Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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So che è pieno di domande a riguardo, ma purtroppo non ho le basi per poterle capire. Studio ingegneria e di algebra lineare mi sono state spiegate varie cose, fra cui il significato di spazio vettoriale, applicazioni lineari e praticamente quasi nulla più. Ovviamente mi è anche stata fornita la definizione di matrice. Sui tensori però non so nulla. Mi sono stati presentati direttamente in scienza delle costruzioni (come semplici matrici), con relative applicazioni. Visto che non mi va di fare ...
Sia \(K\) un campo dotato di una norma non archimedea, i.e. un campo \(K\) ed una mappa \( \left \| \cdot \right \| : K \to \mathbb{R} \) che verifica
\[ \left \| x \right \| =0 \text{ se e solo se } x=0 \]
\[ \left \| x y \right \| = \left \| x \right \| \left \| y \right \|, \forall x,y \in K \]
\[ \left \| x+y \right \| \leq \max \{ \left \| x \right \|, \left \| y \right \| \}, \forall x,y \in K \]
Dimostra che in un campo dotato di una norma non archimedea si ha
1) Tutti i ...
Sperando nella vostra benevolenza vi chiedo se volete aiutarmi.
Sono incapace di individuare il cono sul quale giace una parabola che conosco
$ y=9x^2+6x+1 $
Ho bisogno di sapere l'angolo al vertice del cono.
Grazie a chi vorrà dedicarmi del tempo.
Non so come risolvere questo esercizio. Nello spazio euclideo si considerino la retta
r : x − 2y + 1 = z + y − 3 = 0
ed il piano
π : x + y − 1 = 0.
Si determini l’equazione del piano σ perpendicolare al piano π e parallelo alla retta r
Buonasera a tutti! Leggendo la dimostrazione di un teorema (di invertibilità globale, dal Fusco-Marcellini-Sbordone), ho avuto problemi nel giustificare un passaggio che (credo) sia squisitamente topologico. Per chiarezza, vi riporto i passi problematici (non credo sia necessario sapere la loro specifica natura; qualora lo fosse, lo indicherò meglio successivamente): considerate \(Y\subset\mathbb{R}^n\) un chiuso contenuto in un dominio connesso \(T\subset\mathbb{R}^n\) (nel senso che è la ...
Buonasera,
Il problema riguarda un quesito di un test:
Sia v lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 2 in una indeterminata a coefficienti reali. Sia poi
g: V->V l'endomorfismo tale che
$g(1) = x-1, g(x) = x^2, g(x^2) = 1-x$
Si stabilisca quale delle seguenti affermazioni è vera:
A) g muta basi in basi
B) $g^-1(3+x) = 0$, ove 0 denota l'insieme vuoto
C) g è iniettivo
D)$g^-1(3-3x) = 0$, ove 0 denota l'insieme vuoto
La mia soluzione:
A) falsa perché $g(1), g(x), g(x^2)$ non sono una base.
B) ...
Salve, ho un dubbio sulla risoluzione di questo esercizio:
dato un sottospazio W di R^4 definito da
x+y+z+t = 0
x+2y+3z+4t = 0
a)Trovare Dimensione di W e W $ _|_ $
b) Base ortogonale di W
c) Base ortogonale di W $ _|_ $
d) Determinare coordinate del vettore canonico e1 nella base W $ uu $ W $ _|_ $
a) Dimensione W = 4-2= 2, facendo n incognite - m equazioni, lo stesso per W $ _|_ $
b)Base ortogonale di W ho trasformato la ...
Buona sera, qualche giorno fa mi sono imbattuto all'esame di algebra in un esercizio che sinceramente prima di allora non avevo mai visto da nessuna parte, e anche al momento non riesco a trovare da nessuna parte in rete o in un qualsiasi libro una soluzione, l'esercizio è il seguente:
In $M_2$($RR$), spazio vettoriale delle matrici quadrate reali di ordine 2, si consideri l'endomorfismo $f:$
$M_2$($RR$) ...
Salve a tutti ho un dubbio sulla derivata di questa funzione:
$ f(x)=(1/2)(Ax-b)^(T)(Ax-b) $
Dove $ A $ è una matrice $ pxx n $ dove $ p>n $
E la sua derivata è questa:
$ f'(x)=(Ax-b)^(T)A $
Ho considerato la funzione come una funzione composta da:
$ g(x)= Ax-b $
$ f(g(x))= (Ax-b)^(T)(Ax-b) $
E quindi derivando ho ottenuto:
$ g'(x)= (1/2)A $
$ f'(g(x))= (Ax-b)^(T) $
Potete passarmi materiale per approfondire la derivata di vettori e matrici trasposte e funzioni vettoriali e ...
Inizio con il dire che ho iniziato nell'ultimo periodo a studiare (anche se forse è più corretto dire informarmi sulla) topologia, quindi non avendo un tutore o un insegnante, ma prendendo informazioni qua e là non sono un maestro di questo argomento e anzi penso proprio di avere una gran confusione in testa...
Passando alla questione vera e propria (spero sia il posto giusto dove chiedere e che non sia troppo stupida ):
Non ho capito molto bene la definizione di "insieme aperto" in ...
Ciao ragazzi, ho un esercizio che credo di saper risolvere ma ho un dubbio sull'ultimo passaggio
Sia una matrice A 3x3 con autovalori 1 e 2. Sapendo che vettori colonna $ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $ , $ ( ( 2 ),( 2 ),( 1 ) ) $ appartengono ad autospazio V1, calcolare il prodotto:
A $ ( ( 1 ),( -1 ),( 2) ) $
La mia idea è quella di ricavare prima la matrice A dagli autovalori e vettori (scusate la struttura dei vettori ma sto ancora imparando ad usare il forum )
Per ...
Buongiorno ragazzi ho questo esercizio sulle applicazioni lineari e non comprendo come ragionare
Sia $ L:R^3rarr R^2 $ un applicazione lineare tale che $ L( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) = ( ( 1 ),( 1 ) ) $ e $ L( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) = ( ( 2 ),( 2 ) ) $. Quali affermazioni sono necessariamente vere?
- $ L $ non è suriettiva
- $ Ker(L) = span( (-1),(1),(1) ) $
- $( (1),(-1),(-1) ) in Ker(L) $ (VERO)
- $ span( (1),(1) ) sub Im(L) $ (VERO)
grazie!
Buonasera. Ho questo problema.
Se considero un sottospazio vettoriale $W$ non nullo allora $W$ contiene sistemi linearmente indipendenti.
Per provare questa affermazione, ho provato a fare così:
Sia $mathfrak{F}$ famiglia di sistemi linearmente indipendenti $S$ con $SsubseteqW$. Allora la tesi è provare che $mathfrak{F} ne emptyset$.
Suppongo per assurdo che $mathfrak{F}=emptyset$, quindi $W$ contiene solo sistemi linearmente ...
Credo di essere andato nel pallone su una semplice definizione: vettori uguali.
E credo di non aver capito bene cosa si intenda per direzione di un vettore.
Il punto è questo: perchè 2 vettori di uguale modulo, paralleli, equiversi ma giacenti su rette distine sono uguali?
In altre parole: perchè due rette parallele distinte sono considerate "la stessa direzione"?
Grazie.
Scusate avrei bisogno di una spiegazione:
durante il corso, in particolare quando abbiamo diagonalizzato la matrice di Pauli $\sigma_2=|(0,i),(-i,0)|$ e la matrice rotazione per $\alpha=pi/2, A=|(0,-1),(1,0)|$ il professore ha trovato gli autospazi ottenendo in entrambi i casi le equazioni $z_2=iz_1,z_2=-iz_1, z_1,z_2 \in CC$. Ha continuato dicendo poi entrambe le volte, in maniera molto veloce, che tali equazioni sono dette rette isotrope e che sono invarianti alla rotazione di $90°$.(la frase esatta pronunciata dal ...
Salve,
ho riscontrato un esercizio che il prof non ha spiegato ma chiede nell'esame.
Trovare la giusta rappresentazione cartesiana di un sottospazio di dimensione =3 in R^5 :
x+y+z+t+u=0
x-y+3t+u= 0
x+y-2z+t+u=3
x-y+3t+4u=0
x+y-2z+t+u=0
2x+2y-4z+2t+2u=0
x+y+3z+t+u=0
x-y+3t+u=0x+y-z+t+u=0
Apparte un'idea sul prendere il numero di equazioni cartesiane come dimensione (e qui mi sono reso conto che era prorio sbagliato).
La mia idea era quella di trasformarle in equazioni parametriche, da ...
Ciao a tutti, ho alcuni dubbi su alcuni esercizi di algebra lineare
AGGIUNTA: 0) Sia $A$ una matrice reale $nxxn$ tale che $A^2=A$. Trovare i possibili autovalori di $A$.
Io ho detto che, dato che $A^2=A$ allora so che $A(A-I)=0$, dove $I$ indica la matrice identità.
Allora il polinomio minimo di $A$ deve dividere il polinomio $t(t-1)$, dunque gli unici due possibili autovalori di ...
Salve a tutti avrei un dubbio su come svolgere un calcolo.
Riporto tutto l'esercizio così la cosa risulta più chiara.
Siano $v_1,v_2,v_3, w_1,w_2,w_3 \in R^3$ i vettori
$v_1=(1,0,1), v_2=(0,1,-1),v_3=(0,0,2),w_1=(3,1,0),w_2=(-1,0,2),w_3=(0,2,0)$
Dimostra che (considerate le lettere per le basi in corsivo mentre per le matrici maiuscole normali) $B={v_1,v_2,v_3}$ è una base di $R^3$, verifica che esiste un unico endomorfismo $T \in L(R^3,R^3)$ tale che $T(v_j)=w_j, j=1,2,3$ e trova la matrice associata a $T$ rispetto alla base $B$ e ...
Buongiorno a tutti,
sono nuovo nel forum e spero in un vostro aiuto.
Sono uno studente iscritto al primo anno di Ingegneria Chimica e giovedì devo sostenere l’esame di Geometria e Algebra. Mi sento abbastanza preparato su tutto il programma, ma c’è un esercizio che era presente allo scorso appello e che proprio non riesco a capire e chiedo se qualcuno mi può aiutare a risolverlo, in particolare i punti (ii) e (iii).
Questo l'esercizio, scusate ma non sono stato capace qui di scrivere la ...
Ciao a tutti, sono nuovo nel forum quindi spero di non fare troppo errori
L'esercizio su cui ho dei dubbi è il seguente:
Sia T l’endomorfismo di R3 con matrice associata
A =$((1,1,1),(1,1,1),(1,1,1))$
rispetto alla base B=(v1=(1, 0, 0), v2=(0, 1, 1), v3=(0, 0, 1)).
a) Trovare una base di R3 costituita da autovettori di T
Per prima cosa trasformo la matrice associata dalla base B a quella canonica in R3.
Noto che nella base B ho già due vettori della base canonica,quindi trovo il rimanente:
T(0,1,0) = ...
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