Forma bilineare quando è univocamente determinata
Buonasera.
Vorrei un chiarimento su un'affermazione che viene fatta:
Sia $V$ spazio vettoriale su un campo $K$ di dimensione $n$
Sia $B$ riferimento di $V$ e cioè $B=(v_1,...,v_n)$
Sia $f$ forma bilineare su $V$
Presi due vettori $u, v$ si ha $u=sum_(i=1)^n x_iv_i, \ \ v=sum_(j=1)^n y_jv_j$. Dalla bilinearità di $f$ si ha
Dalla relazione $**$ si deduce che una forma bilineare su $V$ è univocamente determinata dai valori che essa assume sulle coppie dei vettori di un fissato riferimento di $V$.
La precendente affermazione non mi è chiara, cioè, perché si dice che $f$ è univocamente determinata dai valori che essa assume sulle coppie dei vettori di un fissato riferimento di $V$ ? Ma la $f$ non è già definita in precedenza, cioè non conosciamo la sua forma analitica ?
Vorrei un chiarimento su un'affermazione che viene fatta:
Sia $V$ spazio vettoriale su un campo $K$ di dimensione $n$
Sia $B$ riferimento di $V$ e cioè $B=(v_1,...,v_n)$
Sia $f$ forma bilineare su $V$
Presi due vettori $u, v$ si ha $u=sum_(i=1)^n x_iv_i, \ \ v=sum_(j=1)^n y_jv_j$. Dalla bilinearità di $f$ si ha
$**f(u,v)=f(sum_(i=1)^n x_iv_i, sum_(j=1)^n y_jv_j)=sum_(i,j=1)^nf(v_i, v_j)x_iy_j$
Dalla relazione $**$ si deduce che una forma bilineare su $V$ è univocamente determinata dai valori che essa assume sulle coppie dei vettori di un fissato riferimento di $V$.
La precendente affermazione non mi è chiara, cioè, perché si dice che $f$ è univocamente determinata dai valori che essa assume sulle coppie dei vettori di un fissato riferimento di $V$ ? Ma la $f$ non è già definita in precedenza, cioè non conosciamo la sua forma analitica ?
Risposte
Cosa significa "essere univocamente determinata"?
Ciao.
Una forma bilineare è univocamente determinata quando sappiamo i valori che essa assume su una coppia di vettori appartenenti ad un riferimento. Quindi posso determinare la sua forma analitica.
Ora, mi chiedo ma se ho una forma bilineare $f$ come da hp. automaticamente ho anche la sua forma analitica. Giusto ?
Una forma bilineare è univocamente determinata quando sappiamo i valori che essa assume su una coppia di vettori appartenenti ad un riferimento. Quindi posso determinare la sua forma analitica.
Ora, mi chiedo ma se ho una forma bilineare $f$ come da hp. automaticamente ho anche la sua forma analitica. Giusto ?
No, questo è impreciso, ed è il motivo per cui non capisci cosa c'è scritto. Cosa significa che una funzione lineare \(f : V \to W\) tra spazi vettoriali è "univocamente determinata" dai valori che assume su una base? Qui, significa la stessa cosa.
Sappiamo il valore che essa assume in un vettore del riferimento.
Nel caso in cui, sia, la forma bilineare, il valore che essa assume è un numero.
Non è questo ?
Nel caso in cui, sia, la forma bilineare, il valore che essa assume è un numero.
Non è questo ?
Scrivi cosa significa "la funzione \(f : V \to W\) è univocamente determinata dai valori che assume su \(S\subseteq V\)".
Un'applicazione in generale è univocamente determinata quando si conoscono tutti valori che essa assume su ogni elemento del suo dominio, e cioè si conosce il modo in cui trasforma gli elementi del suo dominio negli elementi del suo codominio.
$f:V to W$ applicazione lineare, e $\mathcal{R}$ un riferimento di $V.$
Un'applicazione lineare è univocamente determinata quando si conoscono i valori che essa assume su $\mathcal{R}$, e cioè si conosce il modo in cui trasforma i vettori del riferimento $\mathcal{R}$ nei vettori di $W$. Allora posso poter dire che per determinare le applicazione lineari, è necessario conoscere i valori che essa assume su un riferimento $\mathcal{R}$ di $V.$
Se si ha il seguente fatto, $\mathcal{R}={v_1,...v_n}$ riferimento di $V$, e $f(v_i)=w_i in W, \ \ i=1,...,n$
allora posso dire che $f$ è univocamente determinata .
Giusto ?
$f:V to W$ applicazione lineare, e $\mathcal{R}$ un riferimento di $V.$
Un'applicazione lineare è univocamente determinata quando si conoscono i valori che essa assume su $\mathcal{R}$, e cioè si conosce il modo in cui trasforma i vettori del riferimento $\mathcal{R}$ nei vettori di $W$. Allora posso poter dire che per determinare le applicazione lineari, è necessario conoscere i valori che essa assume su un riferimento $\mathcal{R}$ di $V.$
Se si ha il seguente fatto, $\mathcal{R}={v_1,...v_n}$ riferimento di $V$, e $f(v_i)=w_i in W, \ \ i=1,...,n$
allora posso dire che $f$ è univocamente determinata .
Giusto ?
No, e questo è esattamente il motivo della tua confusione.
Dire che $f$ è univocamente determinata su $S$ non significa dire che essa è stata definita su $S$; significa che è sufficiente (e non solo necessario, come tu scrivi) definirla lì per definirla in maniera unica altrove.
La definizione che stavo cercando di tirarti fuori con le tenaglie e la molestia è questa:
\(f : V \to W\) è univocamente determinata dalla sua assegnazione su \(S\subseteq V\) quando, qualora un'altra \(g : V\to W\) assuma gli stessi valori di $f$ su $S$ cioè \(f|_S =g|_S\), allora\(f=g\).
Dire che $f$ è univocamente determinata su $S$ non significa dire che essa è stata definita su $S$; significa che è sufficiente (e non solo necessario, come tu scrivi) definirla lì per definirla in maniera unica altrove.
La definizione che stavo cercando di tirarti fuori con le tenaglie e la molestia è questa:
\(f : V \to W\) è univocamente determinata dalla sua assegnazione su \(S\subseteq V\) quando, qualora un'altra \(g : V\to W\) assuma gli stessi valori di $f$ su $S$ cioè \(f|_S =g|_S\), allora\(f=g\).
Ma $S$ è una base ?
Leggendo dal libro, noto questo (riporto quello che c'è scritto)
1) Siano $V,V'$ spazi vettoriali sul campo $\mathbb{K}$, e $B={u_1,...u_n}$ base di $V$.
Data una funzione $phi :B to V'$, esiste una e una sola applicazione lineare $f:V to V'$ che è il prolungamento di $phi$ a $V$.
La proposizione 1) può essere riformulata come
2) Dato uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$ e fissati arbitrariamente $n$ vettori ${u_1',...,u_n'}$ di uno spazio vettoriale $V'$, esiste uno e una sola applicazione lineare $f:V to V'$ che muta i vettori di un fissato riferimento di $V$ ordinatamente nei vettori ${u_1',...,u_n'}$.
Da queste seguono due osservazioni
a) Dalla proposizione 1) segue che se due applicazioni lineari da $V$ in $V'$ assumono gli stessi valori sui vettori di una base di $V$ esse coincidono.
b)Dalla proposizione 2) un'applicazione lineare di $V$ in $V'$ è univocamente determinata dai valori ${u_1',...,u_n'}$ che essa assume su un fissato riferimento di $V$, facendo variare ${u_1',...,u_n'}$ in tutti i modi possibili, si ottengono tutte le applicazioni lineari di $V$ in $V'$.
Secondo me tu dici la $a)$ e io dico la $b)$
1) Siano $V,V'$ spazi vettoriali sul campo $\mathbb{K}$, e $B={u_1,...u_n}$ base di $V$.
Data una funzione $phi :B to V'$, esiste una e una sola applicazione lineare $f:V to V'$ che è il prolungamento di $phi$ a $V$.
La proposizione 1) può essere riformulata come
2) Dato uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$ e fissati arbitrariamente $n$ vettori ${u_1',...,u_n'}$ di uno spazio vettoriale $V'$, esiste uno e una sola applicazione lineare $f:V to V'$ che muta i vettori di un fissato riferimento di $V$ ordinatamente nei vettori ${u_1',...,u_n'}$.
Da queste seguono due osservazioni
a) Dalla proposizione 1) segue che se due applicazioni lineari da $V$ in $V'$ assumono gli stessi valori sui vettori di una base di $V$ esse coincidono.
b)Dalla proposizione 2) un'applicazione lineare di $V$ in $V'$ è univocamente determinata dai valori ${u_1',...,u_n'}$ che essa assume su un fissato riferimento di $V$, facendo variare ${u_1',...,u_n'}$ in tutti i modi possibili, si ottengono tutte le applicazioni lineari di $V$ in $V'$.
Secondo me tu dici la $a)$ e io dico la $b)$
"Yuyu_13":$S$ contiene una base; ai fini dell'enunciare la proprietà di "essere univocamente determinato" è irrilevante.
Ma $S$ è una base ?
Ciao megas, ora sono confuso, perché a lezione la prof. gli attribuiva un significato diverso da quello tuo.
Quello che riesco ad osservare:
1)
Dopodiché si ha
$a)$
$b)$
Allora $a)<=>b)$
Infine, quello che dici qui
Sembra essere equivalente alla $a)$
Per cui quello che hai detto dovrebbe essere equivalente alla $b)$.
Mi sbaglio ?
Quello che riesco ad osservare:
1)
"Yuyu_13":2)
Siano $ V,V' $ spazi vettoriali sul campo $ \mathbb{K} $, e $ B={u_1,...u_n} $ base di $ V $.
Data una funzione $ phi :B to V' $, esiste una e una sola applicazione lineare $ f:V to V' $ che è il prolungamento di $ phi $ a $ V $.
"Yuyu_13":e si ha $1<=>2$.
Dato uno spazio vettoriale $ V $ di dimensione $ n $ e fissati arbitrariamente $ n $ vettori $ {u_1',...,u_n'} $ di uno spazio vettoriale $ V' $, esiste uno e una sola applicazione lineare $ f:V to V' $ che muta i vettori di un fissato riferimento di $ V $ ordinatamente nei vettori $ {u_1',...,u_n'} $.
$
Dopodiché si ha
$a)$
"Yuyu_13":
Dalla proposizione 1) segue che se due applicazioni lineari da $ V $ in $ V' $ assumono gli stessi valori sui vettori di una base di $ V $ esse coincidono.
$b)$
"Yuyu_13":quest'ultime sono conseguenze rispettivamente di 1) e 2).
Un'applicazione lineare di $ V $ in $ V' $ è univocamente determinata dai valori $ {u_1',...,u_n'} $ che essa assume su un fissato riferimento di $ V $, facendo variare $ {u_1',...,u_n'} $ in tutti i modi possibili, si ottengono tutte le applicazioni lineari di $ V $ in $ V' $.
Allora $a)<=>b)$
Infine, quello che dici qui
"megas_archon":
\( f : V \to W \) è univocamente determinata dalla sua assegnazione su \( S\subseteq V \) quando, qualora un'altra \( g : V\to W \) assuma gli stessi valori di $ f $ su $ S $ cioè \( f|_S =g|_S \), allora\( f=g \).
Sembra essere equivalente alla $a)$
Per cui quello che hai detto dovrebbe essere equivalente alla $b)$.
Mi sbaglio ?
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