Prodotto tensoriale

[xnix]

salve a tutti, il mio libro riporta questo esempio di prodotto tensoriale applicato al vettore $x$; $(a$ tensore $b)(x)$ = $a_i b_j x_j e_i$

io non ho capito cosa vuole significare $x_j e_i$

[j18eos]

Se ho capito bene, dati i \(\displaystyle3\) vettori:
\[
\underline{a}=\sum_{i=1}^na_i\underline{e}_i:=a^i\underline{e}_i;\underline{b}=\sum_{i=1}^nb_i\underline{e}_i:=b^i\underline{e}_i;\underline{x}=\sum_{i=1}^nx_i\underline{e}_i:=x^i\underline{e}_i
\]
ove \(\displaystyle\{\underline{e}_i\}_{i\in\{1;...;n\}}\) è una base del dato spazio vettoriale (di dimensione finita \(\displaystyle n\)); definisce:
\[
\underline{a}\otimes\underline{b}(\underline{x}):=a^ib^jx_j\underline{e}_i
\]
secondo la precedente convenzione di Einstein sugli indici ripetuti!

Ti è più chiaro?

[xnix]

si conosco la convenzione di einstein ma non riesco a intuire il significato di $x_j$ e di $e_i$ ; $a^i b^j$ è la matrice delle componenti di $a$ e $b$ fissata una base ortonormale per ognuna di esse, ma $x_j$ e $e_i$ da dove vengono?

o $a^i b^j$ e $x_j$ sono delle componenti e $e_i$ è il vettore generato dall'applicazione?

[j18eos]

I vettori \(\displaystyle\underline{e}_i\) sono una base fissata, e \(\displaystyle\underline{x}\) è un generico vettore...

Non ho capito il tuo dubbio? Eppoi i vettori \(\displaystyle\underline{a}\) e \(\displaystyle\underline{b}\) sono generici?

[xnix]

"j18eos":
\[
\underline{a}=\sum_{i=1}^na_i\underline{e}_i:=a^i\underline{e}_i;\underline{b}=\sum_{i=1}^nb_i\underline{e}_i:=b^i\underline{e}_i;\underline{x}=\sum_{i=1}^nx_i\underline{e}_i:=x^i\underline{e}_i
\]

ti dispiacerebbe spiegarmi questo concetto passo passo?

[j18eos]

Ma che ci sarebbe da capire dopo quello che ho scritto in quel post!