Diagonalizzazione
Salve ragazzi avrei una domanda:
se ho un endomorfismo con il parametro $k$ e devo stabilire per quale valore di questo l'endomorfismo è diagonalizzabile, posso operare delle mosse di gauss sulla matrice?
Per esempio una matrice è questa:
$A=((6,-8,8),(7-k,11,k+11),(7-k,-9,k+9))$
posso operare delle mosse su $A-\lambdaI$ per facilitare i calcoli?
se ho un endomorfismo con il parametro $k$ e devo stabilire per quale valore di questo l'endomorfismo è diagonalizzabile, posso operare delle mosse di gauss sulla matrice?
Per esempio una matrice è questa:
$A=((6,-8,8),(7-k,11,k+11),(7-k,-9,k+9))$
posso operare delle mosse su $A-\lambdaI$ per facilitare i calcoli?
Risposte
@Vsc,
mmm per esempio \(A \) è la matrice di chi? E'per caso la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base canonica?
Per studiare se l'endomorfismo è diagonalizzabile puoi vedere, tramite un criterio di diagonalizzazione, se è semplice [nota]ovvero se esiste una base di autovettori dell'endomorfismo[/nota], non capisco cosa vuoi fare... scrivi un tuo tentativo di soluzione poi magari ne parliamo meglio! 
Saluti
"Vsc":
Salve ragazzi avrei una domanda:
se ho un endomorfismo con il parametro $k$ e devo stabilire per quale valore di questo l'endomorfismo è diagonalizzabile, posso operare delle mosse di gauss sulla matrice?
Per esempio una matrice è questa:
$A=((6,-8,8),(7-k,11,k+11),(7-k,-9,k+9))$
posso operare delle mosse su $A-\lambdaI$ per facilitare i calcoli?
mmm per esempio \(A \) è la matrice di chi? E'per caso la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base canonica?
Per studiare se l'endomorfismo è diagonalizzabile puoi vedere, tramite un criterio di diagonalizzazione, se è semplice [nota]ovvero se esiste una base di autovettori dell'endomorfismo[/nota], non capisco cosa vuoi fare... scrivi un tuo tentativo di soluzione poi magari ne parliamo meglio! Saluti
sisi è la matrice associata all'endomorfismo. Ho preso il primo esercizio che ho trovato e in questo caso non sarebbe difficilissimo calcolare il polinomio caratteristico ma ci sono matrici dove i calcoli vengono un po' più complicati e vorrei sapere se operando delle mosse di gauss cambio l'endomorfismo
@Vsc,
mmm non cambi tanto l'endomorfismo, operando con le mosse di Gauss ottiene una matrice simile ed il polinomio caratteristico è equivalente a quello della matrice originale..
Saluti
"Vsc":
sisi è la matrice associata all'endomorfismo. Ho preso il primo esercizio che ho trovato e in questo caso non sarebbe difficilissimo calcolare il polinomio caratteristico ma ci sono matrici dove i calcoli vengono un po' più complicati e vorrei sapere se operando delle mosse di gauss cambio l'endomorfismo
mmm non cambi tanto l'endomorfismo, operando con le mosse di Gauss ottiene una matrice simile ed il polinomio caratteristico è equivalente a quello della matrice originale..
Saluti
"Vsc":
posso operare delle mosse su $A-\lambdaI$ per facilitare i calcoli?
L'obiettivo, come ben sai, è studiare gli zeri del polinomio minimo, il quale è definito dall'annullamento del determinante. Di conseguenza, tutte le operazioni che lasciano invariato il determinante di $A-\lambda I$ sono lecite.
Nello specifico le "mosse di Gauss", ovvero il MEG, è formalizzabile come\[B = P^{-1}LU\]dove $B$ è la matrice di partenza (nel nostro caso $A-\lambda I$) e $P$,$L$ e $U$ sono rispettivamente: una matrice di pivotazione, ovvero una particolare matrice di permutazione con determinante $\pm 1$, una matrice triangolare inferiore con $\text{det}(L) = 1$ e infine una matrice triangolare superiore (quella che si ottiene alla fine). Riassumendo: \[\text{det}(B) = \text{det}(P^{-1}LU) = \text{det}(P^{-1})\text{det}(L)\text{det}(U) = \pm \text{det}(U)\]Quindi il modulo del determinante, e quindi gli zeri, della matrice $B$ e quello della matrice ottenuta dopo l'eliminazione di Gauss sono uguali.
Tutto ciò per dire che sì, puoi operare le mosse su $A-\lambda I$ non cambiando il risultato.
Saluti
grazie mille ragazzi
Scusate se riapro la discussione ma se ho il seguente endomorfismo :
$f(x,y,z)=(-z+y+2x,(41-5k)z+(5k-36)y+(43-5k)x,(39-4k)z+(4k-34)y+(38-8k)x)$
Ho provato a calcolare gli autovalori direttamente ma mi risulta un po' complicato, però allo stesso tempo non vedo quale mosse di gauss potrebbero aiutarmi, voi cosa mi consigliate?
$f(x,y,z)=(-z+y+2x,(41-5k)z+(5k-36)y+(43-5k)x,(39-4k)z+(4k-34)y+(38-8k)x)$
Ho provato a calcolare gli autovalori direttamente ma mi risulta un po' complicato, però allo stesso tempo non vedo quale mosse di gauss potrebbero aiutarmi, voi cosa mi consigliate?
@Vsc,
posta almeno la matrice associata rispetto alla base canonica..
Saluti
"Vsc":
Scusate se riapro la discussione ma se ho il seguente endomorfismo :
$f(x,y,z)=(-z+y+2x,(41-5k)z+(5k-36)y+(43-5k)x,(39-4k)z+(4k-34)y+(38-8k)x)$
Ho provato a calcolare gli autovalori direttamente ma mi risulta un po' complicato, però allo stesso tempo non vedo quale mosse di gauss potrebbero aiutarmi, voi cosa mi consigliate?
posta almeno la matrice associata rispetto alla base canonica..
Saluti
sisi hai ragione scusami eccola :
$((2,1,-1),(43-5k,5k-36,41-5k),(38-8k,4k-34,39-4k))$
$((2,1,-1),(43-5k,5k-36,41-5k),(38-8k,4k-34,39-4k))$
nessuno?
@Vsc,
mm sono di fretta, ho messo la matrice in wolfram nel calcolo degli autovalori..:
[url]
https://www.wolframalpha.com/input/?i=e ... 9-4k%7D%7D[/url]
in effetti è po complicata la cosa, per caso il docente ha consigliato una base in particolare o fatto qualche osservazione??
Saluti
P.S.=Non ho controllato se la matrice che hai ricavato è giusta.. appena ho tempo spero di farlo!
"Vsc":
sisi hai ragione scusami eccola :
$((2,1,-1),(43-5k,5k-36,41-5k),(38-8k,4k-34,39-4k))$
mm sono di fretta, ho messo la matrice in wolfram nel calcolo degli autovalori..:
[url]
https://www.wolframalpha.com/input/?i=e ... 9-4k%7D%7D[/url]
in effetti è po complicata la cosa, per caso il docente ha consigliato una base in particolare o fatto qualche osservazione??
Saluti
P.S.=Non ho controllato se la matrice che hai ricavato è giusta.. appena ho tempo spero di farlo!
scusa l'elemento $a_(1,3)$ è $38-4k$ ed escono come autovalori $5,3,k-3$ ma comunque il calcolo non è semplice, è facile commettere errori per questo volevo semplificare in qualche modo la matrice ma non vedo che mosse posso fare
@Vsc,
se \( a_{13}=38-4k \) allora matrice è $((2,1,38-4k),(43-5k,5k-36,41-5k),(38-8k,4k-34,39-4k))$??
Saluti
P.S.=Se la matrice è quella ti complichi la vita CLIC
edit: se ottieni come autovalori $5,3,k-3$ allora \( 38-4k \) non è l'elemento \( a_{13} \) ma \( a_{31} \)[nota]CLIC[/nota] (mi sembra strano fare confusione in questo modo!!!) e comunque non saprei come semplificare la matrice per facilitarti il calcolo.. il determinante è una cosa tanto semplice, magari per verificare se i risultati sono quelli che hai ottenuto puoi usare un qualche calcolatore tipo wolfram!
"Vsc":
scusa l'elemento $a_(1,3)$ è $38-4k$ ed escono come autovalori $5,3,k-3$ ma comunque il calcolo non è semplice, è facile commettere errori per questo volevo semplificare in qualche modo la matrice ma non vedo che mosse posso fare
se \( a_{13}=38-4k \) allora matrice è $((2,1,38-4k),(43-5k,5k-36,41-5k),(38-8k,4k-34,39-4k))$??
Saluti
P.S.=Se la matrice è quella ti complichi la vita CLIC
edit: se ottieni come autovalori $5,3,k-3$ allora \( 38-4k \) non è l'elemento \( a_{13} \) ma \( a_{31} \)[nota]CLIC[/nota] (mi sembra strano fare confusione in questo modo!!!) e comunque non saprei come semplificare la matrice per facilitarti il calcolo.. il determinante è una cosa tanto semplice, magari per verificare se i risultati sono quelli che hai ottenuto puoi usare un qualche calcolatore tipo wolfram!
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