Orientazione di basi ortonormali
Ciao ragazzi!
Mi potreste aiutare a risolvere l'esercizio che sto per scrivervi? Sono in sincera difficoltà!
Sia $V = {v_1, v_2, ..., v_n}$ una base ortonormale per uno spazio euclideo $X$ di dimensione $n$. Stabilire per quali $n$ la base $V$ ha la stessa orientazione della base $W$ definita da :
a) $W = {v_n, v_1, v_2, ...., v_{n-1}}$
b) $W = {v_n, v_{n-1}, ..., v_1}$
A lezione non abbiamo parlato di orientazione delle basi, ma, da quello che ho trovato in rete, mi pare sia un'informazione relativa al segno del determinante della matrice ottenuta mettendo i vettori che formano la base in colonna.
Una matrice formata da vettori unitari ortogonali tra loro, definisce un operatore ortogonale, cioè una isometria suriettiva.
Non riesco però a far entrare il determinante in queste riflessioni.
Mi servirebbe un aiuto!
Grazie!
Mi potreste aiutare a risolvere l'esercizio che sto per scrivervi? Sono in sincera difficoltà!
Sia $V = {v_1, v_2, ..., v_n}$ una base ortonormale per uno spazio euclideo $X$ di dimensione $n$. Stabilire per quali $n$ la base $V$ ha la stessa orientazione della base $W$ definita da :
a) $W = {v_n, v_1, v_2, ...., v_{n-1}}$
b) $W = {v_n, v_{n-1}, ..., v_1}$
A lezione non abbiamo parlato di orientazione delle basi, ma, da quello che ho trovato in rete, mi pare sia un'informazione relativa al segno del determinante della matrice ottenuta mettendo i vettori che formano la base in colonna.
Una matrice formata da vettori unitari ortogonali tra loro, definisce un operatore ortogonale, cioè una isometria suriettiva.
Non riesco però a far entrare il determinante in queste riflessioni.
Mi servirebbe un aiuto!
Grazie!
Risposte
Poni $\gamma={v_n,v_1,..,v_{n-1}}$ e $\omega = { v_n,v_{n-1},..,v_1}$ . Prendi $A=$matrice di passaggio dalla base $\gamma$ alla base $\omega$. Le due basi avranno la stessa orientazione se $detA >0$ , riesci a continuare?
Ciao!
Forse mi sono spiegata male, l'esercizio era da risolvere per i due diversi valori di $W$, quello del punto a e quello del punto b. Comunque il discorso non cambia e mi hai messo, credo, sulla strada giusta.
Risolvo separatamente i due punti:
a) Considero di avere un operatore lineare $A$ che manda $v_1$ in $v_n$, $v_2$ in $v_1$, ..., $v_n$ in $v_{n-1]$. La matrice associata a questo operatore sarà una $n$ x $n$ con tutti $0$ eccetto:
- la diagonale principale della sottomatrice $n - 1$ x $n - 1$, formata da tutte le righe eccetto l'ultima e tutte le colonne eccetto la prima, che sarà popolata di $1$;
- l'elemento $a_{n 1}$ di valore 1.
Il determinante della matrice associata a $A$ varrà $1$ solo nel caso in cui $n$ sia dispari. Condizione che rende vera l'equiorientazione di $V$ e $W$.
b) Considero di avere un operatore lineare $A$ che manda $v_1$ in $v_n$, $v_2$ in $v_{n-1}$, ..., $v_n$ in $v_1$. La matrice associata a questo operatore sarà una $n x n$ con tutti $0$ eccetto l'antidiagonale che sarà popolata di $1$. Il determinante di questa matrice è $\pm 1$ a seconda se $n$ sia pari o meno. $V = A * W$, di conseguenza $V$ e $W$ hanno la stessa orientazione se $n$ è pari.
Spero che i miei ragionamenti siano corretti e ti ringrazio per la risposta.
Forse mi sono spiegata male, l'esercizio era da risolvere per i due diversi valori di $W$, quello del punto a e quello del punto b. Comunque il discorso non cambia e mi hai messo, credo, sulla strada giusta.
Risolvo separatamente i due punti:
a) Considero di avere un operatore lineare $A$ che manda $v_1$ in $v_n$, $v_2$ in $v_1$, ..., $v_n$ in $v_{n-1]$. La matrice associata a questo operatore sarà una $n$ x $n$ con tutti $0$ eccetto:
- la diagonale principale della sottomatrice $n - 1$ x $n - 1$, formata da tutte le righe eccetto l'ultima e tutte le colonne eccetto la prima, che sarà popolata di $1$;
- l'elemento $a_{n 1}$ di valore 1.
Il determinante della matrice associata a $A$ varrà $1$ solo nel caso in cui $n$ sia dispari. Condizione che rende vera l'equiorientazione di $V$ e $W$.
b) Considero di avere un operatore lineare $A$ che manda $v_1$ in $v_n$, $v_2$ in $v_{n-1}$, ..., $v_n$ in $v_1$. La matrice associata a questo operatore sarà una $n x n$ con tutti $0$ eccetto l'antidiagonale che sarà popolata di $1$. Il determinante di questa matrice è $\pm 1$ a seconda se $n$ sia pari o meno. $V = A * W$, di conseguenza $V$ e $W$ hanno la stessa orientazione se $n$ è pari.
Spero che i miei ragionamenti siano corretti e ti ringrazio per la risposta.
Si, sembra che fili tutto.
Perfetto! Grazie mille.
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