire in un esercizio del genere.

[minomic]

Ciao, direi che si potrebbe fare così: \[\vec{u} = \vec{u_x}+\vec{u_y}\qquad\vec{v} = \vec{v_x}+\vec{v_y}\] \[
\vec{r} = 2\vec{u_x}+2\vec{u_y}-\vec{v_x}-\vec{v_y} = \left(2\vec{u_x}-\vec{v_x}\right) + \left(2\vec{u_y}-\vec{v_y}\right)
\] \[\left|\vec{r}\right| = \sqrt{\left(2u_x-v_x\right)^2 + \left(2u_y - v_y\right)^2} = \sqrt{3}\] \[
4u_x^2 + v_x^2 - 4u_xv_x + 4u_y^2 + v_y^2 - 4u_yv_y = 3
\] Ora, tenendo presente che \[u_x^2 + u_y^2 = 1 \qquad v_x^2 + v_y^2 = 1\] possiamo scrivere \[5 - 4u_xv_x - 4u_yv_y = 3\] ma \[u_xv_x + u_yv_y = \vec{u}\cdot \vec{v} = \left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right|\cos \theta = \cos \theta\] dato che $\vec{u}, \vec{v}$ sono versori. Quindi \[5-4\cos\theta = 3\] da cui la soluzione.

[niccoset]

Grazie. Comunque io ed un mio amico abbiamo trovato questa alternativa:
$ |2 vec u - vec v| = sqrt3 $
$ (2 vec u- vec v)*(2 vecu - vecv)=3 $
$ 4- 2uv - 2uv + 1=3 $
$ 4 vec u * vec v = 2 $
$ vec v * vec u= 1/2 $
Dalla definizione di prodotto scalare :
$ vec u* vec v= |vec u|* |vec v|*cos(hat(uv)) $
Da cui essendo u e v versori ricaviamo
$ cos(hat(uv))=1/2 $ e quindi $ hat(uv)=pi/3 $

[minomic]

Sì il procedimento è esattamente lo stesso, io l'ho solo scritto in maniera più lunga...