Base di un sottospazio
Buonasera a tutti,
ho un esercizio che non mi è molto chiaro, probabilmente mi manca qualche passaggio di teoria.
Ad esempio se ho $v_1=(1,0,1), v_2=(0,0,1), v_3=(1,1,1)$
Mi viene chiesto se due vettori $v_1,v_2$ formano una base del sottospazio $L(v_1,v_2)$.
Io so dalla teoria che devono valere due condizioni:
1)$v_1,v_2$ generano $W$ ovvero $W=L(v_1,v_2)$
2)$v_1,v_2$ sono linearmente indipendenti.
Ora, con il punto 2) non ho problemi, con il punto 1) invece non ho molto chiaro come procedere.
Grazie a tutti quelli che mi vorranno aiutare.
ho un esercizio che non mi è molto chiaro, probabilmente mi manca qualche passaggio di teoria.
Ad esempio se ho $v_1=(1,0,1), v_2=(0,0,1), v_3=(1,1,1)$
Mi viene chiesto se due vettori $v_1,v_2$ formano una base del sottospazio $L(v_1,v_2)$.
Io so dalla teoria che devono valere due condizioni:
1)$v_1,v_2$ generano $W$ ovvero $W=L(v_1,v_2)$
2)$v_1,v_2$ sono linearmente indipendenti.
Ora, con il punto 2) non ho problemi, con il punto 1) invece non ho molto chiaro come procedere.
Grazie a tutti quelli che mi vorranno aiutare.
Risposte
@Pozzetto,
se \(W=\mathcal{L}(v_1,v_2)\) allora per definizione \( v_1,v_2 \) generano $W$ (o: sono generatori di $W$).. in sostanza il punto 1 è noto/vero per le ipotesi che hai! Quindi ti basta verificare/vedere se \( (v_1,v_2)\) è base per \( W \)..
Saluti
"Pozzetto":
Buonasera a tutti,
ho un esercizio che non mi è molto chiaro, probabilmente mi manca qualche passaggio di teoria.
Ad esempio se ho $v_1=(1,0,1), v_2=(0,0,1), v_3=(1,1,1)$
Mi viene chiesto se due vettori $v_1,v_2$ formano una base del sottospazio $L(v_1,v_2)$.
Io so dalla teoria che devono valere due condizioni:
1)$v_1,v_2$ generano $W$ ovvero $W=L(v_1,v_2)$
2)$v_1,v_2$ sono linearmente indipendenti.
Ora, con il punto 2) non ho problemi, con il punto 1) invece non ho molto chiaro come procedere.
Grazie a tutti quelli che mi vorranno aiutare.
se \(W=\mathcal{L}(v_1,v_2)\) allora per definizione \( v_1,v_2 \) generano $W$ (o: sono generatori di $W$).. in sostanza il punto 1 è noto/vero per le ipotesi che hai! Quindi ti basta verificare/vedere se \( (v_1,v_2)\) è base per \( W \)..
Saluti
Forse ho posto male la domanda e le mie due successive condizioni.
La domanda è: I 2 vettori formano una base del sottospazio $L(v_1,v_2)$ ?
La domanda è: I 2 vettori formano una base del sottospazio $L(v_1,v_2)$ ?
@Pozzetto,
capito... ma nonostante la formula diversa della tua domanda il succo è lo stesso, i due vettori per essere base per \( W \) devono essere generatori per \( W \) e liberi sul campo, di essere generatori per \( W \) lo sono per ipotesi (sai la def. di sottospazio generato, o di vettori generatori di un sottospazio?).. di essere liberi dobbiamo verificarlo, può associare la matrice ai due vettori e valutare il rango oppure procedere direttamente con la verifica della lineare indipendenza (o magari hai occhio per dirlo subito, anche se occorre sempre una buona giustificazione
).. Insomma, per te sono liberi o no? 
Se sono liberi allora sono base per \( W \), se non sono liberi allora non sono base per \( W \)!!
Saluti
p.s.=preciso che associare la matrice o procedere direttamente con la verifica della lineare indipendenza è la stessa cosa, ho preferito distinguere le cose solo perchè moolti testi lo fanno!
"Pozzetto":
Forse ho posto male la domanda e le mie due successive condizioni.
La domanda è: I 2 vettori formano una base del sottospazio $L(v_1,v_2)$ ?
capito... ma nonostante la formula diversa della tua domanda il succo è lo stesso, i due vettori per essere base per \( W \) devono essere generatori per \( W \) e liberi sul campo, di essere generatori per \( W \) lo sono per ipotesi (sai la def. di sottospazio generato, o di vettori generatori di un sottospazio?).. di essere liberi dobbiamo verificarlo, può associare la matrice ai due vettori e valutare il rango oppure procedere direttamente con la verifica della lineare indipendenza (o magari hai occhio per dirlo subito, anche se occorre sempre una buona giustificazione
).. Insomma, per te sono liberi o no? Se sono liberi allora sono base per \( W \), se non sono liberi allora non sono base per \( W \)!!Saluti
p.s.=preciso che associare la matrice o procedere direttamente con la verifica della lineare indipendenza è la stessa cosa, ho preferito distinguere le cose solo perchè moolti testi lo fanno!
Io ho provato così:
Per la 1) prendo un generico vettore $in RR^3$, $(x,y,z)$ e vedo se lo posso scrivere come combinazioni lineare di $v_1,v_2$.
$(x,y,z)= x(1,0,1)+y(0,0,1)=(x,0,x)$ , corretto?
Per la 1) prendo un generico vettore $in RR^3$, $(x,y,z)$ e vedo se lo posso scrivere come combinazioni lineare di $v_1,v_2$.
$(x,y,z)= x(1,0,1)+y(0,0,1)=(x,0,x)$ , corretto?
@Pozzetto,
no... dammi la definizione di sottospazio generato da un sistema di vettori!
Saluti
"Pozzetto":
Io ho provato così:
Per la 1) prendo un generico vettore $in RR^3$, $(x,y,z)$ e vedo se lo posso scrivere come combinazioni lineare di $v_1,v_2$.
$(x,y,z)= x(1,0,1)+y(0,0,1)=(x,0,x)$ , corretto?
no... dammi la definizione di sottospazio generato da un sistema di vettori!
Saluti
$W$ è un sottospazio se $v,w in W rarr v+w in W$ e se $v in W and r in RR rarr rv in W$.
Corretto?
Corretto?
@Pozzetto,
no... quella mi sembra una sorta di definizione di sottospazio vettoriale! Comunque facciamo prima se te la scrivo io, occorre prima di tutto la definizione di combinazione lineare, ovvero la seguente:
Def.: siano dati \( v \in V \), ove \( V \) è spazio vettoriale sul campo \( K \) rispetto ad \( +_V \) e \( \cdot_V \), ed \( w_1,w_2,...,w_n \in V \), dicesi che \( v \) è combinazione lineare di \(w_1,w_2,...,w_n \) se $$\exists \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n \in K (v=(\alpha_1\cdot_V w_1)+_V(\alpha_2\cdot_V w_2)+_V...+_V(\alpha_n\cdot_V w_n))$$
Def.: siano dati \( V \) uno spazio vettoriale sul campo \( K \) rispetto ad \( +_V \) e \( \cdot_V \), ed \( w_1,w_2,...,w_n \in V \), dicesi insieme delle combinazioni lineari di \( w_1,w_2,...,w_n\), e indicasi con la scrittura \( \mathrm{Span}( w_1,w_2,...,w_n) \) (o: \( \mathcal{L}(w_1,w_2,...,w_n)\), \(\)) l'insieme $$ \{x \in V| x \text{ è combinazione lineare di } w_1,w_2,...,w_n\}$$
Def.: siano dati \( V \) uno spazio vettoriale sul campo \( K \) rispetto ad \( +_V \) e \( \cdot_V \), \( W \) un sottospazio vettoriale di \( V \), ed \( w_1,w_2,...,w_n \in V \), dicesi che \( W \) è generato da \( w_1,w_2,...,w_n \) (o: \( w_1,w_2,...,w_n \) sono generatori di \( W \)), se $$W=\mathrm{Span}( w_1,w_2,...,w_n) $$
E' facile vedere/dimostrare[nota]prova a dimostrarlo tu, non è difficile[/nota] che \( \mathrm{Span}( w_1,w_2,...,w_n) \) è sottospazio vettoriale di \( V \) ed è anche generato da \(w_1,w_2,...,w_n\)
Saluti
P.S.=Ho cercato di essere il più leggero possibile con le notazioni.. spero sia tutto chiaro!!
"Pozzetto":
$W$ è un sottospazio se $v,w in W rarr v+w in W$ e se $v in W and r in RR rarr rv in W$.
Corretto?
no... quella mi sembra una sorta di definizione di sottospazio vettoriale! Comunque facciamo prima se te la scrivo io, occorre prima di tutto la definizione di combinazione lineare, ovvero la seguente:
Def.: siano dati \( v \in V \), ove \( V \) è spazio vettoriale sul campo \( K \) rispetto ad \( +_V \) e \( \cdot_V \), ed \( w_1,w_2,...,w_n \in V \), dicesi che \( v \) è combinazione lineare di \(w_1,w_2,...,w_n \) se $$\exists \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n \in K (v=(\alpha_1\cdot_V w_1)+_V(\alpha_2\cdot_V w_2)+_V...+_V(\alpha_n\cdot_V w_n))$$
Def.: siano dati \( V \) uno spazio vettoriale sul campo \( K \) rispetto ad \( +_V \) e \( \cdot_V \), ed \( w_1,w_2,...,w_n \in V \), dicesi insieme delle combinazioni lineari di \( w_1,w_2,...,w_n\), e indicasi con la scrittura \( \mathrm{Span}( w_1,w_2,...,w_n) \) (o: \( \mathcal{L}(w_1,w_2,...,w_n)\), \(
Def.: siano dati \( V \) uno spazio vettoriale sul campo \( K \) rispetto ad \( +_V \) e \( \cdot_V \), \( W \) un sottospazio vettoriale di \( V \), ed \( w_1,w_2,...,w_n \in V \), dicesi che \( W \) è generato da \( w_1,w_2,...,w_n \) (o: \( w_1,w_2,...,w_n \) sono generatori di \( W \)), se $$W=\mathrm{Span}( w_1,w_2,...,w_n) $$
E' facile vedere/dimostrare[nota]prova a dimostrarlo tu, non è difficile
[/nota] che \( \mathrm{Span}( w_1,w_2,...,w_n) \) è sottospazio vettoriale di \( V \) ed è anche generato da \(w_1,w_2,...,w_n\)Saluti
P.S.=Ho cercato di essere il più leggero possibile con le notazioni.. spero sia tutto chiaro!!
La tua spiegazione sembra essere molto esaustiva ma troppo per quanto sono gli obiettivi del corso che sto seguendo.
Nel frattempo ho pensato:
1)
Se $v=\lambda_1(1,0,1)+\lambda_2(0,0,1)=(\lambda_1,0,\lambda_1+\lambda_2)=L(v_1,v_2)=W$
Nel frattempo ho pensato:
1)
Se $v=\lambda_1(1,0,1)+\lambda_2(0,0,1)=(\lambda_1,0,\lambda_1+\lambda_2)=L(v_1,v_2)=W$
@Pozzetto,
continuo a non seguirti!... tu devi dimostrare/fare vedere che \( W \) è generato da \(v_1,v_2 \) avendo per ipotesi che \( W \) è generato da \( v_1,v_2 \)?? Mi confermi che per ipotesi \( W =L(v_1,v_2)\)?
Saluti
"Pozzetto":
La tua spiegazione sembra essere molto esaustiva ma troppo per quanto sono gli obiettivi del corso che sto seguendo.
Nel frattempo ho pensato:
1)
Se $v=\lambda_1(1,0,1)+\lambda_2(0,0,1)=(\lambda_1,0,\lambda_1+\lambda_2)=L(v_1,v_2)=W$
continuo a non seguirti!... tu devi dimostrare/fare vedere che \( W \) è generato da \(v_1,v_2 \) avendo per ipotesi che \( W \) è generato da \( v_1,v_2 \)?? Mi confermi che per ipotesi \( W =L(v_1,v_2)\)?
Saluti
Forse non ci capiamo sul fatto delle ipotesi....RESET, non ho nessuna ipotesi.
La consegna è se i vettori $v_1,v_2$ formano una base del sottospazio $l(v_1,v_2)$
Ora:
Praticamente dalla teoria so che dato uno spazio vettoriale $V$, un insieme di vettori ${v_1,..,v_n} sub V$ è una base di $V$ se
1)${v_1,..,v_n}$ è un sistema di generatori di $V$
2) ${v_1,..,v_n}$ sono lienarmente indipendenti.
Fin qui corretto?
Ora ho problemi a dimostarare il punto 1)!
La consegna è se i vettori $v_1,v_2$ formano una base del sottospazio $l(v_1,v_2)$
Ora:
Praticamente dalla teoria so che dato uno spazio vettoriale $V$, un insieme di vettori ${v_1,..,v_n} sub V$ è una base di $V$ se
1)${v_1,..,v_n}$ è un sistema di generatori di $V$
2) ${v_1,..,v_n}$ sono lienarmente indipendenti.
Fin qui corretto?
Ora ho problemi a dimostarare il punto 1)!
@Pozzetto,
sono curioso nel sapere cosa significa per te la scrittura $l(v_1,v_2)$??
Saluti
"Pozzetto":
Forse non ci capiamo sul fatto delle ipotesi....RESET, non ho nessuna ipotesi.
La consegna è se i vettori $v_1,v_2$ formano una base del sottospazio $l(v_1,v_2)$
Ora:
Praticamente dalla teoria so che dato uno spazio vettoriale $V$, un insieme di vettori ${v_1,..,v_n} sub V$ è una base di $V$ se
1)${v_1,..,v_n}$ è un sistema di generatori di $V$
2) ${v_1,..,v_n}$ sono lienarmente indipendenti.
Fin qui corretto?
Ora ho problemi a dimostarare il punto 1)!
sono curioso nel sapere cosa significa per te la scrittura $l(v_1,v_2)$??
Saluti
è l'insieme delle combinazioni lineari di vettori $v_1,...v_n in RR^n$
@Pozzetto,
ok, tu hai scritto prima:
cosa significa per te?
Saluti
"Pozzetto":
è l'insieme delle combinazioni lineari di vettori $v_1,...v_n in RR^n$
ok, tu hai scritto prima:
"Pozzetto":
1)$ {v_1,..,v_n} $ è un sistema di generatori di $ V $
cosa significa per te?
Saluti
Che un vettore $v$ si può scrivere come combinazione linerar di $v_1,...,v_n$ ovvero $v=a_1(v_1)+a_2(v_2)$ ad esempio...
@Pozzetto,
non è la stessa cosa di \( L(v_1,...,v_n) \)??
Saluti
P.S.=Dovresti essere più formale!!! Il mio consiglio è "prendi un buon testo di algebra lineare, vai al capitolo delle combinazioni lineari e leggi bene"...
"Pozzetto":
Che un vettore $v$ si può scrivere come combinazione linerar di $v_1,...,v_n$ ovvero $v=a_1(v_1)+a_2(v_2)$ ad esempio...
non è la stessa cosa di \( L(v_1,...,v_n) \)??
Saluti
P.S.=Dovresti essere più formale!!! Il mio consiglio è "prendi un buon testo di algebra lineare, vai al capitolo delle combinazioni lineari e leggi bene"...
Quindi:
1) $v=\lambda_1(1,0,1)+\lambda_2(0,0,1)=(\lambda_1,0,\lambda_1+\lambda_2)$ e quindi $v_1,v_2$ sono un insieme di generatori per oppurtuni valori di $\lambda_1,\lambda_2$, corretto?
Grazie e scusa dell'ora.
1) $v=\lambda_1(1,0,1)+\lambda_2(0,0,1)=(\lambda_1,0,\lambda_1+\lambda_2)$ e quindi $v_1,v_2$ sono un insieme di generatori per oppurtuni valori di $\lambda_1,\lambda_2$, corretto?
Grazie e scusa dell'ora.
@Pozzetto,
se esistono \(\lambda_1,\lambda_2 \in \Bbb{R} \) tale che \(W \ni v=\lambda_1(1,0,1)+\lambda_2(0,0,1)\) allora $v_1,v_2$ sono un insieme di generatori per \( W \)...
Saluti
"Pozzetto":
Quindi:
1) $v=\lambda_1(1,0,1)+\lambda_2(0,0,1)=(\lambda_1,0,\lambda_1+\lambda_2)$ e quindi $v_1,v_2$ sono un insieme di generatori per oppurtuni valori di $\lambda_1,\lambda_2$, corretto?
Grazie e scusa dell'ora.
se esistono \(\lambda_1,\lambda_2 \in \Bbb{R} \) tale che \(W \ni v=\lambda_1(1,0,1)+\lambda_2(0,0,1)\) allora $v_1,v_2$ sono un insieme di generatori per \( W \)...
Saluti
Faccio un esempio:
$v=(x,y,z)=(\lambda_1,0,\lambda_1+\lambda_2)$
Se metto a sistema ottengo $\lambda_1=x, y=0 , \lambda_1+\lambda_2=z$
Quindi ad esempio se prendo un vettore a caso $(5,0,6)$ so che $\lambda_1=5 and \lambda_2=1$ corretto come ragionamento?
$v=(x,y,z)=(\lambda_1,0,\lambda_1+\lambda_2)$
Se metto a sistema ottengo $\lambda_1=x, y=0 , \lambda_1+\lambda_2=z$
Quindi ad esempio se prendo un vettore a caso $(5,0,6)$ so che $\lambda_1=5 and \lambda_2=1$ corretto come ragionamento?
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