Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buongiorno.
Ho il seguente esercizio dove ho dei dubbi su alcuni passaggi.
Esercizio: Sia (V, ) spazio vettoriale euclideo e sia $XsubseteqV$ sottospazio vettoriale con $dimX=1$.
Dimostrare che, per ogni numero reale $alpha>0$ esistono esattamente due vettori in $X$ di norma pari ad $alpha$ e sono uno opposto dell'altro.
In particolare, esistono esattamente due versori in $X$ uno l'opposto dell'altro.
Premessa: ho appena ...
Buonasera.
Sto provando a verificare se la seguente forma bilineare $<-,-\> : RR^n times RR^n to RR, \ \ (x,y) to <x,y>:=x^tA^tAy$ è simmetrica e definita positiva.
Ho provato a verificare mediante le proprietà della matrice trasposta ma niente.
Dopodiché mi sono ricordato che una forma bilineare è simmetrica se e solo se la sua matrice è simmetrica.
Quindi se considero il riferimento canonico $C=(e_1,...,e_n)$ di $RR^n$, posso determinare la matrice $G$ associata alla forma bilineare.
Quindi se faccio vedere ...
Allora faccio una piccola premessa: il teorema spettrale complesso lo abbiamo svolto in più perché il nostro libro si ferma a trattare il caso reale (non ci ho capito granché siccome lo abbiamo coperto in tre ore di lezione purtroppo).
Allora l'esercizio è questo:
Sia $T:C^2 rarr C^2$ l'operatore lineare espresso in coordinate da
$T((z),(w))=((z+iw),(-iz+w))$
Determinare, se esiste, una base di autovettori di $T$ che sia unitaria, cioè ortonormale, rispetto al prodotto hermitiano canonico ...
Ho svolto un esercizio ma non sono sicuro di aver fatto correttamente.
Sia $T:R^2 rarr R^2$ l'endomorfismo rappresentato rispetto alla base canonica da
$A=|(1,3),(3,5)|$
Trova la matrice che rappresenta $T$ rispetto alla base B$={|(1),(3)|,|(3),(5)|}$
Io ho seguito la solita procedura, ovvero ho fatto agire $T$ sui vettori della base di partenza B(che in questo caso è uguale a quella d'arrivo) e mi sono espresso i trasformati rispetto alla base d'arrivo(sempre B)
Qui ...
Salve, mi sto preparando per l'esame di geometria ed algebra lineare e sto facendo affidamento all'eserciziario consigliato. Mi sono imbattuto in un esercizio dove viene richiesto di trovare un cono avente come direttrice la sfera di equazione $ x^2 + y^2+z^2 = 1 $ intersecata con il piano $z=0$ e vertice $ V(0,0,2) $. Il dubbio sorge quando vado a vedere la soluzione proposta dal libro dove indica che la quadrica cercata ha equazione $ x^2 + y^2 - 1/4 z^2 +z -1=0 $. Questa è la parte che non ...
Buongiorno. Ho il seguente esercizio.
Determinare l'equazione del piano $ alpha $ passante per $ A (1,1,0) $ e $ B (1,0,-2) $ e parallelo alla retta $ r:{ ( x-y-2=0 ),( x+z=-1 ):} $
In primo luogo ho trasformato l'equazione della retta dalla forma cartesiana alla parametrica:
$ r:{( x=t ), ( x-y-2=0 ),( x+z=-1 ):} $
$ r:{( x=t ), ( t-y-2=0 ),( t+z=-1 ):} $
$ r:{( x=t ), ( y=t-2 ),( z=-t-1 ):} $
Poi ho trovato il vettore $ v_(AB)=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)=(0,-1,-2) $
$ v_(n)=(a,b,c) $
$ { ( 0*a-1*b-2*c=0 ),( 1*a+1*b-1*c=0 ):} $
$ { ( -b-2c=0 ),( a+b-c=0 ):} $
Che si può riscrivere sotto forma di ...
Torno con un quesito di Geometria Proiettiva ma questa volta sulle iperquadriche: per capirci senza problemi, scrivo di seguito alcune definizioni (così come ci sono state date a lezione) che mi sono necessarie per proporvi il mio problema, nella speranza che vi ritroviate in esse. Intenderò con \(\mathbb{K}\) il campo reale o complesso e con \(\omega_L\) la proiettività di \(\mathbb{K}P_n\) tale che \(\forall\,[x]\in\mathbb{K}P_n: \omega_L([x])=[L(x)]\).
IPERQUADRICA DI UNO SPAZIO ...
Nel corso di geometria 1 mi è stato insegnato che l'ortogonalità di due vettori si può esprimere a partire dal prodotto scalare: due vettori \( v_1 \) e \( v_2 \) si dicono ortogonali se = 0 dove < , > esprime appunto il prodotto scalare definito sullo spazio vettoriale. Questa nozione di ortogonalità si verifica essere equivalente a quella usuale che si impara fin dalle elementari in \( \mathbb{R}^2 \) e in \( \mathbb{R}^3 \) . Ma chi mi dice che ciò vale anche in ...
Buonasera. Sto provando a dimostrare la seguente uguaglianza.
L'inclusione $supseteq$ la riesco a fare, invece, l'inclusione $subseteq$ no.
Proposizione: Se considero $W,U$ sottospazi di $V$ si ha $<UcupW> = {u+w \ : u in W, \ \ w in W}.$
Dimostrazione:
Posto $X={u+w \ : u in U, \ \ w in W}$ ho problemi con l'inclusione $Xsubseteq<UcupW>$.
Pensavo di dimostrare questa inclusione nella seguente maniera:
-Osservare che $X$ sottospazio vettoriale
-Osservare che ...
Ciao a tutti. Non so come impostare la dimostrazione di questo teorema:
"Sia $\Phi$ una proiettività di $PG(3,q^n)$ tra due stelle di rette di vertici due punti distinti $A$ e $B$. Se $\Phi$ fissa la retta $AB$ allora l'insieme dei punti di intersezione di rette corrispondenti tramite $\Phi$ è l'unione della retta $AB$ e di un piano non contenente la retta $AB$ oppure è l'unione della retta ...
Buonasera.
Vorrei un chiarimento su un'affermazione che viene fatta:
Sia $V$ spazio vettoriale su un campo $K$ di dimensione $n$
Sia $B$ riferimento di $V$ e cioè $B=(v_1,...,v_n)$
Sia $f$ forma bilineare su $V$
Presi due vettori $u, v$ si ha $u=sum_(i=1)^n x_iv_i, \ \ v=sum_(j=1)^n y_jv_j$. Dalla bilinearità di $f$ si ha
$**f(u,v)=f(sum_(i=1)^n x_iv_i, sum_(j=1)^n y_jv_j)=sum_(i,j=1)^nf(v_i, v_j)x_iy_j$
Dalla relazione $**$ si deduce che una ...
Ciao,
mi sono documentato sulle proprietà della traccia di una matrice.
Mi sono imbattuto in una matrice $nxn$ simmetrica e definita positiva nota e viene fatta questa uguaglianza:
$\Sigma^-1 \mu \mu^T = tr(\Sigma^-1 \mu \mu^T)$
Non ho trovato però nei testi o in rete tale proprietà: dipende solo dal contesto dell'esercizio? Lo si può fare perchè $\Sigma^-1 \mu \mu^T$ è uno scalare?
Grazie anticipatamente
C'e' modo per ricavare velocemente gli autovalori in questa matrice?
Vedo che se la divido a blocchi $2x2$ è triangolare inferiore ma non riesco a trovare gli autovalori.
$((2,0,5,7),(3,1,11,81),(0,0,-7,0),(0,0,10,5))$
$A=$$((\alpha, 1, 0),(-1, 3\alpha, 1),(0, -1, 5\alpha))$
$\alpha in RR$
Determinare l’insieme dei valori reali e positivi del parametro $\alpha$ per i quali i cerhi di Gershgorin sono due a due disgiunti
non riesco a capire come impostare il problema.
La soluzione è $\alpha >3/2$
Buonasera. Sto provando a capire la seguente affermazione:
Sia $RR^3$ spazio vettoriale reale, e sia $H$ sottospazio vettoriale di $RR^3$.
Se $dimH=2$ e $v,w$ formano una base di $H$ allora $H$ è il piano per l'origine contenente $v,w$.
Vi chiedo per provare che $H$ sia un siffatto sottospazio vettoriale devo provare $<v,w> = {(x,y,z) in RR^3: ax+by+cz=0}$
Preciso che con il simbolo ...
Buongiorno. Ho questo dubbio ma se considero $f:V to V'$ applicazione lineare tra gli spazi vettoriali $V,V'$ e sia $U=<u_1,...,u_t>$, $U$ sottospazio vettoriale di $V$. Allora risulta $f(U)=<f(u_1),...,f(u_t)>$ con $t in NN$
Vi posto la mia dimostrazione: La tesi consiste nel far vedere che $f(<u_1,...,u_t>)=<f(u_1),...,f(u_t)>$.
$subseteq$
$y in f(<u_1,...,u_t>) to exists u in <u_1,...,u_t>$ tale che $y=f(u)$
In particolare dal fatto che $u in <u_1,...,u_t>$ implica che esistono ...
Buongiorno,
Avendo un endomorfismo f :\( \Re ^3\rightarrow \Re ^3 \) la cui matrice associata rispetto alla base canonica di \( \Re ^3 \) è la matrice:
A: \( \begin{pmatrix} 0 & 1-a & a-1 \\ 1-a & -1 & 0 \\ 2-2a & 2a & 0 \end{pmatrix} \)
Stabilire per quali valori di a, f è isomorfismo.
Io ho pensato che per essere isomorfismo l'applicazione deve essere biiettiva, quindi deve essere invettiva (nucleo=0) e surriettiva (rkA=dim(Imf))
Svolgendo l'esercizio però mi vengono valori ...
Ciao,
non ho mai avuto una chiara comprensione della nozione di isomorfismo canonico (o naturale) tra 2 spazi vettoriali.
Ad esempio consideriamo lo spazio vettoriale V in dimensione 3 ed il suo duale V*. In assenza di un prodotto scalare definito su V i 2 spazi sono isomorfi (hanno infatti la stessa dimensione pari a 3), tuttavia l'isomorfismo non e' naturale.
Fissata una base $B = {v_i}$ su V consideriamo l'applicazione lineare $L$ che associa al vettore ...
Allora ho un dubbio riguardo questo esercizio svolto sul mio eserciziario:
Sia $A \in M_(3)(R)$
$A=|(1,-1,1),(2,1,7),(-2,-3,-1)|$
Trova le matrici associate all'endomorfismo $L_A:R^3 rarr R^3$ rispetto alle basi
$B={|(1),(2),(-1)|,|(0),(1),(2)|,|(1),(2),(0)|}$ e
$C={|(-1),(-2),(1)|,|(0),(-2),(1)|,|(0),(-1),(1)|}$
L'esercizio è spiegato in questo modo (la B e la C sarebbero in corsivo, perché associate a basi mentre le lettere maiuscole normali sono associate a matrici)
la matrice $A$ rappresenta $L_A$ rispetto alla base canonica, mentre le matrici ...
Allora stavo rivedendo alcuni esercizi svolti in classe e mi sono imbattuto in un semplice esercizio sulla diagonalizzazione di una matrice, tuttavia c'è una domanda a cui non saprei rispondere in maniera formale
Si consideri la matrice
$A=|(1,0,1),(0,1,0),(1,0,1)|$.Determinare autovalori, autovettori e stabilire se è diagonalizzabile. Ciò implica che $A^2, A^3,...A^n$ sono diagonalizzabili?
Allora, col senno di poi e dopo aver studiato il teorema spettrale, posso subito dire che la matrice è ...
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