Sottospazio somma-dimostrazione

[Yuyu_13]

Buonasera. Sto provando a dimostrare la seguente uguaglianza.
L'inclusione $supseteq$ la riesco a fare, invece, l'inclusione $subseteq$ no.

Proposizione: Se considero $W,U$ sottospazi di $V$ si ha $ = {u+w \ : u in W, \ \ w in W}.$
Dimostrazione:
Posto

$X={u+w \ : u in U, \ \ w in W}$

ho problemi con l'inclusione $Xsubseteq$.

Pensavo di dimostrare questa inclusione nella seguente maniera:
-Osservare che $X$ sottospazio vettoriale
-Osservare che $XsubseteqUcupW$
e da queste due si ha che $Xsubseteq$.
Infatti se vale la seconda si ha $subseteq$ per una proprietà dei sottospazi generati, invece
per la prima si ha $X $ sottospazio vettoriale$<=>X=.$

Verifico che $X$ è un sottospazio vettoriale.

-$O in X$, infatti $O=O+O.$

-$u_1+w_1$, $u_2+w_2 $ elementi di $X$ si ha

$u_1+w_1+u_2+w_2=(u_1+u_2)+(w_1+w_2) in X$

-$u+w in X$, $a in \mathbb{K}$ si ha

$a(u+w)=au+aw in X$

Dunque $X$ è un sottospazio vettoriale di $V$.
La secondo verifica non so come fare.

[megas_archon]

X è contenuto in ogni sottospazio che contiene \(U\cup W\), perché ogni tale sottospazio deve contenere tutte le somme di elementi uno in U e uno in W. Quindi \(X\subseteq \langle U\cap W\rangle\), perché ques'ultimo è uguale a \(\bigcap_{U\cup W\subseteq Z} Z\).

[Yuyu_13]

Ciao megas_archon, grazie per la risposta. Forse mi hai risolto il problema .
Giusto per stare sereni lo riporto con le mie parole.

Per ogni $Z$ sottospazio vettoriale di $V$ tale che $UcupWsubseteqZ$, si ha $XsubseteqZ$.
Infatti da $UcupWsubseteqZ$ risulta che $Z$ contiene sia elementi di $U$ che di $W$ e quindi contiene anche la somma, essendo un sottospazio vettoriale. Quindi si ha la tesi.

Con $Z$ sopra, si ha che $XsubseteqZ$ per ogni $Z$, allora $Xsubseteq bigcapZ={x \ \ : x in Z, \ \ UcupW subseteq Z}.$
Poiché $bigcapZ=^(def)$ si ha la tesi.


Comunque grazie