Base di autovettori
Ciao a tutti, sono nuovo nel forum quindi spero di non fare troppo errori 
L'esercizio su cui ho dei dubbi è il seguente:
Sia T l’endomorfismo di R3 con matrice associata
A =$((1,1,1),(1,1,1),(1,1,1))$
rispetto alla base B=(v1=(1, 0, 0), v2=(0, 1, 1), v3=(0, 0, 1)).
a) Trovare una base di R3 costituita da autovettori di T
Per prima cosa trasformo la matrice associata dalla base B a quella canonica in R3.
Noto che nella base B ho già due vettori della base canonica,quindi trovo il rimanente:
T(0,1,0) = T(0,1,1)-T(0,0,1)=(1,1,1)-(1,1,1)=(0,0,0).
La nuova matrice $A_E$ =$((1,0,1),(1,0,1),(1,0,1))$
Noto che essendo una matrice simmetrica, allora sicuramente è diagonalizzabile, e calcolo gli autovalori.
det($A_E$-$lambda$I) = $((1-lambda,0,1),(1,-lambda,1),(1,0,1-lambda))$
Tralasciando i calcoli, gli autovalori sono $lambda_1$ = 0 (doppio) e $lambda_2$ = 2
Risolvendo il sistema omogeneo, sostituendo il valore di $lambda_1$ e poi $lambda_2$ nella matrice $A_E$-$lambda$I trovo i seguenti autovettori, che essendo linearmenti indipendenti formano una base
C = ((-1,0,1),(0,1,0),(1,1,1)).
Ora i miei dubbi sono:
1)è corretto lo svolgimento?
2)Per utilizzzare il polimomio caratteristico per trovare gli autovalori, devo avere la matrice associata alla funzione rispetto alle basi canoniche? Oppure si può fare anche con altre basi, ricordandosi poi alla fine di portare gli autovettori dalla base B alla base canonica?
Vi ringrazio per le risposte.
L'esercizio su cui ho dei dubbi è il seguente:
Sia T l’endomorfismo di R3 con matrice associata
A =$((1,1,1),(1,1,1),(1,1,1))$
rispetto alla base B=(v1=(1, 0, 0), v2=(0, 1, 1), v3=(0, 0, 1)).
a) Trovare una base di R3 costituita da autovettori di T
Per prima cosa trasformo la matrice associata dalla base B a quella canonica in R3.
Noto che nella base B ho già due vettori della base canonica,quindi trovo il rimanente:
T(0,1,0) = T(0,1,1)-T(0,0,1)=(1,1,1)-(1,1,1)=(0,0,0).
La nuova matrice $A_E$ =$((1,0,1),(1,0,1),(1,0,1))$
Noto che essendo una matrice simmetrica, allora sicuramente è diagonalizzabile, e calcolo gli autovalori.
det($A_E$-$lambda$I) = $((1-lambda,0,1),(1,-lambda,1),(1,0,1-lambda))$
Tralasciando i calcoli, gli autovalori sono $lambda_1$ = 0 (doppio) e $lambda_2$ = 2
Risolvendo il sistema omogeneo, sostituendo il valore di $lambda_1$ e poi $lambda_2$ nella matrice $A_E$-$lambda$I trovo i seguenti autovettori, che essendo linearmenti indipendenti formano una base
C = ((-1,0,1),(0,1,0),(1,1,1)).
Ora i miei dubbi sono:
1)è corretto lo svolgimento?
2)Per utilizzzare il polimomio caratteristico per trovare gli autovalori, devo avere la matrice associata alla funzione rispetto alle basi canoniche? Oppure si può fare anche con altre basi, ricordandosi poi alla fine di portare gli autovettori dalla base B alla base canonica?
Vi ringrazio per le risposte.
Risposte
Risposte parziali:
1) Gli autovalori sono corretti!
2.a) No... perché?
2.b) Sì... perché?
1) Gli autovalori sono corretti!
2.a) No... perché?
2.b) Sì... perché?
Il problema è che gli autovalori e autovettori che ho trovato non coincidono con quelli della soluzione. Ti invio il procedimento dell'esercizio che ho avuto disponibile solo oggi.
SOLUZIONE: La matrice A ha autovalori λ1 = 0 (doppio) e λ2 = 3 (semplice), con autospazi generati, ad
esempio, da (−1, 0, 1), (−1, 1, 0) e da (1, 1, 1) rispettivamente. Quindi, usando la base che definisce
A, si ottiene la base di R3
(−1, 0, 1), (−1, 1, 1), (1, 1, 2)
formata da autovettori di T .
Qua l'esercitatrice calcola il polinomio caratteristico facendo:
$det(A-lambda*I)$ = $((1-lambda,1,1),(1,1-lambda,1),(1,1,1-lambda))$
Il problema è che la matrice A che prende in considerazione è rispetto alla base B e non quella canonica, quindi per trovare gli autovalori dovrebbe fare così:
$det(A-lambda*I)$ = $((1-lambda,1,1),(1,1-lambda,1-lambda),(1,1,1-lambda))$
Oppure mi sbaglio io?
Ti ringrazio per la risposta perchè è un dubbio che non riesco a togliermi.
SOLUZIONE: La matrice A ha autovalori λ1 = 0 (doppio) e λ2 = 3 (semplice), con autospazi generati, ad
esempio, da (−1, 0, 1), (−1, 1, 0) e da (1, 1, 1) rispettivamente. Quindi, usando la base che definisce
A, si ottiene la base di R3
(−1, 0, 1), (−1, 1, 1), (1, 1, 2)
formata da autovettori di T .
Qua l'esercitatrice calcola il polinomio caratteristico facendo:
$det(A-lambda*I)$ = $((1-lambda,1,1),(1,1-lambda,1),(1,1,1-lambda))$
Il problema è che la matrice A che prende in considerazione è rispetto alla base B e non quella canonica, quindi per trovare gli autovalori dovrebbe fare così:
$det(A-lambda*I)$ = $((1-lambda,1,1),(1,1-lambda,1-lambda),(1,1,1-lambda))$
Oppure mi sbaglio io?
Ti ringrazio per la risposta perchè è un dubbio che non riesco a togliermi.
T'ho già risposto: non serve ragionare sulla base canonica... non ricordi che il polinomio caratteristico di una matrice associata a un endomorfismo lineare (di uno spazio vettoriale finito-dimensionale) non dipende dalla base scelta per rappresentarlo?
Quindi tutti due i procedimenti sono corretti? (intendo quello del primo messaggio del thread e la soluzione "ufficiale" dell'esercizio).
PS:Nell'ultima matrice del messaggio precedente ho invertito la seconda colonna con la terza, my bad.
PS:Nell'ultima matrice del messaggio precedente ho invertito la seconda colonna con la terza, my bad.
Io non vedo tutto lo svoglimento, e dato che ci sono risultati distinti: devo vedere per dare una conferma!
Io ti posso solo assicurare che puoi svolgere i calcoli su una qualsiasi base, ed eventualmente ti riporti alla base canonica.
Io ti posso solo assicurare che puoi svolgere i calcoli su una qualsiasi base, ed eventualmente ti riporti alla base canonica.
Innanzitutto ti ringrazio per il tempo che mi stai dedicando.
Ti faccio l'ultima domanda per arrivare al nocciolo della questione:
Se tutti due i procedimenti sono giusti, a livello di calcoli intendo (ho controllato anche sui calcolatori online), è possibile che vengano autovettori diversi? Perchè se si allora tutto bene ,altrimenti c'è qualcosa che non quadra.
Ti faccio l'ultima domanda per arrivare al nocciolo della questione:
Se tutti due i procedimenti sono giusti, a livello di calcoli intendo (ho controllato anche sui calcolatori online), è possibile che vengano autovettori diversi? Perchè se si allora tutto bene ,altrimenti c'è qualcosa che non quadra.
"AleFonta":
Se tutti due i procedimenti sono giusti, a livello di calcoli intendo (ho controllato anche sui calcolatori online), è possibile che vengano autovettori diversi?
Hai sbagliato i conti: la matrice $ A_E=( ( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ),( 2 , 0 , 2 ) ) $ e (persino quella che hai scritto tu) non è una matrice simmetrica (come hai scritto).
Ricominciamo daccapo. Abbiamo una base ${v_1,v_2,v_3}$ e una matrice A espressa rispetto a questa base.
Se nessuno ti dice nulla riguardo quella base e le sue componenti, DEVI considerarla esattamente come una base canonica (ti dico questo perchè è un concetto fondamentale che non viene sufficientemente enfatizzato).
Quindi, questa specifica applicazione T ci dice che $T(v_1)=T(v_2)=T(v_3)=(1,1,1)=1*v_1+1*v_2+1*v_3$
Poi ci viene detto Attenzione, la base rispetto alla base canonica ha le seguenti componenti etc. etc.
E adesso scopriamo che $v_1=e_1$, $v_2=e_2+e_3$ e infine $v_3=e_3$
Quindi T associa il vettore $(1,1,1)=v_1+v_2+v_3=e_1+(e_2+e_3)+e_3=e_1+e_2+2e_3=(1,1,2)$
Vedi adesso la relazione fra le due basi?
Quindi la prima colonna e la terza colonna della matrice $A_E$ è $1,1,2$ mentre la seconda colonna è $T(e_2)=T_E(e_2+e_3)-T(e_3)=(1,1,2)-(1,1,2)=(0,0,0)$ (che è +- il passaggio che hai fatto tu ma scorrettamente).
Facciamo ora un ragionamento più generale con le matrici. Immaginiamo di avere la matrice rappresentativa di T rispetto alla base canonica, ovvero $A_E$, e di cambiarne la base, ovvero $A_E=BAB^(-1)$
Notare che $A_E$ e $A$ sono matrici simili, pertanto devono avere i medesimi autovalori (e autovettori espressi rispetto alla specifica base). Fondamentalmente sono la stessa matrice a meno di un cambiamento di base.
Infatti se $A_E$ (e stiamo assumendo in tutto questo post che sia diagonalizzabile), allora:
$A_E=SDS^(-1)=BAB^(-1) rArr D=S^(-1)BAB^(-1)S=[S^(-1)B]A[S^(-1)B]^(-1)$
dove $S^(-1)B$ è la matrice di cambio base che porta $A$ nella matrice diagonale $D$
Questo era il concetto che ti ha espresso Armando nei post precedenti: non importa se diagonalizzi rispetto ad una base od un'altra, alla fine si arriva sempre alla medesima matrice diagonale/autovalori a meno di un cambio base. Questo ci fa capire due cose: gli autovalori (rispetto a qualsiasi base) sono gli stessi e gli autovettori sono anche gli "stessi" ma rispetto a basi diverse.
Dato che ci hanno dato tutti gli elementi necessari abbiamo:
$ A_E=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ) ) ( ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) )( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , -1 , 1 ) ) =( ( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ),( 2 , 0 , 2 ) )$
Insomma, ti ho offerto due prospettive e il risultato è il medesimo.
Se vai a diagonalizzare $A_E$ scoprirai che gli autovalori sono $lambda=0$ con (m.a.=m.g.=2) e $lambda=3$, i medesimi di $A$: questo è un buon segno ad un esame scritto...mentre il fatto di aver ottenuto $0$ e $2$ avrebbe dovuto farti suonare una campanella di allarme!
Alla fine io ho scelto la base di autovettori ${alpha=(1,0,-1), beta=(0,1,0)}$ per l'autospazio relativo a $lambda=0$
e ${gamma=(1,1,2)}$ per $lambda=3$
Nota che è un risultato corretto ed esteticamente più bello di quello dell'assistente che citi.
Volendo posso cambiare la base dell'autospazio relativo a $lambda=0$ prendendo $rho=-alpha=(-1,0,1)$ e $theta=beta-alpha=(-1,1,1)$ e ottenere quelli dell'assistente. Una base dell'autospazio vale l'altra ma la mia è più bella perchè è ortogonale e non ha un segno - nella prima componente (anche lo stile conta!)
Grazie mille per la risposta esaustiva!
@Bokonon Guarda che AleFonta non ha scritto quella matrice non simmetrica; inoltre, questo non è un forum di risoluzione esercizi, ma si aiuta chi li propone a risolverli!
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