Coniche e rotazioni
ciao a tutti! mi si dice, IN E3, considerare la conica x=yz-2=0 e la retta x=y+z=0: dimostrare che la superficie ottenuta dalla rotazione della conica attorno alla retta è un iperboloide iperbolico.
in realtà io mi perdo moooolto prima: non riesco a capire che razza di conica sia la x=yz-2=0. è in forma proiettiva? non c'è una z di troppo?
grazie per l'aiuto.
in realtà io mi perdo moooolto prima: non riesco a capire che razza di conica sia la x=yz-2=0. è in forma proiettiva? non c'è una z di troppo?
grazie per l'aiuto.
Risposte
Sei in $mathbb{E^3}$, ovvero nell'usuale spazio euclideo tridimensionale e quindi in quelle equazioni non c'è niente di troppo !
In effetti la conica di cui si parla nella consegna è l'intersezione tra il piano di equazione $x=0$ e la quadrica di equazione $yz-2=0$. Il quesito richiede alcuni passi da eseguire.
Intanto il generico punto della conica di cui prima è $A(0,t,2/t)$ e siano: $B(0,0,0)$ un punto della retta $r$, $(0,-1,1)$ il vettore direzionale della stessa. Allora la circonferenza meridìana della superficie di rotazione richiesta si calcola come intersezione tra il piano per $A$ ortogonale alla retta $r$ e la superficie sferica di centro $B$ e raggio $AB$. Ne segue che le equazioni di tale meridiano sono date dal sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}0(x-0)-1(y-t)+1(z-\frac{2}{t})=0\\x^2+y^2+z^2=t^2+\frac{4}{t^2}\end{cases} \)
Oppure :
\(\displaystyle \begin{cases} z-y=\frac{2}{t}-t\\x^2+y^2+z^2=(\frac{2}{t}-t)^2+4\end{cases} \)
Eliminando $2/t-t$ hai l'equazione :
$x^2+2yz-4=0$
che rappresenta la quadrica richiesta e che puoi classificare secondo gli ordinari metodi da te studiati [ se non ho fatto errori, dovrebbe trattarsi di un iperboloide ( a punti iperbolici) ad una falda].
In effetti la conica di cui si parla nella consegna è l'intersezione tra il piano di equazione $x=0$ e la quadrica di equazione $yz-2=0$. Il quesito richiede alcuni passi da eseguire.
Intanto il generico punto della conica di cui prima è $A(0,t,2/t)$ e siano: $B(0,0,0)$ un punto della retta $r$, $(0,-1,1)$ il vettore direzionale della stessa. Allora la circonferenza meridìana della superficie di rotazione richiesta si calcola come intersezione tra il piano per $A$ ortogonale alla retta $r$ e la superficie sferica di centro $B$ e raggio $AB$. Ne segue che le equazioni di tale meridiano sono date dal sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}0(x-0)-1(y-t)+1(z-\frac{2}{t})=0\\x^2+y^2+z^2=t^2+\frac{4}{t^2}\end{cases} \)
Oppure :
\(\displaystyle \begin{cases} z-y=\frac{2}{t}-t\\x^2+y^2+z^2=(\frac{2}{t}-t)^2+4\end{cases} \)
Eliminando $2/t-t$ hai l'equazione :
$x^2+2yz-4=0$
che rappresenta la quadrica richiesta e che puoi classificare secondo gli ordinari metodi da te studiati [ se non ho fatto errori, dovrebbe trattarsi di un iperboloide ( a punti iperbolici) ad una falda].
chiarissimo e gentilissimo.
un enorme gigantesco grazie.
un enorme gigantesco grazie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo