Esercizio algebra lineare su applicazioni lineari

[migux_9127]

Salve a tutti. Vi chiedo un aiuto per questo esercizio

Dire se è possibile costruire un'applicazione lineare che soddisfi la seguente condizione


T: \( \Re ^2 \) \( \rightarrow \) \( \Re ^2 \)

tale che KerT = \( \Re \) $ ( ( 1 ),( 2 ) ) $ e T $ ( ( 2),( 3 ) ) $ = $ ( ( 5),( -2 ) ) $

come devo procedere?

Ho provato a considerare la base di \( \Re ^2 \) formata dai vettori $ ( ( 1 ),( 2 ) ) $, $ ( ( 2),( 3 ) ) $ e quindi ho applicato T così

T( $ ( ( x),( y ) ) $)= T(x $ ( ( 1 ),( 2 ) ) $+y$ ( ( 2),( 3 ) ) $)= x T $ ( ( 1 ),( 2 ) ) $)+y $ ( ( 5),( -2 ) ) $ = $ ( ( 5y),( -2y ) ) $

visto che T $ ( ( 1 ),( 2 ) )$ = $ ( ( 0),( 0 ) ) $ giusto?



perdonate l'ancora scarsa praticità con l'uso del codice.

[migux_9127]

Nessuna risposta? C'è qualcosa dell'esercizio che ho scritto che non è chiaro?

[Sk_Anonymous]

$ ((x),(y))=p ((1),(2)) +q((2),(3))=((p+2q),(2p+3q)) $
\(\displaystyle \begin{cases}p+2q=x\\2p+3q=y \end{cases}\)
\(\displaystyle\begin{cases} p=-3x+2y\\q=2x-y\end{cases} \)
$ ((x),(y))=(-3x+2y) ((1),(2)) +(2x-y)((2),(3)) $
$T((x),(y))=(-3x+2y) T((1),(2)) +(2x-y) T((2),(3)) =(-3x+2y)((0),(0))+(2x-y)((5),(-2))$
$T((x),(y))=((10x-5y),(-4x+2y))= ((10,-5),(-4,2)) cdot((x),(y))$
Matrice M associata a T :
$M=((10,-5),(-4,2))$
Verifica :
$ T((1),(2))= ((10,-5),(-4,2)) cdot ((1),(2))=((0),(0)) $
$ T((2),(3))=((10,-5),(-4,2)) cdot ((2),(3))=((5),(-2)) $

[migux_9127]

Chiarissimo. Grazie

[jitter1]

Siccome i vettori $(1,2),(2,3)$ formano una base e ho le immagini di entrambi, non ho già anche l'applicazione lineare, anche se riferita a questa base?