Esercizio sulle proiettività

[Benihime1]

ciao a tutti!!!ho problemi col secondo punto di questo esercizio di geometria proiettiva!Non sono sicura sia corretto.
l'esercizio recita
Si consideri la proiettivita $\phi$ di $P^3(K)$ in sè di matrice
$A=((\alpha,0,0,0),(1,\alpha,0,0),(0,0,\alpha,1),(0,0,0,\alpha))$
1)determinare gli spazi uniti
2)Per ogni retta unita viene indotta una proiettività del fascio di piani di asse quella retta:di che tipo di proiettività si tratta?

1)se prendo come base
$v_0=e_1$, $v_1=e_0$, $v_2=e_2$, $v_3=e_3$
la matrice diventa in forma di Jordan, cioè $A=((\alpha,1,0,0),(0,\alpha,0,0),(0,0,\alpha,1),(0,0,0,\alpha))$
I punti uniti sono $$
Poichè esiste una retta di punti uniti,per dualità esiste un fascio di piani uniti,ed esso ha come asse proprio la retta di punti uniti,cioè ogni piano del fascio può essere trascritto come $\pi_(a,b)=$ con $(a,b) in P^1(K)$
Cerco ora se su ciascun piano unito ci sono rette unite
Fissata la coppia $(a,b)$ tutte le rette del piano $\pi_(a,b)$ sono del tipo $r_(c,d,x,y,z)=$ ; tuttavia posso verificare che $r_(c,d,x,y,z)$ è unita se e solo se $(a,b)=(c,d)$; quindi su ogni piano $\pi_(a,b)$ c'è un fascio di rette unite centrato in $$

2)da un esempio simile che il professore ha svolto io ho capito così
$P((Vtext{/}W)text{*})=I(Vtext{/}W)$ è isomorfo alla stella di iperpiani di asse $W$
quindi se $r$ è retta unita io devo guardare le proiettività su $I(Vtext{/}W)$
Una retta unita ha forma $r_(a,b,x,y,z)=$ fissati $(a,b,x,y,z)$
per comodità cambio base:
$w_0=z(av_0+bv_2)$, $w_1=xv_0+yv_2+z(av_1+bv_3)$, $w_2=xv_0+yv_2$, $w_3=xv_1+yv_3$
la matrice mantiene la forma di Jordan
allora la retta sarà $r=$
e dunque una base di $Vtext{/}W$ sarà $w_2+$,$w_3+$
secondo questa base ottengo che la matrice della proiettività sul fascio è $((\alpha,1),(0,\alpha))$

è corretta la risoluzione?