Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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salve a tutti, sono uno studente di matematica all'università di firenze e mi mancano 7 esami per finire la triennal, so che può essere presto per pensare ad una tesi nel particolare perché comunque ho ancora un annetto davanti, però volevo farmi comunque qualche idea
in questo periodo sto studiando geometria III (classificazione di superfici, omotopia, gruppo fondamentale,…) e il mio professore ha più volte accennato a dei collegamenti tra la geometria e il calcolo numerico (approssimazione ...
Salve a tutti, devo trovare il gruppo fondamentale della sfera S^3 meno 3 suoi punti (p,q,r). Non so come fare. Sappiamo che tale sfera é omeomorfa allo spazio R^3 meno 2 punti e poi come continuo? Non conosco omotopie tra R^3\(due punti) e qualcosa di conosciuto. Devo applicare Van Kampen? Se si come? Grazie attento aiuto
Salve a tutti!
Questo è il quesito:
Considerata la circonferenza C:x^2+y^2-2x+y-2=0 determinare l'iperbole equilatera ad essa tangente nel punto P(2,1), tangente inoltre alla retta r:2x-y+5=0 nel suo punto improprio e passante per Q(1,-2)
Svolgimento:
Io ho inizialmente calcolato la retta tangente l'iperbole nel punto P utilizzando le derivate parziali di C ed ho ottenuto la retta t:2x+3y-7=0
Ho trovato il punto improprio di r, R(1,2,0)
A questo punto ho pensato di fare il fascio di coniche ...
Salve a tutti!
Ho un dubbio e non so come venirne a capo.
Devo determinare il rango di questa matrice
\[
\begin{pmatrix}
0 & -2 & 0 & 2\\
2 & -4 & 0 & 2\\
k & 2 & 0 & -2\\
2 & -2 &0 & 0
\end{pmatrix}
\]
con $k \in \Re $.
E' chiaro che il rango è minore di 4, visto che il determinante è nullo. Dunque passo a considerare i minori di ordine 3x3. Mi accorgo che anche per questi il determinante è nullo e, quindi, il rango è minore di 3.
Passo ai minori di ordine 2x2 e qua arriva il dubbio! ...
Mi chiedevo: esiste un modo veloce, oltre l'algoritmo di Gauss per vedere se vettori dati sono liberi o non?
Ad esempio ho in $ R^4 $ i seguenti vettori, che metto già in matrice
$ R^4( ( 1 , 2 , 3 , 0 ),( 0 , 2 , 1 , 2),( 1 , 2 , 0 , 0 ),( 0, 1 , 1 , 1 ) ) $
L'ho ridotta a scala usando gauss ma non si toglie nulla. In pratica qui devo verificare una somma diretta e i miei amici risultano 2 dipendenti e quindi a loro non è verificata. Potete vedere se questi vettori son liberi? E vero che c'è un modo molto veloce per vederlo con i ...
Salve, ho fatto una ricerca ma non c'è nessun argomento in merito a questo!
Vorrei avere una spiegazione approfondita del perché la dimensione di C (campo dei numeri complessi) è uguale a 1, se quest'ultimo è in C, ed è uguale a 2, se è in R.
Lo spazio vettoriale C in R, mi viene logico pensare che la dimensione è 2, cioè è generato da ((1,0),(0,1)) = (1, i).
Ma se si ha C in C, come funziona? Chi è il generatore?
Grazie in anticipo
Data $ A( ( 1 , 1 ),( 2 , 2 ) ) $ dire se $ L_A$ e' una funzione iniettiva
Verifico se e' iniettiva:
Dati $ ( ( x_1 ),( x_2) ) $ e $ ( ( y_1 ),( y_2) ) $ tali che
$ L_A ( ( x_1 ),( x_2) ) = L_A ( ( y_1 ),( y_2) ) $
voglio dimostrare che
$ ( ( x_1 ),( x_2) ) = (( y_1 ),( y_2) ) $
quindi:
$ ( ( 1 , 1 ),( 2 , 2 ) )( ( x_1 ),( x_2)) = ( ( 1 , 1 ),( 2 , 2 ) ) (( y_1 ),( y_2)) $
$( ( x_1+x_2 ),( 2x_1+2x_2)) = (( y_1+y_2 ),( 2y_1+2y_2)) $
risolvo il sistema e trovo:
$ { ( x_1+x_2 = y_1+y_2 ),( 2x_1+2x_2 = 2y_1+2y_2 ):} $
Moltiplico la prima per due e poi sottraggo la seconda equazione dalla prima ottenendo
$ { ( 0=0 ),( 2x_1+2x_2 = 2y_1+2y_2 ):} $
Quindi e' vero $ \forall x,y in R $, quindi la funzione e' iniettiva corretto?
Salve, ho un problema con il seguente esercizio:
$ U : \{(x+y+z+w= 0),(2x+3y-z+w=0):}$ $V : <(1,-1,1,-1),(1,0,-1,0),(0,0,1,1)>$
Dire per quali k reali esiste un applicazione lineare $ f : RR^4 -> RR^2 $ tale che $Ker(f)=U$ e $f(1,-1,1,-1)=(2,1) f(1,0,-1,0)=(-2,k) f(0,0,1,1)=(1,k)$ e dire quante ne esistono.
Io ho iniziato trovando una base del nucleo $Ker(f) = <(-4,3,1,0),(-2,1,0,1)>$ e avevo pensato di prendere un vettore combinazione lineare di due vettori della base V,di trovarne l'immagine attraverso f per linearità e di costruirmi la matrice associata ...
Quattro studenti trovano due cartelli affiancati, aventi le forme rappresentate in fi gura.
Bruno: "Le posizioni sono diverse ma sono quadrati congruenti!"
Aldo chiede: "Che cosa signi ca `congruenti'?"
Diana gli spiega: "Vuol dire che sono sovrapponibili con un movimento rigido".
E Bruno: "In particolare questi due quadrati hanno uguale area e uguale perimetro".
Il sole pomeridiano è un po' basso e le ombre sono già lunghe. I due cartelli proiettano due ombre ...
Siano $A,B in M_n(R)$ tale che $ AB = 0_n$ e $A$ e' una matrice invertibile. Dimostrare che $ B = 0_n$
Dimostrazione:
Per ipotesi $A$ e' invertibile quindi
$ EEC in M_n : AC = CA = I_n$ quindi $A != 0_n$
Allora $AB = 0_n$ se $ B = 0_n$
Tuttavia l'ultima affermazione non puo' essere un se e solo se perche' nonostante entrambe le matrici non siano nulle puo' comunque essere che $AB = 0_n$.
Vorrei sapere se e' corretto o se ho dimenticato ...
Ho una matrice $A((1,0,0),(0,2,0),(2,k+1,2))$
posto k=1 determinare una base per gli autospazi.
Intanto ho trovato gli autovalori che mi risultano essere:
$t_1=1$ molteplicità 1
$t_2=2$ molteplicità 2
Ho trovato le molteplicità geometriche degli autovalori al variare di k.
Siccome $t_1$ è un autovalore semplice, la sua molteplicità geometrica è uguale alla dimensione dell'autospazio.
$\nu(1)=dimV_1=1$
Invece per l'autovalore $t_2=2$
$\nu(2)={v\in\RR^3|2v=O_(\RR^3)}={v\in\RR^3|(A+2I^3)v=O_(\RR^3)}$
quindi ...
Salve.
Avrei un pò di dubbi sul ragionamento di questo esercizio.
La matrice è questa:
$A = ((1,a/7,0),(-1,1,0),(0,0,1/7))$
devo dire per quale valore di $a$ è diagonalizzabile. Calcolo il determinante e faccio le mie considerazioni.
se è singolare accade che:
$1+a/7 = 0$ cioè $a= -7$
ora pongo $a=-7$:
$A = ((1,-1,0),(-1,1,0),(0,0,1/7))$
dal polinomio caratteristico, gli autovalori sono
$\lambda = 1/7$
$\lambda = 0$
$\lambda = 2$
sono 3 autovalori distinti. ...
Salve a tutti,
Riguardando i miei appunti di algebra linare ho letto:
Si consideri un'applicazione lineare $f$:$V->V$; il problema di determinare dei vettori che vengono trasformati da $f$ in vettori ad essi paralleli, è legato alla possibilità di determinare una base di $V$ rispetto alla quale la matrice associata ad $f$ è in forma diagonale.
La mia domanda è: Esiste una applicazione lineare in cui alcuni vettori vengono ...
Ciao a tutti =) vorrei chiedervi se potreste darmi una mano a chiarire un concetto algebrico riguardante le catene di Markov. In particolare, prendendo in considerazione le catene di Markov finite, per trovare il tempo di decorrelazione si passa attraverso alcune considerazioni che riguardano gli autovettori destri e sinistri della matrice di transizione
Cioè, introducendo gli autovettori destri e sinistri, posso scrivere la matrice di transizione nel seguente modo
$(P^n)_{ab}=\sum_{\alpha} d^{\alpha}_a s^{\alpha}_b (\lambda^{\alpha})^n$
dove ...
Salve a tutti non riesco ad impostare il seguente problema.
Ho due coniche: 1): ${(x^2+y^2-1 = 0), (z-1 = 0):}$ e 2)${(x^2+y^2-4 = 0), (z-2 = 0):}$, devo trovare il fascio di quadriche.
Allora l'equazione della generica quadrica passante per la 1 è: $(z-1)(ax+by+cz+d) +x^2+y^2-1 = 0$ adesso dovrei imporre il passaggio per $(z-2)$ per cui ottengo $2c$, ma come faccio ad ottenere gli altri parametri.
Qualcuno può spiegarmi il procedimento step by step?
Grazie
Emanuele
Ciao a tutti!!!
Sapreste dirmi quanto vale il perimetro dell'ellisse con assi pari a 1m e 2m?
Grazie!!!
$L:\RR^2->\RR^3$
$L((x),(y))=((x+y),(-x),(-y))$ devo determinare le equazioni cartesiane di L. Come faccio?
Ho scritto la matrice A rispetto alle basi canoniche
$A=((1,1),(-1,0),(0,-1))$ e vedo che le colonne $A^1, A^2$ sono linearmente indipendenti, quindi il rango di A è 2 e di conseguenza è 2 anche la dimensione di ImL
Buon pomeriggio.
Vorrei vedere dove sbaglio con questo esercizio di geometria
Ho due rette:
r:
$x-y+2z+2=0$
$x-2y-2z=0$
s:
$x=t$
$y=t$
$z=t$
1) Trovare il piano $\Pi$ contenente $P(2,2,2) \in s$ ed $r$:
$a(x-y+2z+2)+b(x-2y-2z)=0$
passaggio per $P(2,2,2)$ il piano viene:
$2x-3y+2=0$
2) trovare la retta $t$ contenuta in $\Pi$, perpendicolare ad $r$, incidente ...
Ho un problema con questo genere di esercizi che non capisco come dovrebbero essere svolti.
Ho un'applicazione $L:\RR^3->\RR^3$ definita nella base canonica di $\RR^3$ dove
$L(e_1)=e_1+e_2$, $L(e_2)=e_2-e_3$, $L(e_3)=e_1+e_3$
Quindi la matrice associata è $A=((1,0,1),(1,1,0),(0,-1,1))$
Mi si chiede di scrivere la matrice B associata alla base $B': u_1=e_1+e_2; u_2=e_2+e_3; u_3=e_1+e_3$
Io me lo immaginavo uguale al precedente, dove $B'={u_1,u_2,u_3}$ e a quel punto sostituire i nuovi elementi della base dentro ...
Ciao a tutti. Volevo sapere se potevate aiutarmi a dimostrare che la circonferenza é un retratto di deformazione della corona. Intuitivamente lo capisco ma dovrei trovare la f:C--->S1 (dove C= corona e S1= circonferenza) e poi dimostrare che i (inclusione S1--->C) composta f é omotopa all'applicazione identitá sulla corona. Grazie, attendo aiuti
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