Carte di una varietà

[chiara3231]

Scusate, mi è venuto un dubbio.
Sulle mie note c'è scritto che, data una varietà $M$, una sua carta è una coppia $(U,\phi)$ dove $U$ è un aperto di $M$ e $\phi: U \rightarrow D$ è un omeomorfismo, $D$ un aperto di $R^n$.
Ora, abbiamo definito i diffeomorfismi fra varietà: $F:M\rightarrow N$ è un diffeomorfismo se è una mappa liscia con inversa liscia tra varietà.

Ma allora, da questa definizione segue che le carte, che vengono inizialmente definite come omeomorfismi, sono in realtà dei diffeomorfismi, o sbaglio?

[vict85]

Certo, ma non puoi definire un diffeomorfismo senza aver definito una struttura di varietà differenziale su \(M\). È un po’ come quando definisci una famiglia di funzioni tra un insieme \(X\) e uno spazio topologico \(Y\) e definisci una topologia su \(X\) come la topologia più piccola tale che quella famiglia risulti continua. Ora, a priori non ha senso dire che quelle funzioni sono continue perché \(X\) non è uno spazio topologico, ma una volta che è definito lo spazio usando le funzioni allora queste risulteranno continue. La stessa cosa vale per le varietà differenziali, a priori non è una varietà differenziale ma solo uno spazio topologico.

Comunque hai dimenticato che le mappe di transizione delle carte devono essere diffeomorfismi tra aperti di \(\mathbf{R}^n\).