Prodotto di dualità e forme bilineari

[Riccardo Desimini]

Ciao a tutti,
mi domandavo se esiste l'equivalente del prodotto di dualità \( \langle \cdot, \cdot \rangle \) nel caso in cui io voglia costruire un'applicazione che ha come elementi del dominio delle forme bilineari, cioè una dualità
\[ \langle \Lambda, \omega \rangle := \Lambda(\omega) \]
dove \( \Lambda \) è un'applicazione lineare e \( \omega \) è una forma bilineare.

Qualcuno sa dirmi qualcosa?

[killing_buddha]

Cio' che dici non sembra avere senso: cosa significa $\Lambda(\omega)$ se $\lambda$ e' un'applicazione lineare e $\omega$ una forma bilineare?

[Riccardo Desimini]

Intendo dire che \( \Lambda \) è un'applicazione (chiedo che sia lineare) che ha come dominio uno "spazio" di forme bilineari, non so se mi spiego; inoltre chiedo che \( \Lambda \) sia un funzionale lineare, cioè l'immagine \( \Lambda(\omega) \) è un elemento di un qualche campo \( \mathbb{K} \) (\( \mathbb{R} \) oppure \( \mathbb{C} \)), in modo da poter scrivere una dualità del tipo \( \langle \Lambda, \omega \rangle \).

[killing_buddha]

Beh, qualsiasi spazio vettoriale (mi limito alla dimensione finita) induce una dualita' canonica grazie al morfismo che valuta un vettore contro una forma lineare che se ne nutre.

Nel tuo caso, se \(V=\text{Bil}(A\times B,C)\) per opportuni spazi vettoriali $A,B,C$ su uno stesso campo $k$, stai cercando di definire la dualita' canonica di $V$; adesso pero' cosa ci vuoi fare? Se vuoi una descrizione in coordinate di come agisce questa applicazione bilineare in termini di basi su $A,B,C$ c'e' un conto di mezzo. Se sei interessato a delle proprieta' piu' intrinseche, forse puo' esserti utile caratterizzare $V$ in diversi modi, tutti conseguenza della proprieta' universale del prodotto tensore:
$$
V=\text{Bil}(A\times B,C)\cong \hom(A\otimes B,C)
$$
a questo punto tu sei interessato a trovare il duale di $V$: ma
$$
V^* = \hom(\hom(A\otimes B,C),k)\cong \hom(A^*\otimes B^*\otimes C, k)\cong \hom(A^*\otimes B^*,C^*)\cong\dots
$$

[Riccardo Desimini]

Mi serve per giustificare la definizione che dà a pagina 18 di questo PDF: lì parla a buon titolo di "strana" dualità, denotata con lo stesso simbolo utilizzato per la dualità tra forme lineari e vettori. In altre parole voglio dare un senso ad una dualità tra forme lineari e forme bilineari, se ho ben capito leggendo il discorso che fa.

[killing_buddha]

Ti sta raccontando con tono da chiacchiera da bar che il prodotto tensore $V\otimes V$ e' isomorfo al duale dello spazio vettoriale delle applicazioni bilineari $V\times V\to k$, e che invece la seconda algebra esterna di $V$ e' isomorfa al duale dello spazio delle forme alternanti $V\times V\to k$.

[Riccardo Desimini]

Ma cos'è il prodotto tensore? E la seconda algebra esterna?

Sono termini a me completamente ignoti.

[killing_buddha]

Potevi dirlo prima! Leggi qui e fai questi esercizi https://www.dropbox.com/s/tjpoqloqlilcb ... ensori.pdf

[Riccardo Desimini]

Ti ringrazio, ma preferisco evitare di tirare in ballo quelle cose e cercare di dare un senso al discorso utilizzando degli strumenti che non vadano oltre al concetto di spazio vettoriale biduale.

Potresti aiutarmi in questo senso?

[killing_buddha]

Non credo esista un modo di farlo; quella che preferisci non imparare e' senza dubbio una pietra angolare della geometria, ed evitarla in favore di "strumenti che non vadano oltre al concetto di spazio vettoriale biduale" mi sembra eccessivo; il mio consiglio e' di imparare quel tanto che basta a te (che presumo dalle fonti che citi, sia un fisico? Scusa se sbaglio ) per entrare in confidenza con le definizioni che ho dato sopra; la nota che ti ho linkato serve esattamente a quello scopo.

[Riccardo Desimini]

Studio Ingegneria, in realtà.

Comunque grazie per il consiglio (e per le fonti che hai linkato anche nell'altro thread).