[algebra lineare] funzione lineare
Siano assegnati i vettori v1 = (0; 3; 2), v2 = (2; 1;-2), v3 = (1; 2; 0) in R3.
(a) Si dica per quale valore di t esistono delle funzioni lineari $f : R3 -> R$ tali che f(v1) = 3,
f(v2) = 1 e f(v3) = t.
(b) Per il valore di t trovato nel punto (a), si scrivano le matrici (rispetto alle basi canoniche) di tutte
le funzioni lineari f che soddisfano le richieste indicate.
(c) Si determini l'intersezione dei nuclei di tutte le funzioni lineari associate alle matrici trovate al punto
(b).
Io ho svolto il punto a), mettendo in combinazione lineare i vettori v1,v2,v3 ed ho trovato il valore di t = -3.
Ora, non so però come svolgere il punto b), ed il punto c), qualcuno potrebbe aiutarmi? grazie!!
(a) Si dica per quale valore di t esistono delle funzioni lineari $f : R3 -> R$ tali che f(v1) = 3,
f(v2) = 1 e f(v3) = t.
(b) Per il valore di t trovato nel punto (a), si scrivano le matrici (rispetto alle basi canoniche) di tutte
le funzioni lineari f che soddisfano le richieste indicate.
(c) Si determini l'intersezione dei nuclei di tutte le funzioni lineari associate alle matrici trovate al punto
(b).
Io ho svolto il punto a), mettendo in combinazione lineare i vettori v1,v2,v3 ed ho trovato il valore di t = -3.
Ora, non so però come svolgere il punto b), ed il punto c), qualcuno potrebbe aiutarmi? grazie!!
Risposte
Ciao 
ho provato a risolvere l'esercizio in questo modo: dato che sappiamo le $ f(v_i) $ ho scritto che $ f(v_1)=3f(e_2)+2f(e_3)=3 $,
$ f(v_2)=2f(e_1)+f(e_2)-2f(e_3)=1 $, $ f(v_3)=f(e_1)+2f(e_2)=t $. Se risolvi il sistema con queste 3 equazioni hai che la condizione su t è che per $ t=2 $ esistono infinite applicazioni lineari che dipendono da $ f(e_3) $.
La matrice generica è $ (4/3f(e_3),-2/3f(e_3)+1, f(e_3)) $.
Dato che esistono infinite matrici( o infinite applicazioni) non riesco però a capire come determinare l'intersezione di tutti i ker.
Aspettiamo altri pareri
ho provato a risolvere l'esercizio in questo modo: dato che sappiamo le $ f(v_i) $ ho scritto che $ f(v_1)=3f(e_2)+2f(e_3)=3 $,
$ f(v_2)=2f(e_1)+f(e_2)-2f(e_3)=1 $, $ f(v_3)=f(e_1)+2f(e_2)=t $. Se risolvi il sistema con queste 3 equazioni hai che la condizione su t è che per $ t=2 $ esistono infinite applicazioni lineari che dipendono da $ f(e_3) $.
La matrice generica è $ (4/3f(e_3),-2/3f(e_3)+1, f(e_3)) $.
Dato che esistono infinite matrici( o infinite applicazioni) non riesco però a capire come determinare l'intersezione di tutti i ker.
Aspettiamo altri pareri
Anche a me esce come a Peter Pan.
A questo punto poniamo $f(e_3)=k$. Le nostre applicazioni lineari sono rappresentate dalla matrice $(4/3k,-2/3k+1,k)$.
Il loro nucleo ( in funzione di k) è la soluzione di $(4/3k,-2/3k+1,k) ( ( x ),( y ),( z) ) =0$, cioè il fascio
$4/3kx+(1-2/3k)y+kz=0$
Per trovare l'intersezione isolo k:
$((4/3)x-2/3y+z)k+y=0$
da cui la retta $ { ( y=0 ),( 4/3x + z=0):} $
Spero vada bene. Comunque, Circe, posti sempre esercizi interessanti
A questo punto poniamo $f(e_3)=k$. Le nostre applicazioni lineari sono rappresentate dalla matrice $(4/3k,-2/3k+1,k)$.
Il loro nucleo ( in funzione di k) è la soluzione di $(4/3k,-2/3k+1,k) ( ( x ),( y ),( z) ) =0$, cioè il fascio
$4/3kx+(1-2/3k)y+kz=0$
Per trovare l'intersezione isolo k:
$((4/3)x-2/3y+z)k+y=0$
da cui la retta $ { ( y=0 ),( 4/3x + z=0):} $
Spero vada bene. Comunque, Circe, posti sempre esercizi interessanti
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