Proiettività tra stelle di rette
Ciao a tutti. Non so come impostare la dimostrazione di questo teorema:
"Sia $\Phi$ una proiettività di $PG(3,q^n)$ tra due stelle di rette di vertici due punti distinti $A$ e $B$. Se $\Phi$ fissa la retta $AB$ allora l'insieme dei punti di intersezione di rette corrispondenti tramite $\Phi$ è l'unione della retta $AB$ e di un piano non contenente la retta $AB$ oppure è l'unione della retta $AB$ e di due rette sghembe, una passante per $A$ e l'altra per $B$."
Come posso dimostrarlo? Devo scrivere le equazioni parametriche delle rette per $A$ e per $B$ oppure posso fare un ragionamento sui piani per $A$ e per $B$ (ovvero $\Phi$ manda $x_2=0$ in $x_2=0$, $x_3=0$ in $x_3=0$ e $x_4=0$ in $x_1=0$)?
"Sia $\Phi$ una proiettività di $PG(3,q^n)$ tra due stelle di rette di vertici due punti distinti $A$ e $B$. Se $\Phi$ fissa la retta $AB$ allora l'insieme dei punti di intersezione di rette corrispondenti tramite $\Phi$ è l'unione della retta $AB$ e di un piano non contenente la retta $AB$ oppure è l'unione della retta $AB$ e di due rette sghembe, una passante per $A$ e l'altra per $B$."
Come posso dimostrarlo? Devo scrivere le equazioni parametriche delle rette per $A$ e per $B$ oppure posso fare un ragionamento sui piani per $A$ e per $B$ (ovvero $\Phi$ manda $x_2=0$ in $x_2=0$, $x_3=0$ in $x_3=0$ e $x_4=0$ in $x_1=0$)?
Risposte
Non ho capìto una cosa: per stella di rette con centro \(\displaystyle A\) intendi la totalità delle rette di \(\displaystyle PG(3,q)\), con \(\displaystyle p\in\mathbb{P},n\in\mathbb{N}_{\geq1},q=p^n\), passanti per il punto \(\displaystyle A\)?
"j18eos":
Non ho capìto una cosa: per stella di rette con centro \(\displaystyle A\) intendi la totalità delle rette di \(\displaystyle PG(3,q)\), con \(\displaystyle p\in\mathbb{P},n\in\mathbb{N}_{\geq1},q=p^n\), passanti per il punto \(\displaystyle A\)?
Esattamente
"pigrecoedition":Ovvero si vuole determinare l'insieme \(\displaystyle\{P\in PG(3,q)\mid A\in r,\dim r=1,P\in r\cap\Phi(r)\}\)?
[...] l'insieme dei punti di intersezione di rette corrispondenti tramite $\Phi$ [...]
"j18eos":Ovvero si vuole determinare l'insieme \(\displaystyle\{P\in PG(3,q)\mid A\in r,\dim r=1,P\in r\cap\Phi(r)\}\)?[/quote]
[quote="pigrecoedition"][...] l'insieme dei punti di intersezione di rette corrispondenti tramite $\Phi$ [...]
Si
Hai provato a ragionare con l'enfomorfismo lineare di \(\mathbb{F}_q^4\) che induce \(\Phi\)?
"j18eos":
Hai provato a ragionare con l'enfomorfismo lineare di \(\mathbb{F}_q^4\) che induce \(\Phi\)?
Assumendo che $\Phi$ manda il piano $x_2=0$ in sè stesso, il piano $x_3=0$ in sè stesso e il piano $x_4=0$ nel piano $x_1=0$ allora $\Phi$ manda un generico piano per $A$ di equazione $ax_2+bx_3+cx_4=0$ nel piano per $B$ di equazione $cx_1+ax_2+bx_3=0$.
Spero di aver capito il tuo suggerimento.
Ma perché parti da queste assunzioni? 
Quelle stelle di rette proiettive corrispondono a dei fasci di piani in \(\mathbb{F}_q^4\), e bisogna studiare cosa combinano gli automorfismi lineari su questi fasci... io procederei così!
Quelle stelle di rette proiettive corrispondono a dei fasci di piani in \(\mathbb{F}_q^4\), e bisogna studiare cosa combinano gli automorfismi lineari su questi fasci... io procederei così!
\[ \begin{case} x_1=\lambda \\ x_2=\mu \alpha \\ x_3= \mu \beta \\ x_4= \mu \gamma end{case}, (\lambda,\mu) \ in \PG(1,q) \]
Devo quindi considerare le equazioni parametriche delle rette per $A$? Cioè \begin{cases} x_1=\lambda \\ x_2=\mu \alpha \\ x_3= \mu \beta \\ x_4= \mu \gamma \end{cases} al variare di $(\lambda,\mu) \ in \PG(1,q)$. Le terne $(\alpha, \beta ,\gamma) \in PG(2,q)$ determinano una retta del fascio.
"j18eos":
Ma perché parti da queste assunzioni?
Quelle stelle di rette proiettive corrispondono a dei fasci di piani in \(\mathbb{F}_q^4\), e bisogna studiare cosa combinano gli automorfismi lineari su questi fasci... io procederei così!
Devo quindi considerare le equazioni parametriche delle rette per $A$? Cioè \begin{cases} x_1=\lambda \\ x_2=\mu \alpha \\ x_3= \mu \beta \\ x_4= \mu \gamma \end{cases} al variare di $(\lambda,\mu) \ in \PG(1,q)$. Le terne $(\alpha, \beta ,\gamma) \in PG(2,q)$ determinano una retta del fascio.
Se capisco bene, a meno del riferimento proiettivo, scegli \(\displaystyle A\equiv[1:0:0:0:0]\) e \(\displaystyle B\equiv[0:0:0:0:1]\), rappresenti la stella di rette per questi punti, ti calcoli tuttle le possibili proiettività, e vedi che succede!?
Sembra una buona tattica risolutiva!
Sembra una buona tattica risolutiva!
"j18eos":
Se capisco bene, a meno del riferimento proiettivo, scegli \(\displaystyle A\equiv[1:0:0:0:0]\) e \(\displaystyle B\equiv[0:0:0:0:1]\), rappresenti la stella di rette per questi punti, ti calcoli tuttle le possibili proiettività, e vedi che succede!?
Sembra una buona tattica risolutiva!
Si, scelgo $A=(1,0,0,0)$ e $B=(0,0,0,1)$. Quindi le rette per $A$ sono date da
\begin{cases} x_1=\lambda \\ x_2=\mu \alpha \\ x_3= \mu \beta \\ x_4= \mu \gamma \end{cases}
al variare di $(\alpha, \beta,\gamma) \in PG(2,q)$; le retta per $B$ sono date da
\begin{cases} x_1=\rho \alpha \\ x_2=\rho \beta \\ x_3= \rho \gamma \\ x_4= \theta \end{cases}
al variare di $(\alpha, \beta,\gamma) \in PG(2,q)$.
Dato che $\Phi(AB)=AB$, allora $(0,0,1) \mapsto (1,0,0)$. Inoltre se suppongo che $(0,1,0) \mapsto (0,0,1)$, $(1,0,0) \mapsto (0,1,0)$, $(1,1,1) \mapsto (1,1,1)$, si ha che $(\alpha, \beta, \gamma) \mapsto (\gamma, \alpha, \beta)$. Quindi l'immagine di una retta per $A$ è
\begin{cases} x_1=\rho \gamma \\ x_2=\rho \alpha \\ x_3= \rho \beta \\ x_4= \theta \end{cases}
Adesso come studio l'intersezione di rette corrispondenti?
Io vedrei quelle stelle di rette come fasci di piani in \(\displaystyle\mathbb{F}_q^4\)...
Sicuramente devi scambiare due vettori della base canonica; e poi che combini?
Sicuramente devi scambiare due vettori della base canonica; e poi che combini?
"j18eos":
Io vedrei quelle stelle di rette come fasci di piani in \(\displaystyle\mathbb{F}_q^4\)...
Sicuramente devi scambiare due vettori della base canonica; e poi che combini?
Ma come studi l'intersezione di quei piani? I piani per $A$ in $\mathbb{F}_q^4$ hanno le stesse equazioni delle rette per $A$ in $PG(3,q)$, giusto?
"pigrecoedition":L'idea (che non riesco a portare a termine) è che quelle intersezioni devono formare una unione di sottospazi vettoriali, da cui la risposta.
[...] I piani per $A$ in $\mathbb{F}_q^4$ hanno le stesse equazioni delle rette per $A$ in $PG(3,q)$, giusto?
Ma non riesco a impostare dei calcoli...
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