Calcolo autovalori

[zio_mangrovia]

C'e' modo per ricavare velocemente gli autovalori in questa matrice?
Vedo che se la divido a blocchi $2x2$ è triangolare inferiore ma non riesco a trovare gli autovalori.

$((2,0,5,7),(3,1,11,81),(0,0,-7,0),(0,0,10,5))$

[marco2132k]

Non ne ho idea. Ovviamente il determinante \( \chi(A) \) di \( X1 - A \) si calcola anche lui a blocchi, e viene fuori \( \chi(A) = (X-1)(X-2)(X+7)(X-5) \), no?

[zio_mangrovia]

sono matrici triangolari a blocchi quindi gli autovalori sono ricavabili dagli elementi sulla diagonale.

[marco2132k]

Non lo so, ma non credo. Se al posto di
\[
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 5 & 7\\
3 & 1 & 11 & 81\\
0 & 0 & -7 & 0\\
0 & 0 & 10 & 5
\end{pmatrix}
\] avevi
\[
\begin{pmatrix}
2 & {\color{red}p_1} & 5 & 7\\
3 & 1 & 11 & 81\\
0 & 0 & -7 & {\color{red}p_2}\\
0 & 0 & 10 & 5
\end{pmatrix}
\] con \( p_1\neq 0 \) o \( p_2\neq 0 \), non era così semplice. Il determinante di
\[
\begin{pmatrix}
X - 2 & 0 & -5 & -7\\
-3 & X - 1 & -11 & -81\\
0 & 0 & X + 7 & 0\\
0 & 0 & - 10 & X - 5
\end{pmatrix}
\] e di
\[
\begin{pmatrix}
X - 2 & -p_1 & -5 & -7\\
-3 & X - 1 & -11 & -81\\
0 & 0 & X + 7 & -p_2\\
0 & 0 & - 10 & X - 5
\end{pmatrix}
\] lo puoi calcolare a blocchi, ovviamente, e ma ti vengono fuori due polinomi diversi come
\[
(X - 2)(X - 1)(X + 7)(X - 5)
\] e
\[
\left((X - 2)(X - 1) - 3p_1\right)\left((X + 7)(X - 5) - 10p_2\right)
\] e quindi gli autovalori della seconda matrice dipenderanno da \( p_1 \) e \( p_2 \). Può essere?