Teorema spettrale (caso complesso)
Allora faccio una piccola premessa: il teorema spettrale complesso lo abbiamo svolto in più perché il nostro libro si ferma a trattare il caso reale (non ci ho capito granché siccome lo abbiamo coperto in tre ore di lezione purtroppo).
Allora l'esercizio è questo:
Sia $T:C^2 rarr C^2$ l'operatore lineare espresso in coordinate da
$T((z),(w))=((z+iw),(-iz+w))$
Determinare, se esiste, una base di autovettori di $T$ che sia unitaria, cioè ortonormale, rispetto al prodotto hermitiano canonico di $C^2$
Sinceramente quello che sto per scrivere prendetelo come un mio vano tentativo di ragionamento:
il teorema ci dice che ogni matrice normale è simile ad una matrice diagonale tramite una matrice unitaria dove per matrice normale si intende una matrice che commuta con la sua coniugata trasposta $(A*A^H=A^HA)$, dove con $A^H$ il mio professore indica la trasposta coniugata di $A$. Se la matrice $A$ è unitaria allora l'uguaglianza precedente si aggiunge $A*A^H=A^HA=I$, dove $I$ è la matrice identica. Adesso siccome la matrice associata a $T$ è
$A=|(1,i),(-i,1)|$, e siccome essa è hermitiana (non scrivo le varie definizioni) allora è anche normale e quindi si può applicare il teorema spettrale complesso. Potreste dirmi se fin qui tutto quello che ho scritto è corretto?
Quindi ho provato a calcolarmi gli autovalori ottenendo due autovalori reali (me lo sarei dovuto aspettare?Se sì perché?) $\lambda_1=0, \lambda_2=2$ entrambi con molteplicità algebrica e geometrica uguale a uno. Quindi l'endomorfismo è diagonalizzabile.
Mi son calcolato gli autospazi relativi ai due autovalori (il primo autospazio è il $KerT$);
$V_0=span{((1),(i))}, V_2=span{((i),(1))}$, e quindi i due autovettori $v_1=(1,i), v_2=(i,1)$
Adesso la base $B=span{v_1,v_2}$ in termini matriciali equivale a $|(1,i),(i,1)|$, però tale matrice non è unitaria? Eppure tale base unitaria non dovrebbe esistere perché soddisfatte le ipotesi del teorema spettrale complesso?
Perdonate se le cose che ho scritto sono sacrileghe, ma il teorema spettrale complesso è la mia criptonite(insieme ai cambiamenti di base)
Qualcuno, per favore, può spiegarmi come si risolvono questo tipo di esercizi sul teorema spettrale complesso, io brancolo nel buio al momento
Allora l'esercizio è questo:
Sia $T:C^2 rarr C^2$ l'operatore lineare espresso in coordinate da
$T((z),(w))=((z+iw),(-iz+w))$
Determinare, se esiste, una base di autovettori di $T$ che sia unitaria, cioè ortonormale, rispetto al prodotto hermitiano canonico di $C^2$
Sinceramente quello che sto per scrivere prendetelo come un mio vano tentativo di ragionamento:
il teorema ci dice che ogni matrice normale è simile ad una matrice diagonale tramite una matrice unitaria dove per matrice normale si intende una matrice che commuta con la sua coniugata trasposta $(A*A^H=A^HA)$, dove con $A^H$ il mio professore indica la trasposta coniugata di $A$. Se la matrice $A$ è unitaria allora l'uguaglianza precedente si aggiunge $A*A^H=A^HA=I$, dove $I$ è la matrice identica. Adesso siccome la matrice associata a $T$ è
$A=|(1,i),(-i,1)|$, e siccome essa è hermitiana (non scrivo le varie definizioni) allora è anche normale e quindi si può applicare il teorema spettrale complesso. Potreste dirmi se fin qui tutto quello che ho scritto è corretto?
Quindi ho provato a calcolarmi gli autovalori ottenendo due autovalori reali (me lo sarei dovuto aspettare?Se sì perché?) $\lambda_1=0, \lambda_2=2$ entrambi con molteplicità algebrica e geometrica uguale a uno. Quindi l'endomorfismo è diagonalizzabile.
Mi son calcolato gli autospazi relativi ai due autovalori (il primo autospazio è il $KerT$);
$V_0=span{((1),(i))}, V_2=span{((i),(1))}$, e quindi i due autovettori $v_1=(1,i), v_2=(i,1)$
Adesso la base $B=span{v_1,v_2}$ in termini matriciali equivale a $|(1,i),(i,1)|$, però tale matrice non è unitaria? Eppure tale base unitaria non dovrebbe esistere perché soddisfatte le ipotesi del teorema spettrale complesso?
Perdonate se le cose che ho scritto sono sacrileghe, ma il teorema spettrale complesso è la mia criptonite(insieme ai cambiamenti di base)
Qualcuno, per favore, può spiegarmi come si risolvono questo tipo di esercizi sul teorema spettrale complesso, io brancolo nel buio al momento
Risposte
Intanto:
Inoltre:
Infine:
A questo punto, dopo aver osservato che i due autovettori sono ortogonali, non resta che normalizzarli:
Volendo fare una verifica:
Si può dimostrare che una matrice hermitiana ammette solo autovalori reali.
Veramente, anche se non è ancora stata normalizzata:
visto che:
è l'intero spazio vettoriale. Insomma, non si tratta di essere pignoli. E indipendentemente dal fatto che si debba o non si debba sostenere un orale.
$[[1-\lambda,i],[-i,1-\lambda]][[z],[w]]=[[0],[0]]$
Inoltre:
$det[[1-\lambda,i],[-i,1-\lambda]]=0 rarr \lambda=0 vv \lambda=2$
Infine:
$\lambda=0 rarr [[1,i],[-i,1]][[z],[w]]=[[0],[0]] rarr vec(a_0)=z(1,i)$
$\lambda=2 rarr [[-1,i],[-i,-1]][[z],[w]]=[[0],[0]] rarr vec(a_2)=z(1,-i)$
A questo punto, dopo aver osservato che i due autovettori sono ortogonali, non resta che normalizzarli:
$|vec(a_0)|^2=1 rarr |z|=sqrt2/2 rarr z=sqrt2/2e^(i\theta_0) rarr vec(a_0)=sqrt2/2e^(i\theta_0)(1,i)$
$|vec(a_2)|^2=1 rarr |z|=sqrt2/2 rarr z=sqrt2/2e^(i\theta_2) rarr vec(a_2)=sqrt2/2e^(i\theta_2)(1,-i)$
Volendo fare una verifica:
$[[sqrt2/2e^(-i\theta_0),-sqrt2/2e^(-i\theta_0)i],[sqrt2/2e^(-i\theta_2),sqrt2/2e^(-i\theta_2)i]][[1,i],[-i,1]][[sqrt2/2e^(i\theta_0),sqrt2/2e^(i\theta_2)],[sqrt2/2e^(i\theta_0)i,-sqrt2/2e^(i\theta_2)i]]=[[0,0],[0,2]]$
"SteezyMenchi":
... ottenendo due autovalori reali. Me lo sarei dovuto aspettare?
Si può dimostrare che una matrice hermitiana ammette solo autovalori reali.
"SteezyMenchi":
... la base $B=span{v_1,v_2}$ ...
Veramente, anche se non è ancora stata normalizzata:
$B={v_1,v_2}$
visto che:
$B=span{v_1,v_2}$
è l'intero spazio vettoriale. Insomma, non si tratta di essere pignoli. E indipendentemente dal fatto che si debba o non si debba sostenere un orale.
Grazie per aver risposto. Quella della base è stata una svista lo giuro, era quasi l'una ed ero stanco. Comunque ho alcune domande (sia di teoria che riguardo ciò che hai fatto) @anonymous_0b37e9 :
1-)"Sia $T$ un operatore lineare su uno spazio vettoriale complesso $V$ di dimensione $n$, dotato di un prodotto hermitiano, cioè di una forma hermitiana definita positiva. Allora $T$ è un operatore normale se e solo se esiste una base ortonormale di $V$ fatta di autovettori per $T$. Nel linguaggio matriciale, il teorema afferma che ogni matrice normale è simile ad una matrice diagonale tramite una matrice unitaria. In altre parole, per ogni matrice normale $H$ esistono una matrice unitaria $U$ ed una diagonale $D$" Questo è wikipedia (siccome i miei appunti sono incomprensibili). Allora io ho notato questo, negli esercizi sul teorema spettrale da me incontrati, ci danno sempre un'operatore, di cui quindi possiamo facilmente trovarci la matrice associata: prendiamo per esempio il caso dell'esercizio precedente, quindi supponiamo che la matrice associata sia normale. Ci si può quindi affidare al teorema spettrale complesso. Allora in questo caso @anonymous_0b37e9 una base unitaria di autovettori esiste necessariamente giusto(non c'è alcuna possibilità che essa non esista)?E appurato che esista, il metodo per trovarla è semplicemente trovare una base ortonormale dell'endomorfismo. Fin qui è tutto giusto oppure c'è qualcosa che non va?
2-)Riguardo l'esercizio (ho sbagliato il calcolo di un autovettore, non capisco come anche perché ho anche ricontrollato e mi sembra di aver fatto tutto giusto, tu usi il metodo di trovare il $Ker(A-\lambda_iI)$, io invece di solito svolgo il sistema $Tv=\lambda*v$), ma al di là degli errori di calcolo posso sapere come hai trovato i normalizzati. La norma anche a me viene $sqrt2$ ma dove hai preso quel $e^(i\theta)$ (suppongo sia la forma esponenziale di $i$). I vettori normalizzati non dovrebbero essere semplicemente $a_0=|(sqrt2/2), (isqrt2/2)|$ e $a_2=|(sqrt2/2),(-isqrt2/2)|$ e la verifica viene uguale. Non ho mai visto quella notazione sinceramente e vorrei capire perché hai scelto di usarla.
Se ti sto chiedendo troppo puoi rispondere semplicemente alle domande di teoria.
1-)"Sia $T$ un operatore lineare su uno spazio vettoriale complesso $V$ di dimensione $n$, dotato di un prodotto hermitiano, cioè di una forma hermitiana definita positiva. Allora $T$ è un operatore normale se e solo se esiste una base ortonormale di $V$ fatta di autovettori per $T$. Nel linguaggio matriciale, il teorema afferma che ogni matrice normale è simile ad una matrice diagonale tramite una matrice unitaria. In altre parole, per ogni matrice normale $H$ esistono una matrice unitaria $U$ ed una diagonale $D$" Questo è wikipedia (siccome i miei appunti sono incomprensibili). Allora io ho notato questo, negli esercizi sul teorema spettrale da me incontrati, ci danno sempre un'operatore, di cui quindi possiamo facilmente trovarci la matrice associata: prendiamo per esempio il caso dell'esercizio precedente, quindi supponiamo che la matrice associata sia normale. Ci si può quindi affidare al teorema spettrale complesso. Allora in questo caso @anonymous_0b37e9 una base unitaria di autovettori esiste necessariamente giusto(non c'è alcuna possibilità che essa non esista)?E appurato che esista, il metodo per trovarla è semplicemente trovare una base ortonormale dell'endomorfismo. Fin qui è tutto giusto oppure c'è qualcosa che non va?
2-)Riguardo l'esercizio (ho sbagliato il calcolo di un autovettore, non capisco come anche perché ho anche ricontrollato e mi sembra di aver fatto tutto giusto, tu usi il metodo di trovare il $Ker(A-\lambda_iI)$, io invece di solito svolgo il sistema $Tv=\lambda*v$), ma al di là degli errori di calcolo posso sapere come hai trovato i normalizzati. La norma anche a me viene $sqrt2$ ma dove hai preso quel $e^(i\theta)$ (suppongo sia la forma esponenziale di $i$). I vettori normalizzati non dovrebbero essere semplicemente $a_0=|(sqrt2/2), (isqrt2/2)|$ e $a_2=|(sqrt2/2),(-isqrt2/2)|$ e la verifica viene uguale. Non ho mai visto quella notazione sinceramente e vorrei capire perché hai scelto di usarla.
Se ti sto chiedendo troppo puoi rispondere semplicemente alle domande di teoria.
Comunque sulle dispense di Manetti ho trovato un interessante teorema
"Teorema 15.7.12. Sia $V \sub C^n$ un sottospazio invariante per una matrice Hermitiana $H \in M_(n,n)(C)$. Allora $V$ possiede una base unitaria di autovettori di $H$"
Da qui deduco che la risposta alla domanda "Se ho una matrice normale $A$, e per di più hermitiana, esiste una base unitaria per $A$? " sia affermativa. Però sinceramente non so cosa significhi "sottospazio invariante per una matrice" perciò non so se il teorema sopra possa funzionare nel caso in questione.
"Teorema 15.7.12. Sia $V \sub C^n$ un sottospazio invariante per una matrice Hermitiana $H \in M_(n,n)(C)$. Allora $V$ possiede una base unitaria di autovettori di $H$"
Da qui deduco che la risposta alla domanda "Se ho una matrice normale $A$, e per di più hermitiana, esiste una base unitaria per $A$? " sia affermativa. Però sinceramente non so cosa significhi "sottospazio invariante per una matrice" perciò non so se il teorema sopra possa funzionare nel caso in questione.
"SteezyMenchi":
Fin qui è tutto giusto ...
Giusto.
"SteezyMenchi":
... ho sbagliato il calcolo di un autovettore ...
Non proprio. Invece di considerare due autovettori particolari, ho considerato due autovettori generali:
$vec(a_0)=z_0(1,i)$
$vec(a_2)=z_2(1,-i)$
Infatti:
$z_0=1 rarr vec(a_0)=(1,i)$
$z_2=i rarr vec(a_2)=(i,1)$
"SteezyMenchi":
Non ho mai visto quella notazione ...
Allo stesso modo, invece di considerare due autovettori normalizzati particolari, ho considerato due autovettori normalizzati generali:
$vec(a_0)=sqrt2/2e^(i\theta_0)(1,i)$
$vec(a_2)=sqrt2/2e^(i\theta_2)(1,-i)$
Infatti:
$\theta_0=0 rarr vec(a_0)=(sqrt2/2,isqrt2/2)$
$\theta_2=0 rarr vec(a_2)=(sqrt2/2,-isqrt2/2)$
Insomma, mentre io ho considerato una generica base ortonormale, $oo^2$ per la precisione, una per ogni valore di $\theta_0$ e $\theta_2$, tu hai considerato una particolare base ortonormale. Tuttavia, essendo richiesta una sola base ortonormale, ciò che hai fatto è più che sufficiente.
P.S.
A questo punto, rispondere al tuo ultimo messaggio dovrebbe essere superfluo.
Grazie mille(come sempre) per i numerosi chiarimenti Elias, invocherò il tuo favore e la tua saggezza prima di iniziare l'esame 
Comunque mi sembra che vada piuttosto bene. Studi a Pisa? Quella notazione $A^H$ mi fa venire in mente Dario Bini.
No Dissonance, io studio fisica alla Sapienza. La notazione è presa dal libro di Marco abate e Chiara de Fabritiis. (I miei professori non usano questa notazione solo che io l'avevo appresa già da prima che la introducessero e allora ho mantenuto quella)
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