Piano e rette

[luca.piacentini2]

Dire se esiste ed è unico, un piano passante per il punto P e che non interseca le rette $r_1$ e $r_2$

$P(1,1,1)$

$r_1:\{(x+y+z+1=0),(x+y-2=0):}$

$r_2:\{(y-z+2=0),(x-y+z-1=0):}$

E' sufficiente che dimostri il fatto che le due rette sono sghembe e poi mostro che non esiste nessun piano passante per il punto (1,1,1) che contenga la retta r_1 e r_2?

[Sk_Anonymous]

[Vedi fig.] Siano $v_1=(-1,1,0),v_2=(0,1,1)$ i vettori direzionali delle rette $r_1,r_2$. Da P mandiamo i due vettori $vec{PQ_1},vec{PQ_2}$ equipollenti a $v_1,v_2$. Allora il piano $p$ individuato da $vec{PQ_1},vec{PQ_2}$ è il piano richiesto che dunque esiste e risulta unico. Per trovare l'equazione di $p$ indico con $Q(x,y,z) $ il generico punto di $p$ e con $vec{n}= vec{PQ_1} wedge vec{PQ_2}=v_1 wedge v_2$ un vettore normale a $p$ medesimo.
Risulta ora :
$vec {PQ} cdot vec{n}=0$
Ovvero :
$vec {PQ} cdot v_1 wedge v_2=0$
Ricordando la formula del prodotto (triplo) misto si ha :
\(\displaystyle det \begin{pmatrix}x-1&y-1&z-1\\-1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}=0 \)
Fatti i calcoli, si trova l'equazione di $p$:
$x+y-z=1$