Come definire il prodotto vettoriale?
Ciao a tutti,
vorrei raccogliere in questo thread (con il vostro aiuto) delle possibili definizioni di prodotto vettoriale.
In particolare mi interessa conoscere quelle più rigorose da un punto di vista matematico (ad esempio quelle che tirano in ballo l'algebra (multi)lineare) e discuterle assieme allo scopo di capirne il senso.
Inizio io con una considerazione, fissando uno spazio vettoriale \( V \) di dimensione \( 3 \).
Il prodotto vettoriale deve essere un elemento di \( V \) e l'applicazione \( \times \) che lo definisce deve soddisfare le proprietà di bilinearità e antisimmetria. A questo punto io vedo una incredibile somiglianza con il concetto di forma bilineare antisimmetrica e mi sembra tutto fatto troppo bene perché non ci sia davvero un legame.
In particolare, l'applicazione di cui parlo è del tipo \( \times : V \times V \rightarrow V \). Tuttavia, questa non è una forma bilineare perché il codominio è \( V \) (e non un campo di scalari tipo \( \mathbb{R} \) o \( \mathbb{C} \)).
Quel che mi domando a questo punto è come fare per ricondurre il concetto di prodotto vettoriale a quello di una forma bilineare antisimmetrica.
Avendo determinato questo legame, se possibile, si potrebbe poi definire il prodotto vettoriale come quell'unica forma bilineare antisimmetrica che assegna i vettori della base canonica di \( V \) in questo modo:
\[ \mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_3 \quad \mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3 = \mathbf{e}_1 \quad \mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_2 \]
dove l'unicità sarebbe assicurata dalle "buone proprietà" di una forma bilineare antisimmetrica.
Una strada in questo senso la apre il seguente PDF a partire da pagina \( 17 \); il problema è che mi sembra tutto troppo "approssimativo" e soprattutto "buttato lì a caso" e non riesco a cogliere il senso del procedimento che viene spiegato.
Chi si unisce al discorso?
vorrei raccogliere in questo thread (con il vostro aiuto) delle possibili definizioni di prodotto vettoriale.
In particolare mi interessa conoscere quelle più rigorose da un punto di vista matematico (ad esempio quelle che tirano in ballo l'algebra (multi)lineare) e discuterle assieme allo scopo di capirne il senso.
Inizio io con una considerazione, fissando uno spazio vettoriale \( V \) di dimensione \( 3 \).
Il prodotto vettoriale deve essere un elemento di \( V \) e l'applicazione \( \times \) che lo definisce deve soddisfare le proprietà di bilinearità e antisimmetria. A questo punto io vedo una incredibile somiglianza con il concetto di forma bilineare antisimmetrica e mi sembra tutto fatto troppo bene perché non ci sia davvero un legame.
In particolare, l'applicazione di cui parlo è del tipo \( \times : V \times V \rightarrow V \). Tuttavia, questa non è una forma bilineare perché il codominio è \( V \) (e non un campo di scalari tipo \( \mathbb{R} \) o \( \mathbb{C} \)).
Quel che mi domando a questo punto è come fare per ricondurre il concetto di prodotto vettoriale a quello di una forma bilineare antisimmetrica.
Avendo determinato questo legame, se possibile, si potrebbe poi definire il prodotto vettoriale come quell'unica forma bilineare antisimmetrica che assegna i vettori della base canonica di \( V \) in questo modo:
\[ \mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_3 \quad \mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3 = \mathbf{e}_1 \quad \mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_2 \]
dove l'unicità sarebbe assicurata dalle "buone proprietà" di una forma bilineare antisimmetrica.
Una strada in questo senso la apre il seguente PDF a partire da pagina \( 17 \); il problema è che mi sembra tutto troppo "approssimativo" e soprattutto "buttato lì a caso" e non riesco a cogliere il senso del procedimento che viene spiegato.
Chi si unisce al discorso?
Risposte
Premetto che non ho ancora le conoscenze necessarie per parlarne con piena cognizione di causa, ma "a naso" direi che la risposta al problema sta nella teoria delle algebre su campo (che, appunto, non ho ancora studiato a dovere). Immagino che la definizione rigorosa di prodotto vettoriale possa essere esposta/giustificata degnamente assieme alle sue proprietà e ad un eventuale legame con le forme bilineari pensando a \( (V,\times) \) come ad una \( \mathbb{K} \)-algebra su uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $3$ a coefficienti in \( \mathbb{K} \), o che magari possa "venire da sé" cercando di indurre su $V$ spazio vettoriale la struttura di algebra su \( \mathbb{K} \). Aspetto comunque l'opinione di qualcuno che ne sappia più di me al riguardo.
Grazie per la risposta.
Qualcun altro che si aggiunge?
Qualcun altro che si aggiunge?
Prova a dare un'occhiata a questo, definizione VII.1.13 e pagine seguenti. Potrebbe interessarti anche questo http://arxiv.org/abs/1212.3515
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