Esercizio su norma.
Buongiorno.
Ho il seguente esercizio dove ho dei dubbi su alcuni passaggi.
Esercizio: Sia (V, <-,->) spazio vettoriale euclideo e sia $XsubseteqV$ sottospazio vettoriale con $dimX=1$.
Dimostrare che, per ogni numero reale $alpha>0$ esistono esattamente due vettori in $X$ di norma pari ad $alpha$ e sono uno opposto dell'altro.
In particolare, esistono esattamente due versori in $X$ uno l'opposto dell'altro.
Premessa: ho appena iniziato lo studio degli spazi vettoriali euclidei, e le mie conoscenze si basano su cosa sia un prodotto scalare e le definizioni di norma, norma quadra e distanza.
Pensavo di svolgere nella seguente maniera:
Poiché il sottospazio vettoriale $X$ ha dimensione uno segue $X=Span(w)={aw \ \ : \ \a in RR}$
Considerato la restrizione del prodotto scalare $<-,- >\_X$ a $XtimesXsubseteq VtimesV$ è un prodotto scalare in $X$ e quindi la coppia $(X, <-,- >_X)$ è uno spazio vettoriale euclideo.
Da questo momento in poi il prodotto scalare ridotto lo indicherò semplicemente con $<-,- >$
La seguente affermazione non mi convince: La funzione norma che qui di seguito riporto
Pertanto per ogni $alpha >0 $ esiste un vettore $v$ in $X$ per cui $||v||=alpha$
Dall'altra parte $v in X to exists a in RR \ \ : \ \ v=aw$ e quindi componendo si ha
La seconda parte non l'ho svolta perché preferisco discutere primo lo svolgimento di questa parte.
Saluti
Ho il seguente esercizio dove ho dei dubbi su alcuni passaggi.
Esercizio: Sia (V, <-,->) spazio vettoriale euclideo e sia $XsubseteqV$ sottospazio vettoriale con $dimX=1$.
Dimostrare che, per ogni numero reale $alpha>0$ esistono esattamente due vettori in $X$ di norma pari ad $alpha$ e sono uno opposto dell'altro.
In particolare, esistono esattamente due versori in $X$ uno l'opposto dell'altro.
Premessa: ho appena iniziato lo studio degli spazi vettoriali euclidei, e le mie conoscenze si basano su cosa sia un prodotto scalare e le definizioni di norma, norma quadra e distanza.
Pensavo di svolgere nella seguente maniera:
Poiché il sottospazio vettoriale $X$ ha dimensione uno segue $X=Span(w)={aw \ \ : \ \a in RR}$
Considerato la restrizione del prodotto scalare $<-,- >\_X$ a $XtimesXsubseteq VtimesV$ è un prodotto scalare in $X$ e quindi la coppia $(X, <-,- >_X)$ è uno spazio vettoriale euclideo.
Da questo momento in poi il prodotto scalare ridotto lo indicherò semplicemente con $<-,- >$
La seguente affermazione non mi convince: La funzione norma che qui di seguito riporto
$|| - || : v in X to ||v|| := sqrt() in RR$
risulta suriettiva se si restringe il codominio da $RR$ ad $RR_+={alpha in RR \ \ : \ \ alpha >0}$ Pertanto per ogni $alpha >0 $ esiste un vettore $v$ in $X$ per cui $||v||=alpha$
Dall'altra parte $v in X to exists a in RR \ \ : \ \ v=aw$ e quindi componendo si ha
$alpha=||v||=||aw||=|a| \ \ ||w||=$ $ { ( a\ \ ||w||, mbox{se}\ \ a>0 ),( -a \ \ ||w||, mbox{se}\ \ a<0):} $
Dunque si ha la tesi. Può andare bene ?La seconda parte non l'ho svolta perché preferisco discutere primo lo svolgimento di questa parte.
Saluti
Risposte
X è generato da un vettore non nullo; siccome \(\langle -,-\rangle\) è un prodotto scalare (questa è la definizione di spazio euclideo, no?), \(\langle v,v\rangle = a > 0\). A questo punto \(u=\pm\sqrt{\frac\alpha a}v\) sono i due vettori tali che \(\langle u,u\rangle=\alpha\).
In maniera più agnostica, devi trovare \(t\in\mathbb R\) tale che \(\langle tv,tv\rangle = t^2\langle v,v\rangle=t^2a=\alpha\); risolvi questa equazione in $t$.
Il caso dei versori è quello in cui \(\alpha=1\).
In maniera più agnostica, devi trovare \(t\in\mathbb R\) tale che \(\langle tv,tv\rangle = t^2\langle v,v\rangle=t^2a=\alpha\); risolvi questa equazione in $t$.
Il caso dei versori è quello in cui \(\alpha=1\).
Ciao megas_archon.
Provo a vedere se ho capito bene quello che mi hai suggerito. In particolare prova la prima strategia.
Questa affermazione è vera perché
$alpha=alpha/a a=alpha/a\langle v,v \rangle=(sqrt(alpha/a))^2\langle v,v \rangle=\langle sqrt(alpha/a) v,sqrt(alpha/a) v \rangle$
$alpha=-(alpha/a) (-a)=-(alpha/a)(-1)\langle v,v \rangle=(-1)(-1)(sqrt(alpha/a))^2\langle v,v \rangle=\langle -sqrt(alpha/a) v,-sqrt(alpha/a) v \rangle$
Va bene ?
Provo a vedere se ho capito bene quello che mi hai suggerito. In particolare prova la prima strategia.
"megas_archon":
A questo punto \( u=\pm\sqrt{\frac\alpha a}v \) sono i due vettori tali che \( \langle u,u\rangle=\alpha \).
Questa affermazione è vera perché
$alpha=alpha/a a=alpha/a\langle v,v \rangle=(sqrt(alpha/a))^2\langle v,v \rangle=\langle sqrt(alpha/a) v,sqrt(alpha/a) v \rangle$
$alpha=-(alpha/a) (-a)=-(alpha/a)(-1)\langle v,v \rangle=(-1)(-1)(sqrt(alpha/a))^2\langle v,v \rangle=\langle -sqrt(alpha/a) v,-sqrt(alpha/a) v \rangle$
Va bene ?
"megas_archon":Discorso simile, quel che cambia è il "coefficiente" e cioè $\pm\sqrt(1/a)$ giusto ?
Il caso dei versori è quello in cui \( \alpha=1 \).
Come ti ho detto, devi trovare un elemento \(u\) di \(\langle v\rangle\) (cambio notazione per il prodotto scalare perché le parentesi angolate si usano anche per denotare lo spazio vettoriale generato da dei vettori) tale che \((u,u)=\alpha\); quello che sai è che \(v\ne 0\) (altrimenti come potrebbe essere una base di \(\langle v\rangle\)?), che ogni \(u\in\langle v\rangle\) è della forma \(tv\) per un unico \(t\in\mathbb R\), e che il prodotto scalare \((-,-)\) è non degenere, quindi \(v\ne 0\) implica \((v,v)= \|v\|^2 = a > 0\); a questo punto devi solo risolvere l'equazione di secondo grado
\[t^2a=\alpha\] che origina dalla richiesta \((tv,tv)=\alpha\). Le due soluzioni di quest'ultima sono \(t_{1,2} = \pm \sqrt{\frac\alpha a}\).
\[t^2a=\alpha\] che origina dalla richiesta \((tv,tv)=\alpha\). Le due soluzioni di quest'ultima sono \(t_{1,2} = \pm \sqrt{\frac\alpha a}\).
megas_archon abbi pazienza, non capisco i passaggi logici che ci sono dietro.
1) definizione,
2) intercetta un numero $a in RR$
3) la positività è data dal fatto che $v ne 0$
?
\( (v,v)=^1 \|v\|^2 =^2 a >^3 0 \)
1) definizione,
2) intercetta un numero $a in RR$
3) la positività è data dal fatto che $v ne 0$
?
"intercetta"? Comunque, sì.
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