Continuità
Sia A spazio metrico con metrica d e y un punto di A. Utilizzando la metrica euclidea su R dimostrare che la funzione f: A->R definita da $f(x)=d(x,y)$ è continua.
Allora per definizione, f è una funzione continua in un punto $x_0$ se e solo se: $ AA epsi>0 EE del>0: d(x,x_0)
Allora per definizione, f è una funzione continua in un punto $x_0$ se e solo se: $ AA epsi>0 EE del>0: d(x,x_0)
Risposte
Nì... Devi provare che la funzione \(f_y: A\to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
f_y(x) := d(x,y)
\]
è continua rispetto alla topologia metrica di \(A\) e di \(\mathbb{R}\), cioé che per ogni fissato \(x_0\in A\) risulta:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\ \forall x\in A,\ d(x,x_0)<\delta\quad \Rightarrow \quad \left| f_y(x)-f_y(x_0)\right|<\varepsilon\; .
\]
Ed in realtà la distanza da un punto fissato (o da un insieme fissato) è addirittura lipschitziana, quindi uniformemente continua...
\[
f_y(x) := d(x,y)
\]
è continua rispetto alla topologia metrica di \(A\) e di \(\mathbb{R}\), cioé che per ogni fissato \(x_0\in A\) risulta:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\ \forall x\in A,\ d(x,x_0)<\delta\quad \Rightarrow \quad \left| f_y(x)-f_y(x_0)\right|<\varepsilon\; .
\]
Ed in realtà la distanza da un punto fissato (o da un insieme fissato) è addirittura lipschitziana, quindi uniformemente continua...
Ok, quindi avrei $| d(x,y) - d(x_0,y)| < epsi$ giusto?
Beh, sì, è quello che devi dimostrare.
Ok, grazie 
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