Isomorfismo non canonico tra spazi vettoriali
Ciao,
non ho mai avuto una chiara comprensione della nozione di isomorfismo canonico (o naturale) tra 2 spazi vettoriali.
Ad esempio consideriamo lo spazio vettoriale V in dimensione 3 ed il suo duale V*. In assenza di un prodotto scalare definito su V i 2 spazi sono isomorfi (hanno infatti la stessa dimensione pari a 3), tuttavia l'isomorfismo non e' naturale.
Fissata una base $B = {v_i}$ su V consideriamo l'applicazione lineare $L$ che associa al vettore $v_i$ della base $B$ il co-vettore $\omega_i$ in V* definito da:
\(\displaystyle L(v_i) = \omega_i \) tale che \( \omega_i (v_j) = \delta^i_j \).
Ora essendo l'isomorfismo un'applicazione lineare ovviamente abbiamo per es \( L(2v_i) = 2 \omega_i \).
In particolare al vettore $v_i$ della base $B$ che ha componenti (1,0,0) in $B$ l'isomorfismo $L$ fa corrispondere il co-vettore $\omega_i$ con componenti anch'esso (1,0,0) nella base formata dai ${\omega_i}$.
Ora a fronte di un cambiamento di base in V -- che induce un corrispondente cambiamento di base in V* -- le nuove componenti degli stessi vettori/co-vettori di prima (per es $v_i$ e $\omega_i$) non permangono piu' uguali tra di loro.
E' questo diciamo il 'problema' di tale isomorfismo per cui viene detto "non canonico" ? Grazie.
non ho mai avuto una chiara comprensione della nozione di isomorfismo canonico (o naturale) tra 2 spazi vettoriali.
Ad esempio consideriamo lo spazio vettoriale V in dimensione 3 ed il suo duale V*. In assenza di un prodotto scalare definito su V i 2 spazi sono isomorfi (hanno infatti la stessa dimensione pari a 3), tuttavia l'isomorfismo non e' naturale.
Fissata una base $B = {v_i}$ su V consideriamo l'applicazione lineare $L$ che associa al vettore $v_i$ della base $B$ il co-vettore $\omega_i$ in V* definito da:
\(\displaystyle L(v_i) = \omega_i \) tale che \( \omega_i (v_j) = \delta^i_j \).
Ora essendo l'isomorfismo un'applicazione lineare ovviamente abbiamo per es \( L(2v_i) = 2 \omega_i \).
In particolare al vettore $v_i$ della base $B$ che ha componenti (1,0,0) in $B$ l'isomorfismo $L$ fa corrispondere il co-vettore $\omega_i$ con componenti anch'esso (1,0,0) nella base formata dai ${\omega_i}$.
Ora a fronte di un cambiamento di base in V -- che induce un corrispondente cambiamento di base in V* -- le nuove componenti degli stessi vettori/co-vettori di prima (per es $v_i$ e $\omega_i$) non permangono piu' uguali tra di loro.
E' questo diciamo il 'problema' di tale isomorfismo per cui viene detto "non canonico" ? Grazie.
Risposte
L'isomorfismo \(\tau_V\) che esiste tra $V$ e il suo duale sarebbe naturale se per ogni $\phi : V \to W$ il quadrato
\[
\begin{CD}
V @>\tau_V>> V^\ast \\
@V\phi VV @AA\_\circ\phi A \\
W @>>\tau_W> W^\ast
\end{CD}
\] commutasse; non lo fa, o perlomeno non per ogni $\phi$.
\[
\begin{CD}
V @>\tau_V>> V^\ast \\
@V\phi VV @AA\_\circ\phi A \\
W @>>\tau_W> W^\ast
\end{CD}
\] commutasse; non lo fa, o perlomeno non per ogni $\phi$.
@megas_archon
Scusami, cosa intendi con l'applicazione \( \_\circ\phi \) e come e' 'collegata' a \( \phi \) ?
Scusami, cosa intendi con l'applicazione \( \_\circ\phi \) e come e' 'collegata' a \( \phi \) ?
È la trasposta di phi, che si ottiene prendendo un covettore, guardato come applicazione lineare, e precomponendo phi con esso.
"megas_archon":
È la trasposta di phi, che si ottiene prendendo un covettore, guardato come applicazione lineare, e precomponendo phi con esso.
Quindi se capisco bene...come e' definita la trasposta di $\phi$ ?
E' l'applicazione lineare che associa al covettore $\xi \in W^\ast$ il covettore in $V^\ast$ che al generico vettore $v \in V$ associa il numero reale $\xi (\phi(v))$.
E' corretto ? grazie.
Sì.
ok, se invece su $V$ e' definito un prodotto interno (scalare) allora e' possibile definire un isomorfismo $\tau$ tra $V$ e $V^\ast$ questa volta non dipendente dalla scelta di una base in $ V$ tale che per ogni possibile $\phi : V \to W$ il quadrato nel tuo post precedente commuta.
Lo spazio vettoriale $W$ non necessariamente deve avere la stessa dimensione di $V$, corretto ?
Lo spazio vettoriale $W$ non necessariamente deve avere la stessa dimensione di $V$, corretto ?
Dipende dalla definizione che dai di che cos'è un omomorfismo tra due spazi vettoriali a base fissata: una richiesta ragionevole è che \(\phi : (V, \mathcal V) \to (W, \mathcal W)\) sia indotta da una funzione tra le basi, diciamo \(f : \{v_1,\dots, v_n\} \to \{w_1,\dots, w_m\}\) se \(\mathcal V = \{v_1,\dots, v_n\}\) e \(\mathcal W = \{w_1,\dots, w_m\}\).
"megas_archon":
Dipende dalla definizione che dai di che cos'è un omomorfismo tra due spazi vettoriali a base fissata: una richiesta ragionevole è che \(\phi : (V, \mathcal V) \to (W, \mathcal W)\) sia indotta da una funzione tra le basi, diciamo \(f : \{v_1,\dots, v_n\} \to \{w_1,\dots, w_m\}\) se \(\mathcal V = \{v_1,\dots, v_n\}\) e \(\mathcal W = \{w_1,\dots, w_m\}\).
Scusa, quanto scrivi sopra a cosa si riferisce, alla prima parte del mio post precedente ?
Sì, non era chiaro; ti rispondo meglio: il motivo per cui la scelta di un prodotto scalare su $V$ ti dà un isomorfismo canonico di $V$ col suo duale è che nella catena di isomorfismi
\[\begin{CD}
\hom_k(V,V^\lor) @>\cong>> \hom_k(V, \hom_k(V,k)) @>\cong >> \hom_k(V\otimes V, k) @>\cong >> \text{Bil}(V\times V, k)
\end{CD}\] il sottoinsieme \(\text{Iso}(V,V^\lor)\) degli isomorfismi tra \(V\) e \(V^\lor\) corrisponde al sottoinsieme \(\text{NDeg}(V\times V,k)\) delle applicazioni bilineari non degeneri su \(V\times V\). Quindi la scelta di un prodotto scalare su $V$, ovvero di una applicazione bilineare definita positiva, identifica un ben preciso isomorfismo di \(V\) in \(V^\lor\), esattamente quello che in una opportuna base ortonormale ha per matrice l'identità \(\mathbb I_n = \left(\begin{smallmatrix}
1 & & \\
& \ddots & \\
& & 1
\end{smallmatrix}\right)\). Ora però c'è una sottigliezza da considerare: se hai aggiunto struttura agli oggetti (gli spazi vettoriali ora hanno un prodotto scalare, e implicitamente, la base ortonormale ad esso associata), devi restringere concordemente la definizione di omomorfismo in maniera tale che quella struttura che hai aggiunto venga rispettata. Quindi devi chiedere che una mappa lineare \(\varphi : V \to W\) sia "compatibile" con le basi ortonormali che hai scelto; oppure, chiedere che \(varphi\) sia una isometria rispetto al(le norme indotte dal) prodotto scalare che hai scelto; oppure una mappa contrattiva, se gli spazi vettoriali sono su un'estensione di \(\mathbb Q\) che oltre ad essere un campo è uno spazio metrico completo...
\[\begin{CD}
\hom_k(V,V^\lor) @>\cong>> \hom_k(V, \hom_k(V,k)) @>\cong >> \hom_k(V\otimes V, k) @>\cong >> \text{Bil}(V\times V, k)
\end{CD}\] il sottoinsieme \(\text{Iso}(V,V^\lor)\) degli isomorfismi tra \(V\) e \(V^\lor\) corrisponde al sottoinsieme \(\text{NDeg}(V\times V,k)\) delle applicazioni bilineari non degeneri su \(V\times V\). Quindi la scelta di un prodotto scalare su $V$, ovvero di una applicazione bilineare definita positiva, identifica un ben preciso isomorfismo di \(V\) in \(V^\lor\), esattamente quello che in una opportuna base ortonormale ha per matrice l'identità \(\mathbb I_n = \left(\begin{smallmatrix}
1 & & \\
& \ddots & \\
& & 1
\end{smallmatrix}\right)\). Ora però c'è una sottigliezza da considerare: se hai aggiunto struttura agli oggetti (gli spazi vettoriali ora hanno un prodotto scalare, e implicitamente, la base ortonormale ad esso associata), devi restringere concordemente la definizione di omomorfismo in maniera tale che quella struttura che hai aggiunto venga rispettata. Quindi devi chiedere che una mappa lineare \(\varphi : V \to W\) sia "compatibile" con le basi ortonormali che hai scelto; oppure, chiedere che \(varphi\) sia una isometria rispetto al(le norme indotte dal) prodotto scalare che hai scelto; oppure una mappa contrattiva, se gli spazi vettoriali sono su un'estensione di \(\mathbb Q\) che oltre ad essere un campo è uno spazio metrico completo...
"megas_archon":
il sottoinsieme \(\text{Iso}(V,V^\lor)\) degli isomorfismi tra \(V\) e \(V^\lor\) corrisponde al sottoinsieme \(\text{NDeg}(V\times V,k)\) delle applicazioni bilineari non degeneri su \(V\times V\). Quindi la scelta di un prodotto scalare su $V$, ovvero di una applicazione bilineare definita positiva, identifica un ben preciso isomorfismo di \(V\) in \(V^\lor\), esattamente quello che in una opportuna base ortonormale ha per matrice l'identità.
Scusami, premetto che non sono molto 'esperto' in materia...
Da quanto scrivi capisco che quindi al particolare prodotto scalare scelto corrisponde un preciso isomorfismo tra $V$ e \(V^\lor\) (quest'ultimo dovrebbe essere il duale di $V$ che io ho chiamato $V^\ast$). Tale isomorfismo e' rappresentato dalla matrice identita' scegliendo le seguenti basi: in $V$ una base di vettori ortonormali rispetto al prodotto scalare e in \(V^\lor = V^\ast\) la base costituita dai co-vettori 'associati' a quelli della base ortonormale scelta in $V$.
L'associazione e' la solita ovvero il covettore $\omega^i \ in V^\ast$ associato al vettore $v_i \in V$ e' quello tale che \(\omega^i (v_j) = \delta^i_j \).
Sì, il punto che manca (che ho dato per implicito) è che aver scelto una base su V "ti obbliga" a scegliere la base duale ad essa associata, sul duale di V. Del resto esiste una relazione tra la base su V, la sua duale, e la base in cui un dato prodotto scalare è ortogonale... la lascio scoprire a te (l'hai già praticamente scritta).
"megas_archon":
Ora però c'è una sottigliezza da considerare: se hai aggiunto struttura agli oggetti (gli spazi vettoriali ora hanno un prodotto scalare, e implicitamente, la base ortonormale ad esso associata), devi restringere concordemente la definizione di omomorfismo in maniera tale che quella struttura che hai aggiunto venga rispettata. Quindi devi chiedere che una mappa lineare \(\varphi : V \to W\) sia "compatibile" con le basi ortonormali che hai scelto...
ok, supponiamo quindi di aver assegnato un prodotto scalare su $V$ ed un prodotto scalare su $W$ (ovvero come dici di aver aggiunto struttura agli oggetti (vettori) degli spazi vettoriali $V$ e $W$). Avremo pertanto delle basi ortonormali in $V$ e $W$ rispettivamente.
Se capisco bene stai dicendo che, tornando al quadrato del post #2, l'omomorfismo $\phi$ tra $V$ e $W$ per cui il quadrato "commuta" deve esser tale da mandare i vettori di una base ortonormale di $V$ in altrettanti vettori ortonormali in $W$.
E' corretto ? Grazie.
Solo per esser sicuro di aver capito bene, il mio ultimo post e' corretto ? Grazie 
Riprendendo in considerazione il tuo messaggio di apertura e volendo fare un esempio concreto (non avendo sufficiente dimestichezza con i contenuti esposti da megas_archon, devo necessariamente volare basso):
Ovviamente:
Infatti, poiché:
si ha:
Tuttavia:
motivo per il quale, se $V$ è dotato di un prodotto scalare, a patto di considerare solo le basi ortonormali, non esiste più alcuna ambiguità.
Isomorfismo non canonico associato alla base ${vece_1,vece_2,vece_3}$
$T_e:V rarr V^(**)$
$AA x_1vece_1+x_2vece_2+x_3vece_3 in V$
$a_1vece_1+a_2vece_2+a_3vece_3 in V rarr a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3 in V^(**)$
Isomorfismo non canonico associato alla base ${vecf_1,vecf_2,vecf_3}$
$T_f:V rarr V^(**)$
$AA y_1vecf_1+y_2vecf_2+y_3vecf_3 in V$
$b_1vecf_1+b_2vecf_2+b_3vecf_3 in V rarr b_1y_1+b_2y_2+b_3y_3 in V^(**)$
Ovviamente:
$T_f ne T_e$
Infatti, poiché:
$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=[[a_1,a_2,a_3]][[x_1],[x_2],[x_3]]$
$b_1y_1+b_2y_2+b_3y_3=[[b_1,b_2,b_3]][[y_1],[y_2],[y_3]]$
$[[y_1],[y_2],[y_3]]=[[m_(11),m_(12),m_(13)],[m_(21),m_(22),m_(23)],[m_(31),m_(32),m_(33)]][[x_1],[x_2],[x_3]]$
$[[b_1],[b_2],[b_3]]=[[m_(11),m_(12),m_(13)],[m_(21),m_(22),m_(23)],[m_(31),m_(32),m_(33)]][[a_1],[a_2],[a_3]]$
si ha:
$[[b_1,b_2,b_3]][[y_1],[y_2],[y_3]]=[[a_1,a_2,a_3]][[m_(11),m_(12),m_(13)],[m_(21),m_(22),m_(23)],[m_(31),m_(32),m_(33)]]^t[[m_(11),m_(12),m_(13)],[m_(21),m_(22),m_(23)],[m_(31),m_(32),m_(33)]][[x_1],[x_2],[x_3]] ne [[a_1,a_2,a_3]][[x_1],[x_2],[x_3]]$
Tuttavia:
$[[m_(11),m_(12),m_(13)],[m_(21),m_(22),m_(23)],[m_(31),m_(32),m_(33)]]^t=[[m_(11),m_(12),m_(13)],[m_(21),m_(22),m_(23)],[m_(31),m_(32),m_(33)]]^(-1) rarr T_f=T_e$
motivo per il quale, se $V$ è dotato di un prodotto scalare, a patto di considerare solo le basi ortonormali, non esiste più alcuna ambiguità.
"anonymous_0b37e9":
si ha:
$[[b_1,b_2,b_3]][[y_1],[y_2],[y_3]]=[[a_1,a_2,a_3]][[m_(11),m_(12),m_(13)],[m_(21),m_(22),m_(23)],[m_(31),m_(32),m_(33)]]^t[[m_(11),m_(12),m_(13)],[m_(21),m_(22),m_(23)],[m_(31),m_(32),m_(33)]][[x_1],[x_2],[x_3]] ne [[a_1,a_2,a_3]][[x_1],[x_2],[x_3]]$
Tuttavia:
$[[m_(11),m_(12),m_(13)],[m_(21),m_(22),m_(23)],[m_(31),m_(32),m_(33)]]^t=[[m_(11),m_(12),m_(13)],[m_(21),m_(22),m_(23)],[m_(31),m_(32),m_(33)]]^(-1) rarr T_f=T_e$
motivo per il quale, se $V$ è dotato di un prodotto scalare, a patto di considerare solo le basi ortonormali, non esiste più alcuna ambiguità.
Se capisco bene il tuo isomorfismo non canonico e' definito in modo tale da associare al vettore di componenti $(a_1, a_2, a_3)$ nella base ${vece_1,vece_2,vece_3}$ di $V$ il co-vettore in $V^(**)$ avente ordinatamente le stesse componenti riferito alla base associata ${\xi_1,\xi_2,\xi_3}$ i cui $\xi_i$ sono definiti da $\xi_i(vece_j) = \delta_{ij}$ (analogamente per la base ${vecf_1,vecf_2,vecf_3}$ e la sua base duale corrispondente).
Ora in generale i due isomorfismi $T_e$ e $T_f$ sono diversi in quanto ad uno stesso vettore $v \in V$ (espresso da componenti diverse 'collegate tra loro' dalla matrice $M$ di passaggio tra le 2 basi in $V$) associano forme lineari (co-vettori) in $V^(**)$ diverse in quanto restituiscono numeri reali diversi quando applicate su uno stesso generico vettore $w \in V$.
Se definiamo invece un prodotto scalare in $V$ e consideriamo le sole basi ortonormali (i.e. ${vece_1,vece_2,vece_3}$ e ${vecf_1,vecf_2,vecf_3}$ ortonormali) allora essendo la matrice di passaggio $M$ ortogonale allora gli isomorfismi coincidono ovvero uno qualunque di essi definisce lo stesso isomorfismo (isomorfismo canonico).
Torna ? grazie.
Direi proprio di sì.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo