Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Devo dimostrare che dato lo spazio vettoriale $V$ il vettore nullo e' unico
Supponiamo che esistano $Ov1$, $Ov2$ e $ v in V$ tali che:
$ v + Ov1 = v $ e $ v + Ov2 = v$ $ AA v inV$
Allora
$ Ov1 = v - v = v + Ov2 - v = (v-v) + Ov2 = Ov2 $
quindi e' unico.
Ora dimostrare che l'opposto di un vettore e' unico
Supponiamo che esistano $ -v1$ e $-v2$ appartenenti a $V$ tali che:
$ v +(-v1) = Ov $ e ...
Trascrivo dagli appunti.
"Sia $S$ un sottinsieme di $V$. Diremo sottospazio generato da $S$ il sottospazio intersezione di tutti i sottospazi di $V$ che contengono $S$. Indicheremo con $L(S)$ il sottospazio generato da $S$. Risulta evidente che $L(S)$ è "il più piccolo" sottospazio di $V$ che contiene $S$."
Sto cercando di farmene delle rappresentazioni ...
Quando lo leggo trovo 3000 contraddizioni o cose inaccettabili dal mio punto di vista. Vi spiego:
$ Y={w_(1), w_(2),...,w_(m)} $ linearmente indipendente su $ V $
$ X= {v_(1), v_(2),...,v_(n)} $ generatore di $ V $
(Insiemi di vettori)
Il lemma afferma che:
- $ Y $ non può essere più grande del generatore $ Y $, quindi $ m<=n $
- $ EE v_(i1),v_(i2),...v_(i.n-m) in X : B = {w_(1),...,w_(m),v_(i1),...v_(i.n-m)} $ è una base
Quindi anche $ X $ è base e la dimensione è $ n $ no?
In più...
Il ...
Salve, ho il seguente esercizio che mi chiede di determinare una base di ker(f) e di determinare anche l'immagine.
$(x,y,z) rarr (x+2y+z,y+z)$
Ho determinato tramite il sistema omogeneo il $ker(f) = { (z, −z, z)} $quindi una base di ker è $(1,-1,1)$
Ora dovrei determinare l'immagine ma non so proprio come fare.
Come si può dimostrare che $(d(axxb))/(du)=axx(db)/(du)+(da)/(du)xxb$
Salve a tutti, sto cercando di risolvere un sistema di equazioni omogeneo ma non riesco a capire perchè risolvendolo a scala mi viene un risultato mentre risolvendo il sistema per sostituzione me ne viene un altro.
Il sistema è questo: $ { ( x-y+2z=0 ),( x+2y-z=0 ),( -3y+3z=0 ):} $ Per sostituzione viene : $y=z$ $x=-y$
Ora se imposto la matrice per la riduzione a scala che è questa : $ ( ( 1 , -1 , 2 , 0 ),( 1 , 2 , -1 , 0 ),( 0 , -3 , 3 , 0 ) ) $ otterrò alla fine della riduzione $ ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ) ) $ e quindi ...
Salve a tutti, vi propongo un esempio di calcolo di Ker e Im che il prof ha fatto a lezione:
la matrice è questa:$ ( ( 1 , 2 , 3 ),( 4 , 5 , 6 ) )$ e calcolando il sistema omogeneo viene fuori che $x=z$ e $y=-2z$.
A questo punto dice che un tipico vettore del nucleo potrebbe essere $(1,-2,1)$ e che l'immagine è tutta $R^2$ (dal teorema di nullità e del rango). Beh proprio questa ultima affermazione dell'immagine che è tutta $R^2$ non l'ho capita.
Se il ...
Ciao a tutti!
Mi si chiede, dati i vertici A(-4,4,-4), B(0,0,3) e C(-2,20,4), di verificare se il triangolo ABC è rettangolo.
Banalmente pensavo di risolvere il quesito verificando io teorema di Pitagora. È corretto? Oppure esistono altri modi (pensavo al fatto che il prodotto scalare di due vettori ortogonali è nullo)?
Grazie mille
Ciao a tutti!
Ho questo esercizio e non so bene da dove iniziare..
Sia $X=S^2 \bigcup \{(x,0,0):-1\leq x\leq 1\}$
(i) Calcolare il suo gruppo fondamentale e dipintare sopra i generatrici di questo gruppo.
(ii) È omeomorfo a $S^1$? e a $S^2$?
(III) ha lo stesso tipo di omotopia da $S^1$? e da $S^2$?
Per calcolare il gruppo fondamentale, dovrei usare il teorema di Seifert-Van Kampen?
Per (iii), io credo che non è omotopo a $S^1$ ma si a ...
Buonasera a tutti,
ho un esercizio che non mi è molto chiaro, probabilmente mi manca qualche passaggio di teoria.
Ad esempio se ho $v_1=(1,0,1), v_2=(0,0,1), v_3=(1,1,1)$
Mi viene chiesto se due vettori $v_1,v_2$ formano una base del sottospazio $L(v_1,v_2)$.
Io so dalla teoria che devono valere due condizioni:
1)$v_1,v_2$ generano $W$ ovvero $W=L(v_1,v_2)$
2)$v_1,v_2$ sono linearmente indipendenti.
Ora, con il punto 2) non ho problemi, con il punto 1) invece non ho ...
Salve a tutti, sono nuovo del forum e spero di scrivere bene la domanda al primo colpo
Premetto che sto preparando l'esame di Geometria analitica a algebra lineare a Matematica, e ho qualche problema con gli esercizi sulle riflessioni. Ne proporrei due dai quali so levarci poco le gambe:
Esercizio 1
Su $R^3$ si consideri il prodotto scalare indotto dalla matrice $((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, -1) )$ nella base canonica e sia f un endomorfismo indotto da B = $( ( 2/sqrt(3) - 1/3, -1/sqrt(3), -1/sqrt(3) - 2/3 ), ( 1/sqrt(3), sqrt(3)/2, -1/(2*sqrt(3)) ), ( 1/sqrt(3)+2/3, -1/(2*sqrt(3)), -1/(2*sqrt(3)) -4/3 ) ) $
1) Verificare che B e' ...
Salve a tutti.
Ho un prodotto scalare definito dalla matrice
$$A=\begin{pmatrix}
2 & 3 & 5 & 9 \\
3 & 5 & 9 & 17 \\
5 & 9 & 17 & 33\\
9 & 17 & 33 & 65
\end{pmatrix}$$
Applicando il teorema di Jacobi, si ottiene facilmente che questa matrice è congruente a
$$D=\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1/2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$
Per chi non ci crede (o non conosce il teorema), posso fornire la ...
Salve ragazzi avrei una domanda:
se ho un endomorfismo con il parametro $k$ e devo stabilire per quale valore di questo l'endomorfismo è diagonalizzabile, posso operare delle mosse di gauss sulla matrice?
Per esempio una matrice è questa:
$A=((6,-8,8),(7-k,11,k+11),(7-k,-9,k+9))$
posso operare delle mosse su $A-\lambdaI$ per facilitare i calcoli?
Buonasera
Sto studiando le operazioni tra vettori e mi sono sorti alcuni dubbi che vorrei chiarire.
Quali sono le ragioni per cui il prodotto vettoriale da origine ad un vettore che ha una direzione ortogonale al piano su cui giacciono i vettori di partenza. Per quanto riguarda il modulo, questo è l'area del parallelogramma creato dei 2 vettori e questo può avere qualche senso. Ma per quanto riguarda la direzione?
(Per quanto ne so io!) i vettori possono essere rappresentati dai numeri ...
Vi descrivo un problema vermente banale che sto cercando di risolvere da ieri senza successo. Supponiamo che io voglia risolvere l'equazione
\[
\left(\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\right) x = 0
\]
con $\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n$ e $x \in \mathbb{R}$. Inoltre, possiamo supporre che $\mathbf{a} \ne 0$ e che $b_i \ne 0$ per $1 \le i \le n$. A me sembra pacifico che la soluzione sia $x = 0$ per $ (\sum_{i=1}^{n} a_i b_i) \ne 0$, $x \in \mathbb{R}$ altrimenti. Ora se scriviamo l'equazione in questo ...
Ho un sistema così descritto in $RR^3$:
$\{((h+1)x+(h-1)y+z=0),((2h-1)x+y+(h-1)z=h):}$
Ho scritto sottoforma di matrice
$A=((h+1,h-1,1),(2h-1,1,h-1))$ $B=((0),(h))$
Ho calcolato il rango del minore composto dalle colonne 2 e 3 di A e ho trovato che è $2 <=>h!=0,h!=2$
Quindi ho scritto la matrice composta e ritorna avere rango 2 per gli stessi valori di h, pertanto ammette soluzioni per rouche-capelli.
Per verificare il luogo delle soluzioni devo sottrarre la dimensione dello spazio descritto ( ...
Salve, nono ho ben capito la relazione che c'è tra il dire che un insieme di vettori è linearmente indipendente se il determinante della matrice di essi è diverso da zero.
Grazie
Ciao Ragazzi, volevo chiedervi un aiuto riguardante la risoluzione di un sistema. Non riesco a capire il procedimento attraverso il quale il prof. arriva alla sua soluzione. allora io ho quasto sistema:
$ { ( 2x + y + z = 1 ),( x + y + z = 0 ),( y + z = −1 ):} $
e la soluzione data è $(x, y, z) = (1,−1 − , alpha )$ con $ alpha in R $
Grazie
Buongiorno,
non riesco a capire come fare il cambiamento di base attraverso la matrice di cambiamento di base.
In particolare non capisco quando bisogna usare la matrice di cambiamento di base e quando quella inversa.
Se conosco una matrice A= $ ( ( 2 , -1 ),( -1 , 2 ) ) $ espressa in base canonica C= (e1, e2, e3, e4) , con quale formula passo alle componenti della base B=(A1 = $ ( ( 1 , 2 ),( -1 , 0 ) ) $ , A2 = $ ( ( 0 , 3 ),( -1 , -2 ) ) $ , A3= $ ( ( 1 , -1 ),( 0 , 1 ) ) $ , A4= $ ( ( 3 , 2 ),( -1 , 1 ) ) $ ) ?
Grazie in anticipo
Ragazzi ho bisono di un po' di aiuto
ho la seguente matrice: $A=((20,14),(-42,-29))^3$
l'esercizio mi chiede di calcolare $A$ ricordando che $X^-1A^nX=(X^-1AX)^n$
ora non ho proprio idea di come svolgere l'esercizio, quale sarebbe questa matrice $X$?
Grazie in anticipo
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