Linearità e continuità (problema di comprensione)
Theorem 21.3 Munkres: Let \(f:X\rightarrow Y\). If the function \(f\) is continuous, then for every convergent sequence \(x_{n}\rightarrow x\) in \(X\), the sequence \(f(x_{n})\) converges to \(f(x)\). The converse holds if \(X\) is metrizable (ndr \(f(x_{n})\rightarrow f(x)\) for every convergent sequence \(x_{n}\rightarrow x\), then \(f\) is continuous).
Remark 2.15 Rudin: If \(x_{n}\) is a sequence in \(X\) such that the limits \(x_{n}\rightarrow x\) and \(f(x_{n})\rightarrow y\) exists, then \(y=f(x)\). E' una variante delle ipotesi del teorema del grafico chiuso e siamo in F-spaces quindi metrizzabili. Come mai dalla ipotesi 21.5 non segue subito la continuità senza dovere invocare la linearità di \(f\)? Semplicemente per exists di \(f(x_{n})\), giusto?
Remark 2.15 Rudin: If \(x_{n}\) is a sequence in \(X\) such that the limits \(x_{n}\rightarrow x\) and \(f(x_{n})\rightarrow y\) exists, then \(y=f(x)\). E' una variante delle ipotesi del teorema del grafico chiuso e siamo in F-spaces quindi metrizzabili. Come mai dalla ipotesi 21.5 non segue subito la continuità senza dovere invocare la linearità di \(f\)? Semplicemente per exists di \(f(x_{n})\), giusto?
Risposte
Non ho capito il tuo dubbio.
Forse io ho capito, per cui espongo un esempio idiot.
Considera la successione \(\displaystyle\left\{\frac{1}{n}\in]0;+\infty[\right\}_{n\in\mathbb{N}}\), essa converge nell'insieme \(\displaystyle[0;+\infty[\), considera la funzione continua \(\displaystyle f:x\in]0;+\infty[\to\frac{1}{x}\in]0;+\infty[\); poiché la data successione non converge in \(\displaystyle]0;+\infty[\), resta spiegato il remark dal Rudin e la correttezza del theorem dal Munkres.
Ho delucidato il tuo dubbio?
Considera la successione \(\displaystyle\left\{\frac{1}{n}\in]0;+\infty[\right\}_{n\in\mathbb{N}}\), essa converge nell'insieme \(\displaystyle[0;+\infty[\), considera la funzione continua \(\displaystyle f:x\in]0;+\infty[\to\frac{1}{x}\in]0;+\infty[\); poiché la data successione non converge in \(\displaystyle]0;+\infty[\), resta spiegato il remark dal Rudin e la correttezza del theorem dal Munkres.
Ho delucidato il tuo dubbio?
"vict85":
Non ho capito il tuo dubbio.
Come mai dall'ipotesi 2.15 più la metrizzabilità non segue subito la continuità e quindi c'è bisogno di passare dal teorema del grafico chiuso invocando anche la linearità fra le ipotesi. Il motivo sembra chiaro ma mi è capitato di trovarlo altre volte in cui ho fatto confusione quindi ho sviluppato una certa diffidenza, per cui vorrei una conferma.
"j18eos":
Forse io ho capito, per cui espongo un esempio idiot.
Considera la successione \(\displaystyle\left\{\frac{1}{n}\in]0;+\infty[\right\}_{n\in\mathbb{N}}\), questa converga nell'insieme \(\displaystyle[0;+\infty[\), considera la funzione continua \(\displaystyle f:x\in]0;+\infty[\to\frac{1}{x}\in]0;+\infty[\); poiché la data successione non converge in \(\displaystyle]0;+\infty[\), resta spiegato il remark dal Rudin e la correttezza del theorem dal Munkres.
Ho delucidato il tuo dubbio?
La successione converge sempre. Sia \(x_{n}\rightarrow x\), \(f(x_{n})\) non esiste quindi \(f(x_{n})\) non tende a \(f(x)\) e la continuità non è verificata, questo è il motivo. Bisogna trovare una funzione per cui vale 2.15 ma che non è continua.
Ma in 2.15 la funzione è continua oppure no?
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