Verificare la simmetrica e la positività di una forma bilineare.

[Yuyu_13]

Buonasera.
Sto provando a verificare se la seguente forma bilineare

$<-,-\> : RR^n times RR^n to RR, \ \ (x,y) to :=x^tA^tAy$

è simmetrica e definita positiva.
Ho provato a verificare mediante le proprietà della matrice trasposta ma niente.
Dopodiché mi sono ricordato che una forma bilineare è simmetrica se e solo se la sua matrice è simmetrica.
Quindi se considero il riferimento canonico $C=(e_1,...,e_n)$ di $RR^n$, posso determinare la matrice $G$ associata alla forma bilineare.
Quindi se faccio vedere che $ \ = $, per ogni $i,j=1,...,n$ allora in tal caso si ha che l'elemento di posto $(i,j)$ di $G$ coincide con l'elemento di posto $(j,i)$ di $G$, cioè $G$ è simmetrica.

Quindi si ha
$ \ = e_i^tA^tAe_j=(Ae_i)^tAe_j=(A^(i))^tA^(j)=A_(i)A^(j)=sum_(h=1)^n a_(ih)a_(hj)$
$ \ = e_j^tA^tAe_i=(Ae_j)^tAe_i=(A^(j))^tA^(i)=A_(j)A^(i)=sum_(h=1)^n a_(jh)a_(hi)$

Dopodiché osservo che la matrice prodotto è $A^tA$ è simmetrica, infatti

$(A^tA)^t=A^tA^((t)t)=A^tA$

Allora l'elemento di posto $(i,j)$ di $A^tA$ è uguale all'elemento di posto $(j,i)$ di $(A^tA)^t$.
Dalla definizione di prodotto righe per colonne si ha che
-elemento di posto $(i,j)$ di $A^tA$ è $sum_(h=1)^n a_(ih)a_(hj)$
-elemento di posto $(j,i)$ di $(A^tA)^t$ è $sum_(h=1)^n a_(jh)a_(hi)$

Quindi dovrebbe essere simmetrica.
Invece per verificare che è definita, devo verificare $x^tA^tAx=0 to x=O.$
$0=x^tA^tAx=(Ax)^t(Ax) to Ax=O$, essendo $A$ invertibile il suo rango è $n$ e cioè l'insieme delle soluzione del sistema $Ax$ ha solo la soluzione banale, cioè $x=O$
Lo svolgimento è corretto ? Per il resto non so come procedere

Grazie in anticipo

[Bokonon]

Semplicemente $v^TA^TAv=(Av)^TAv>=0$ ovvero la norma al quadrato del vettore $Av$ può essere solo positiva o uguale a zero sse $v$ appartiene al kernel di $A$. Se $A_(mxxn)$ con $m>n$ è iniettiva, ovvero ha le colonne indipendenti, allora la norma è sempre positiva.

[j18eos]

Per esattezza, se \(A\) (rispetto a delle basi fissate) rappresenta un'applicazione lineare iniettiva allora \(m

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[Yuyu_13]

Buongiorno.
Mi sono dimenticato di specificare che la matrice $A$ è invertibile...scusate

"Bokonon":Semplicemente $ v^TA^TAv=(Av)^TAv>=0 $ ovvero la norma al quadrato del vettore $ Av $ può essere solo positiva o uguale a zero sse $ v $ appartiene al kernel di $ A $.

Dall'essere $A$ invertibile segue che il kernel di $A$ è nullo, per cui tale quantità è nulla solo per $v=O$?

Avevo pensato anche di fare cosi
$A$ invertibile, allora il suo rango è massimo e quindi $exists ! x in RR^n : Ax=0$ e cioè $x=O_(RR^n)$
Allora si ha $ =x^tA^tAx=(x^tA^t)(Ax)=(x^tA^t)O_(RR^n)=0$
Invece, per la positività ho fatto cosi di suppore per assurdo l'esistenza di $y in RR^n : <0$ e far vedere alla fine mediante equivalenze che $ ge 0$.
Infatti
$ < 0 \ \<=>-\ ge 0$
$ \ \qquad \ \ qquad \ \ qquad \ \qquad \ \ quad <=><-y,-y> ge 0$
$ \ \qquad \ \ qquad \ \ qquad \ \qquad \ \ quad <=>(-y)^tA^tA(-y) ge 0$
$ \ \qquad \ \ qquad \ \ qquad \ \qquad \ \ quad <=>(-y)^tA^t(-A)y ge 0$
$ \ \qquad \ \ qquad \ \ qquad \ \qquad \ \ quad <=>(-y)^t((-A)^tA))y ge 0$
$ \ \qquad \ \ qquad \ \ qquad \ \qquad \ \ quad <=>(-y)^t((-A)^tA))^ty ge 0$
$ \ \qquad \ \ qquad \ \ qquad \ \qquad \ \ quad <=>(((-A)^tA)(-y))^ty ge 0$
$ \ \qquad \ \ qquad \ \ qquad \ \qquad \ \ quad <=>((-A^t(-Ay))^ty ge 0$
$ \ \qquad \ \ qquad \ \ qquad \ \qquad \ \ quad <=>(A^t(Ay))^ty ge 0$
$ \ \qquad \ \ qquad \ \ qquad \ \qquad \ \ quad <=>(Ay)^tAy ge 0$
$ \ \qquad \ \ qquad \ \ qquad \ \qquad \ \ quad <=>y^tA^tAy ge 0$
$ \ \qquad \ \ qquad \ \ qquad \ \qquad \ \ quad <=> ge 0$
E' corretta come strategia ?

[megas_archon]

Se devi dimostrare che quando $A$ è invertibile, \(A^tA\) è simmetrica e definita positiva, ti hanno già detto cosa fare: per la simmetria, è ovvio che \(A^tA\) coincide con la sua trasposta. Per la positiva definizione, \(v^tA^tAv=0\) se e solo se \(Av=0\) (perché \(v^tA^tAv=0\) è \((Av)^t Av=\|Av\|^2\)), se e solo se \(v=0\) (perché $A$ è iniettiva).

[Yuyu_13]

Norma quadra....ecc non ci sono arrivato

[Yuyu_13]

"Yuyu_13":Norma quadra....ecc non ci sono arrivato

meglio sono dopo... praticamente questo esercizio è prima della definizione di norma quadra.

Se prendo il prodotto scalare standard e cioè

$<-,-\>_(can): (x,y) in RR^n times RR^n to _(can) :=sum_(i=1)^n x_iy_i in RR$

con $x=(x_1,...,x_n), \ \ y=(y_1,...,y_n) in RR^n$
Risulta

$_A=_(can)$

Dunque l'applicazione $_A$ è un prodotto scalare.
Cosi può andare bene ?