Proiezione ortogonale vettore su piano

[niccoset]

Esiste una formula che dato un vettore e altri due vettori che individuano un piano mi restituisca la proiezione ortogonale di tale vettore sul piano?
Per quanto riguarda la proiezione ortogonale di un vettore su un altro vettore è facile individuare la formula, ma se ho un piano l'unica cosa che posso dire è che la proiezione ortogonale di un vettore su tale piano sarà un vettore complanare ai due vettori che lo individuano, quindi sarà una loro combinazione lineare.
Grazie in anticipo.

[Vanzan]

Certamente. Molto più in generale dato un vettore $x in X$ dove $X$ è munito di un prodotto scalare e dato un sottospazio vettoriale $W = L(e_{1},e_{2},..)$(W è generato da questi vettori ortonormali), la proiezione di $x$ su $W$ è data da $sum_{i=1}^n e_{i}$

[niccoset]

Grazie. Non riesco però a capire tanto bene quella formula.
Se ho quindi da calcolare la proiezione ortogonale di $ i+j+k $ sul piano generato da $ i+j $ e $ i+k $ come posso fare?
In questo caso il mio sottospazio è dato da questi vettori $ L((i+j),(i+k),(i+j)∧(i+k)) $ ?

[Vanzan]

No attento. Il sottospazio è il piano generato da L((1,1,0),(1,0,1)).

[niccoset]

Si ci sono, ma non riesco a capire la formula $ sum_{i=1}^n e_i $ . Devo moltiplicare scalarmente $ i+j+k $ per $i+j$ e $i-k$ per poi fare la sommatoria (anche se non credo dato che cosi ottengo uno scalare) ? C'è una spiegazione algebrica o geometrica a questa formula? Grazie

[Vanzan]

Dopo che fai il prodotto scalare devi moltiplicare ancora lo scalare per il generatore.
Quindi hai che il tuo vettore proiezione $v = <(1,1,1,);(1,1,0)>*(1,1,0) + <(1,1,1);(1,0-1)>*(1,0,-1)$.
La giustificazione provo a dartela a parole: Se devi proiettare un vettore su un altro vettore che fai? Fai il prodotto scalare tra i due e poi moltiplichi per la direzione(ossia per il vettore su cui proietti). Qui non hai un vettore ma due vettori. Quindi proietti su entrambi e poi li sommi. Magari se pensi alla somma come alla regola del parallelogramma ti chiarisce le idee

[niccoset]

Si riesco a vederlo geometricamente grazie. Solo una cosa ( e scusa se insisto), non riesco a capire cosa vuol dire ad esempio la seguente scrittura $ <(1,1,1,);(1,1,0)>⋅(1,1,0) $?

[Vanzan]

Fail il prodotto scalare tra $(1,1,1)$ e $(1,1,0)$. Il risultato è uno scalare, in questo caso $2$. Succesivamente moltiplichi il vettore per due. La moltiplicazione di un vettore per uno scalare è definita in uno spazio vettoriale, no?

[niccoset]

Si certo, quindi il risultato finale è un vettore parallelo a (2,2,0).
Le risposte proposte sono:
1)ortogonale a 2i+j+k
2)parallela a i+j
3)E' nulla
4)Nessuna delle altre risposte
5)Parallela a -2i-j-k.

Il professore come risposta corretta segna la 5) invece facendo con il tuo metodo torna la 2), ha sbagliato?

[Vanzan]

Nella risposta precedente ti ho spiegato cosa significa la formula $e_{i}$ e come si fa a calcolarla, ok?
Siccome affermi che la proiezione sia (2,2,0), suppongo tu ti sia dimenticato di fare lo stesso procedimento per l'altro generatore del piano e infine di sommare i due contributi. Infatti se applici $sum_{i=1}^n e_{i}$ (qui $n$ = 2 infatti il tuo piano è un sottospazio generato da due vettori) al tuo caso particolare ti viene: $2*(1,1,0) +2(1,0,1) = (4,2,2)$ che è parallelo a -2i-j-k.

[niccoset]

Grazie mille!!..