Questione su notazione di sotto-matrici & altro..
Salve a tutti,
supponiamo di avere la seguente matrice di ordine \( n \times (s+1) \) ad elementi in un campo \( k \)
$$\begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1s} & a_{1(s+1)} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2s} & a_{2(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{ns} & a_{n(s+1)}
\end{Vmatrix} \in \mathfrak{M}_{(n,(s+1))}(k)$$
supponiamo anche che \( s \preceq n \) e per tale ragione, e per spiegarmi meglio, la riscrivo in questo modo:
$$\begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1s} & a_{1(s+1)} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2s} & a_{2(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{ss} & a_{s(s+1)} \\
a_{(s+1)1} & a_{(s+1)2} & \cdots & a_{(s+1)s} & a_{(s+1)(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{ns} & a_{n(s+1)}
\end{Vmatrix} $$
Veniamo al dunque, supponiamo di considerare tutte le sottomatrici aventi tutte le prime \( s \) righe e le \((s+1) \) colonne, ovvero aventi tutte la sottomatrice
$$\begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1s} & a_{1(s+1)} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2s} & a_{2(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{ss} & a_{s(s+1)}
\end{Vmatrix} $$
l'obiettivo è quello di ottenere a partire da questa ed aggiungendo una sola sola riga, tra quelle comprese tra \( (s+1)\) a \( n \), sottomatrici quadrate di ordine \( (s+1)\), ovvero:
$$\begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1s} & a_{1(s+1)} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2s} & a_{2(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{ss} & a_{s(s+1)} \\
a_{(s+1)1} & a_{(s+1)2} & \cdots & a_{(s+1)s} & a_{(s+1)(s+1)}
\end{Vmatrix} $$
$$\begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1s} & a_{1(s+1)} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2s} & a_{2(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{ss} & a_{s(s+1)} \\
a_{(s+2)1} & a_{(s+2)2} & \cdots & a_{(s+2)s} & a_{(s+2)(s+1)}
\end{Vmatrix} $$
$$\begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1s} & a_{1(s+1)} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2s} & a_{2(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{ss} & a_{s(s+1)} \\
a_{(s+3)1} & a_{(s+3)2} & \cdots & a_{(s+3)s} & a_{(s+3)(s+1)}
\end{Vmatrix} $$
$$...........................................$$
$$...........................................$$
$$\begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1s} & a_{1(s+1)} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2s} & a_{2(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{ss} & a_{s(s+1)} \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{ns} & a_{n(s+1)}
\end{Vmatrix} $$
ebbene, sono tutte di ordine \( (s+1)\), e per ciascuna la notazione più naturale è la seguente:
indicando
$$A:=\begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1s} & a_{1(s+1)} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2s} & a_{2(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{ss} & a_{s(s+1)} \\
a_{(s+1)1} & a_{(s+1)2} & \cdots & a_{(s+1)s} & a_{(s+1)(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{ns} & a_{n(s+1)}
\end{Vmatrix} $$
avremo:
$$A^{1,2,...,s,s+1}_{1,2,...,s,s+1}:=\begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1s} & a_{1(s+1)} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2s} & a_{2(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{ss} & a_{s(s+1)} \\
a_{(s+1)1} & a_{(s+1)2} & \cdots & a_{(s+1)s} & a_{(s+1)(s+1)}
\end{Vmatrix} $$
$$A^{1,2,...,s,s+2}_{1,2,...,s,s+1}:=\begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1s} & a_{1(s+1)} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2s} & a_{2(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{ss} & a_{s(s+1)} \\
a_{(s+2)1} & a_{(s+2)2} & \cdots & a_{(s+2)s} & a_{(s+2)(s+1)}
\end{Vmatrix} $$
$$A^{1,2,...,s,s+3}_{1,2,...,s,s+1}:=\begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1s} & a_{1(s+1)} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2s} & a_{2(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{ss} & a_{s(s+1)} \\
a_{(s+3)1} & a_{(s+3)2} & \cdots & a_{(s+3)s} & a_{(s+3)(s+1)}
\end{Vmatrix} $$
$$...........................................$$
$$...........................................$$
$$A^{1,2,...,s,n}_{1,2,...,s,s+1}:=\begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1s} & a_{1(s+1)} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2s} & a_{2(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{ss} & a_{s(s+1)} \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{ns} & a_{n(s+1)}
\end{Vmatrix} $$
ovvero scrivendo in apice le righe, e in pedice le colonne, della matrice \( A \) che si vogliono prendere in considerazione (mantenendo ovviamente l'ordine)... il problema mio sta proprio in questa notazione, io di solito non scrivo le righe che non elimino ma quelle che elimino, stessa cosa per le colonne, dalla matrice \(A \).... solo che non riesco a formalizzare la scrittura usando la stessa ma in apice metto le righe che elimino e in pedice le colonne che elimino (in questo caso in pedice non metto nulla perchè nessuna colonna è eliminata)
Ringrazio volentieri chiunque possa aiutarmi!
Saluti
supponiamo di avere la seguente matrice di ordine \( n \times (s+1) \) ad elementi in un campo \( k \)
$$\begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1s} & a_{1(s+1)} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2s} & a_{2(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{ns} & a_{n(s+1)}
\end{Vmatrix} \in \mathfrak{M}_{(n,(s+1))}(k)$$
supponiamo anche che \( s \preceq n \) e per tale ragione, e per spiegarmi meglio, la riscrivo in questo modo:
$$\begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1s} & a_{1(s+1)} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2s} & a_{2(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{ss} & a_{s(s+1)} \\
a_{(s+1)1} & a_{(s+1)2} & \cdots & a_{(s+1)s} & a_{(s+1)(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{ns} & a_{n(s+1)}
\end{Vmatrix} $$
Veniamo al dunque, supponiamo di considerare tutte le sottomatrici aventi tutte le prime \( s \) righe e le \((s+1) \) colonne, ovvero aventi tutte la sottomatrice
$$\begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1s} & a_{1(s+1)} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2s} & a_{2(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{ss} & a_{s(s+1)}
\end{Vmatrix} $$
l'obiettivo è quello di ottenere a partire da questa ed aggiungendo una sola sola riga, tra quelle comprese tra \( (s+1)\) a \( n \), sottomatrici quadrate di ordine \( (s+1)\), ovvero:
$$\begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1s} & a_{1(s+1)} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2s} & a_{2(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{ss} & a_{s(s+1)} \\
a_{(s+1)1} & a_{(s+1)2} & \cdots & a_{(s+1)s} & a_{(s+1)(s+1)}
\end{Vmatrix} $$
$$\begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1s} & a_{1(s+1)} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2s} & a_{2(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{ss} & a_{s(s+1)} \\
a_{(s+2)1} & a_{(s+2)2} & \cdots & a_{(s+2)s} & a_{(s+2)(s+1)}
\end{Vmatrix} $$
$$\begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1s} & a_{1(s+1)} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2s} & a_{2(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{ss} & a_{s(s+1)} \\
a_{(s+3)1} & a_{(s+3)2} & \cdots & a_{(s+3)s} & a_{(s+3)(s+1)}
\end{Vmatrix} $$
$$...........................................$$
$$...........................................$$
$$\begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1s} & a_{1(s+1)} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2s} & a_{2(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{ss} & a_{s(s+1)} \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{ns} & a_{n(s+1)}
\end{Vmatrix} $$
ebbene, sono tutte di ordine \( (s+1)\), e per ciascuna la notazione più naturale è la seguente:
indicando
$$A:=\begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1s} & a_{1(s+1)} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2s} & a_{2(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{ss} & a_{s(s+1)} \\
a_{(s+1)1} & a_{(s+1)2} & \cdots & a_{(s+1)s} & a_{(s+1)(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{ns} & a_{n(s+1)}
\end{Vmatrix} $$
avremo:
$$A^{1,2,...,s,s+1}_{1,2,...,s,s+1}:=\begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1s} & a_{1(s+1)} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2s} & a_{2(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{ss} & a_{s(s+1)} \\
a_{(s+1)1} & a_{(s+1)2} & \cdots & a_{(s+1)s} & a_{(s+1)(s+1)}
\end{Vmatrix} $$
$$A^{1,2,...,s,s+2}_{1,2,...,s,s+1}:=\begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1s} & a_{1(s+1)} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2s} & a_{2(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{ss} & a_{s(s+1)} \\
a_{(s+2)1} & a_{(s+2)2} & \cdots & a_{(s+2)s} & a_{(s+2)(s+1)}
\end{Vmatrix} $$
$$A^{1,2,...,s,s+3}_{1,2,...,s,s+1}:=\begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1s} & a_{1(s+1)} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2s} & a_{2(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{ss} & a_{s(s+1)} \\
a_{(s+3)1} & a_{(s+3)2} & \cdots & a_{(s+3)s} & a_{(s+3)(s+1)}
\end{Vmatrix} $$
$$...........................................$$
$$...........................................$$
$$A^{1,2,...,s,n}_{1,2,...,s,s+1}:=\begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1s} & a_{1(s+1)} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2s} & a_{2(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{ss} & a_{s(s+1)} \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{ns} & a_{n(s+1)}
\end{Vmatrix} $$
ovvero scrivendo in apice le righe, e in pedice le colonne, della matrice \( A \) che si vogliono prendere in considerazione (mantenendo ovviamente l'ordine)... il problema mio sta proprio in questa notazione, io di solito non scrivo le righe che non elimino ma quelle che elimino, stessa cosa per le colonne, dalla matrice \(A \).... solo che non riesco a formalizzare la scrittura usando la stessa ma in apice metto le righe che elimino e in pedice le colonne che elimino (in questo caso in pedice non metto nulla perchè nessuna colonna è eliminata)
Ringrazio volentieri chiunque possa aiutarmi!
Saluti
Risposte
Ad essere sincero non capisco la domanda.
A seconda di come torna meglio, si usano sia le notazioni con righe e colonne presenti sia quelle con righe/colonne eliminate. Non cambia molto, basta sostituire un insieme di indici con il suo complementare. Se $M$ è una matrice $m \times n$, $I$ un sottoinsieme di indici di $\{ 1 , ... , m\}$ e $J$ un sottoinsieme di indici di $\{ 1 , ... , n\}$, puoi decidere di indicare con $M_J^I$ la matrice ottenuta dalle righe di $M$ corrispondenti agli indici di $I$ e le colonne corrispondenti agli indici di $J$. Se però questa notazione è troppo pesante (tipicamente quando si considerano minori principali è inutile elencare tutte le righe/colonne presenti, quando ve ne è una sola assente) puoi indicare con $M_J^I$ la matrice ottenuta da $M$ cancellando le righe di $I$ e le colonne di $J$.
Se vuoi passare da una notazione all'altra, basta sostituire un insieme di indici con il suo complementare. Se $I^c$ indica il complementare di $I$ (ed analogamente $J^c$ quello di $J$) si avrà $M_J^I =\Delta_{J^c}^{I^c}$ dove uso $M$ quando indico righe e colonne presenti, e $\Delta$ quando indico righe e colonne eliminate.
Nel tuo caso particolare avresti semplicemente $\Delta^{s+2 , ..., k-1,k+1,...,n}$ se la tua sottomatrice è ottenuta considerando le prime $s$ e la $k$-esima riga e tutte le colonne.
Tuttavia, nel tuo caso, visto che hai solo sottomatrici in cui consideri tutte le colonne le prime $s$ righe, perché non indicizzarle solo con una $k$ che va $s+1$ a $n$?
A seconda di come torna meglio, si usano sia le notazioni con righe e colonne presenti sia quelle con righe/colonne eliminate. Non cambia molto, basta sostituire un insieme di indici con il suo complementare. Se $M$ è una matrice $m \times n$, $I$ un sottoinsieme di indici di $\{ 1 , ... , m\}$ e $J$ un sottoinsieme di indici di $\{ 1 , ... , n\}$, puoi decidere di indicare con $M_J^I$ la matrice ottenuta dalle righe di $M$ corrispondenti agli indici di $I$ e le colonne corrispondenti agli indici di $J$. Se però questa notazione è troppo pesante (tipicamente quando si considerano minori principali è inutile elencare tutte le righe/colonne presenti, quando ve ne è una sola assente) puoi indicare con $M_J^I$ la matrice ottenuta da $M$ cancellando le righe di $I$ e le colonne di $J$.
Se vuoi passare da una notazione all'altra, basta sostituire un insieme di indici con il suo complementare. Se $I^c$ indica il complementare di $I$ (ed analogamente $J^c$ quello di $J$) si avrà $M_J^I =\Delta_{J^c}^{I^c}$ dove uso $M$ quando indico righe e colonne presenti, e $\Delta$ quando indico righe e colonne eliminate.
Nel tuo caso particolare avresti semplicemente $\Delta^{s+2 , ..., k-1,k+1,...,n}$ se la tua sottomatrice è ottenuta considerando le prime $s$ e la $k$-esima riga e tutte le colonne.
Tuttavia, nel tuo caso, visto che hai solo sottomatrici in cui consideri tutte le colonne le prime $s$ righe, perché non indicizzarle solo con una $k$ che va $s+1$ a $n$?
@Pappeppero,
pardon.. dovevo eliminare la discussione perchè, con l'aiuto di qualcuno, avevo risolto.. cmq si, basta considerare il complementare, del tipo \( \{s+1,s+2,...,n\}-\{k\}\) con \( k \in \{s+1,s+2,...,n\} \) e dove \(k \) è la riga che aggiungo, così scrivendo ottengo tutte le righe che elimino escludendo la \( k \) esima che è quella che non elimino!!
Thanks cmq della risposta!
Saluti
"Pappappero":
Ad essere sincero non capisco la domanda.
A seconda di come torna meglio, si usano sia le notazioni con righe e colonne presenti sia quelle con righe/colonne eliminate. Non cambia molto, basta sostituire un insieme di indici con il suo complementare. Se $M$ è una matrice $m \times n$, $I$ un sottoinsieme di indici di $\{ 1 , ... , m\}$ e $J$ un sottoinsieme di indici di $\{ 1 , ... , n\}$, puoi decidere di indicare con $M_J^I$ la matrice ottenuta dalle righe di $M$ corrispondenti agli indici di $I$ e le colonne corrispondenti agli indici di $J$. Se però questa notazione è troppo pesante (tipicamente quando si considerano minori principali è inutile elencare tutte le righe/colonne presenti, quando ve ne è una sola assente) puoi indicare con $M_J^I$ la matrice ottenuta da $M$ cancellando le righe di $I$ e le colonne di $J$.
Se vuoi passare da una notazione all'altra, basta sostituire un insieme di indici con il suo complementare. Se $I^c$ indica il complementare di $I$ (ed analogamente $J^c$ quello di $J$) si avrà $M_J^I =\Delta_{J^c}^{I^c}$ dove uso $M$ quando indico righe e colonne presenti, e $\Delta$ quando indico righe e colonne eliminate.
Nel tuo caso particolare avresti semplicemente $\Delta^{s+2 , ..., k-1,k+1,...,n}$ se la tua sottomatrice è ottenuta considerando le prime $s$ e la $k$-esima riga e tutte le colonne.
Tuttavia, nel tuo caso, visto che hai solo sottomatrici in cui consideri tutte le colonne le prime $s$ righe, perché non indicizzarle solo con una $k$ che va $s+1$ a $n$?
pardon.. dovevo eliminare la discussione perchè, con l'aiuto di qualcuno, avevo risolto.. cmq si, basta considerare il complementare, del tipo \( \{s+1,s+2,...,n\}-\{k\}\) con \( k \in \{s+1,s+2,...,n\} \) e dove \(k \) è la riga che aggiungo, così scrivendo ottengo tutte le righe che elimino escludendo la \( k \) esima che è quella che non elimino!!
Thanks cmq della risposta!
Saluti
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