Spazi vettoriali a dimensione infinita e prodotto scalare

[randomize]

Si consideri lo spazio vettoriale \(\displaystyle R^∞ \) la domanda è: è possibile definire il prodotto scalare canonico visto che per alcuni vettori risulterà essere infinito ?

[Noisemaker]

Be probabilmente proprio il prodotto scalare canonico cosi come è definito andrebbe aggiustato un pò, nel senso che per definizione
\begin{align*}
\langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^{n}a_ib_i,
\end{align*}
che in dimensione infinita diventerebbe
\begin{align*}
\langle x,y\rangle=\sum_{n=1}^{+\infty}a_nb_n,
\end{align*}
ed in questo caso si ha a che fare con una serie; tuttavia se consideriamo l'insieme $$l_2=\{a_n\in \mathbb{R}: \sum_{n=1}^{+\infty}a^2_n<+\infty\},$$
si può dimostrare che $l_2$ è uno spazio vettoriale reale e che la posizione
\begin{align*}
\langle a_n,b_n\rangle=\sum_{n=1}^{+\infty}a_nb_n
\end{align*}
definisce effettivamente un prodotto scalare, essendo se non altro ben definito poichè la serie $\Sigma a_nb_n$ è convergente, in realtà assolutamente convergente, in quanto si ha:
\begin{align*}
|a_n b_n|\le\frac{1}{2}\left(a^2_n+b^2_n\right),
\end{align*}
ed essendo le serie $\Sigma a_n^2<+\infty $ e $\Sigma b_n^2<+\infty,$ la serie $\Sigma a_nb_n$ converge per confronto, pertanto il prodotto scalare è ben definito.

[randomize]

quindi il prodotto scalare canonico non si può definire. ti ringrazio per l'esauriente risposta:-).