Il funtore [tex]\pi_1[/tex] è pieno?

[beltzer]

Il funtore [tex]\pi_1[/tex] è pieno?
ovvero per ogni omomorfismo [tex]f[/tex] tra i gruppi fondamentali di due spazi topologici [tex]X,Y[/tex] esiste una mappa continua [tex]g[/tex]da [tex]X[/tex] a [tex]Y[/tex] tale che l'omomorfismo indotto da [tex]g[/tex] sia [tex]f[/tex]?

[vict85]

In generale no: basta prendere spazi non connessi che coincidono in una componente connessa, ma tra cui non esiste un omomorfismo.

[beltzer]

Pensandoci, non vale neanche per spazi connessi per archi.
Infatti chiaramente è fedele e se fosse pieno rifletterebbe gli isomorfismi, cosa che sicuramente non fa.
Ma non riesco a trovare un esempio concreto di omomorfismo che non viene indotto da nessuna funzione continua.

[killing_buddha]

Pi_1 ha un aggiunto destro, e puoi rifrasare la sua pienezza in una proprietà dei morfismi di aggiunzione. Vedi se così ne vieni a capo...

[killing_buddha]

http://math.stackexchange.com/questions ... es-with-fu ci ho pensato un po' ma non sembra esista un esempio concettualmente minimale, e persino quello proposto lì mi sembra insoddisfacente

[killing_buddha]

E' in effetti sufficiente poca fatica per mostrare che se \(\bf C\) e' una categoria, e $X$ un oggetto tale che \(\hom(X,-)\) sia un funtore pieno, allora \(\hom(X,X)\) e' un insieme con un solo elemento (che e' costretto ad essere \(id_X\)).

Essendo falso che \(h{\bf Top}(S^1,S^1)\) sia un insieme con un solo elemento (ed essendo questa proprieta' piuttosto rara da avere in categorie "grosse"), direi che abbiamo finito.