Lemma di steinitz : non ci ho capito una mazza!
Quando lo leggo trovo 3000 contraddizioni o cose inaccettabili dal mio punto di vista. Vi spiego:
$ Y={w_(1), w_(2),...,w_(m)} $ linearmente indipendente su $ V $
$ X= {v_(1), v_(2),...,v_(n)} $ generatore di $ V $
(Insiemi di vettori)
Il lemma afferma che:
- $ Y $ non può essere più grande del generatore $ Y $, quindi $ m<=n $
- $ EE v_(i1),v_(i2),...v_(i.n-m) in X : B = {w_(1),...,w_(m),v_(i1),...v_(i.n-m)} $ è una base
Quindi anche $ X $ è base e la dimensione è $ n $ no?
In più...
Il teorema che deriva dal Lemma di Steinitz afferma senza alcuna ombra di dubbio che:
- se $ Y $ è linearmente indipendente è contenuto in una base, nel nostro caso $ X $.
Questi due principi messi insieme mi mandano in tilt.
Perché dire che $ Y sube X $ significa dire che $ {w_(1), w_(2),...,w_(m)} sube X $
E che quindi $ B $ e $ X $ non sono due basi, ma LA STESSA! Coincidono!
Questo va contro il fatto che uno spazio vett possa avere più di una base---> il che è impossibile!!!
In più un secondo teorema dopo il lemma mi dice che:
Sia $ dimV = n $ e sia $ X $ un insieme di $ V $.
È equivalente dire:
1. $ X $ è una base.
2. $ X $ è lin. Indipendente
3. $ X $ è un insieme di generatori
MA
COMEEEEE???????
$ Y={w_(1), w_(2),...,w_(m)} $ linearmente indipendente su $ V $
$ X= {v_(1), v_(2),...,v_(n)} $ generatore di $ V $
(Insiemi di vettori)
Il lemma afferma che:
- $ Y $ non può essere più grande del generatore $ Y $, quindi $ m<=n $
- $ EE v_(i1),v_(i2),...v_(i.n-m) in X : B = {w_(1),...,w_(m),v_(i1),...v_(i.n-m)} $ è una base
Quindi anche $ X $ è base e la dimensione è $ n $ no?
In più...
Il teorema che deriva dal Lemma di Steinitz afferma senza alcuna ombra di dubbio che:
- se $ Y $ è linearmente indipendente è contenuto in una base, nel nostro caso $ X $.
Questi due principi messi insieme mi mandano in tilt.
Perché dire che $ Y sube X $ significa dire che $ {w_(1), w_(2),...,w_(m)} sube X $
E che quindi $ B $ e $ X $ non sono due basi, ma LA STESSA! Coincidono!
Questo va contro il fatto che uno spazio vett possa avere più di una base---> il che è impossibile!!!
In più un secondo teorema dopo il lemma mi dice che:
Sia $ dimV = n $ e sia $ X $ un insieme di $ V $.
È equivalente dire:
1. $ X $ è una base.
2. $ X $ è lin. Indipendente
3. $ X $ è un insieme di generatori
MA
COMEEEEE???????
Risposte
"Sveshh":Ma dove sta scritto che uno spazio vettoriale può avere un'unica base vettoriale?
...Questo va contro il fatto che uno spazio vett possa avere più di una base---> il che è impossibile!!!...
Prendi \(\displaystyle\mathbb{R}\) come spazio vettoriale reale di dimensione \(\displaystyle1\); le sue basi sono tutte e solo del tipo \(\displaystyle\{r\}\) ove \(\displaystyle r\) è un numero reale non nullo!
"j18eos":Ma dove sta scritto che uno spazio vettoriale può avere un'unica base vettoriale?
[quote="Sveshh"]...Questo va contro il fatto che uno spazio vett possa avere più di una base---> il che è impossibile!!!...
Prendi \(\displaystyle\mathbb{R}\) come spazio vettoriale reale di dimensione \(\displaystyle1\); le sue basi sono tutte e solo del tipo \(\displaystyle\{r\}\) ove \(\displaystyle r\) è un numero reale non nullo![/quote]
Scusa mi sono espressa male! Ma era esattamente quello che intendevo!
Il ragionamento anomalo è impossibile! Quello che va contro il fatto che ogni spazio vett può certamente avere più di una base.
Per il resto?
Nessuna illuminazione?
Per prima cosa \(X\) non è una base, la base è \(B\). Quello che sta dicendo il teorema che se tu possiedi un insieme che contiene almeno una base (può esserlo essa stessa) e un insieme di vettori linearmente indipendenti allora esiste una base che completa l'insieme dei vettori indipendenti attraverso elementi del primo insieme.
In pratica hai che \(Y\subseteq B \subset X\cup Y\) e \(B'\subseteq X\) dove \(B'\) è una base diversa da \(B\). Cioè, in generale, \(\displaystyle B\not\subset X \).
In pratica hai che \(Y\subseteq B \subset X\cup Y\) e \(B'\subseteq X\) dove \(B'\) è una base diversa da \(B\). Cioè, in generale, \(\displaystyle B\not\subset X \).
Ok allora vediamo se ho capito....
X generatore di V contiene almeno una base, supponiamo si chiami B.
$ B sube X $
Se esiste un insieme linearmente indipendente Y , questo sarà sicuramente contenuto in una base di X.
$ Y sube B $
Naturalmente $ Y sube X $ poiché se Y fosse maggiore si X ricadrebbe nella dipendenza lineare.
Il teorema mi dice che X generatore "presti" determinati vettori ad Y in modo che questo diventi una base, che chiamo B' , anch essa contenuta in X. Quindi $ B' sube X $ .
Giusto?
X generatore di V contiene almeno una base, supponiamo si chiami B.
$ B sube X $
Se esiste un insieme linearmente indipendente Y , questo sarà sicuramente contenuto in una base di X.
$ Y sube B $
Naturalmente $ Y sube X $ poiché se Y fosse maggiore si X ricadrebbe nella dipendenza lineare.
Il teorema mi dice che X generatore "presti" determinati vettori ad Y in modo che questo diventi una base, che chiamo B' , anch essa contenuta in X. Quindi $ B' sube X $ .
Giusto?
Stai confondendo un insieme di vettori con i sottospazi. Ti faccio un esempio pratico.
\(\displaystyle X = \{(1,0), (0,1), (1,1)\} \subseteq \mathbb{R}^2 \) è tale che \(\displaystyle \mathcal{L}X = \mathbb{R}^2 \). Quest'ultimo contiene le seguenti basi: \(\displaystyle B_1 = \{(1,0), (0,1)\} \), \(\displaystyle B_2 = \{(1,0), (1,1)\} \) e \(\displaystyle B_3 = \{(0,1), (1,1)\} \). La prima è quella canonica, le altre due ovviamente non sono ortogonali.
Se io considero \(\displaystyle Y = (1,-1) \) allora le possibili scelte di \(\displaystyle B \) sono \(\displaystyle B_4 = \{(1,-1), (1,0)\} \), \(\displaystyle B_5 = \{(1,-1), (1,0)\} \) e \(\displaystyle B_6 = \{(1,-1), (1,1)\} \) di cui \(\displaystyle B_6 \) è ortogonale[nota]Se non conosci il significato di queste parole intendo dire che i vettori formano un angolo di 90° (o equivalentemente il loro prodotto interno/scalare è nullo).[/nota].
È evidente che \(\displaystyle Y\subset B_6\subset Y\cup X \) e \(\displaystyle B_1\subset X \) ma \(\displaystyle B_1\cap B_6 = X\cap Y = \emptyset \).
\(\displaystyle X = \{(1,0), (0,1), (1,1)\} \subseteq \mathbb{R}^2 \) è tale che \(\displaystyle \mathcal{L}X = \mathbb{R}^2 \). Quest'ultimo contiene le seguenti basi: \(\displaystyle B_1 = \{(1,0), (0,1)\} \), \(\displaystyle B_2 = \{(1,0), (1,1)\} \) e \(\displaystyle B_3 = \{(0,1), (1,1)\} \). La prima è quella canonica, le altre due ovviamente non sono ortogonali.
Se io considero \(\displaystyle Y = (1,-1) \) allora le possibili scelte di \(\displaystyle B \) sono \(\displaystyle B_4 = \{(1,-1), (1,0)\} \), \(\displaystyle B_5 = \{(1,-1), (1,0)\} \) e \(\displaystyle B_6 = \{(1,-1), (1,1)\} \) di cui \(\displaystyle B_6 \) è ortogonale[nota]Se non conosci il significato di queste parole intendo dire che i vettori formano un angolo di 90° (o equivalentemente il loro prodotto interno/scalare è nullo).[/nota].
È evidente che \(\displaystyle Y\subset B_6\subset Y\cup X \) e \(\displaystyle B_1\subset X \) ma \(\displaystyle B_1\cap B_6 = X\cap Y = \emptyset \).
@Sveshh,
nei miei studi il Lemma di Steinitz afferma solo la prima... (l'altra io la conosco col nome "teorema della base incompleta")..
Saluti
"Sveshh":
Quando lo leggo trovo 3000 contraddizioni o cose inaccettabili dal mio punto di vista. Vi spiego:
$ Y={w_(1), w_(2),...,w_(m)} $ linearmente indipendente su $ V $
$ X= {v_(1), v_(2),...,v_(n)} $ generatore di $ V $
(Insiemi di vettori)
Il lemma afferma che:
- $ Y $ non può essere più grande del generatore $ Y $, quindi $ m<=n $
- $ EE v_(i1),v_(i2),...v_(i.n-m) in X : B = {w_(1),...,w_(m),v_(i1),...v_(i.n-m)} $ è una base
nei miei studi il Lemma di Steinitz afferma solo la prima... (l'altra io la conosco col nome "teorema della base incompleta")..
Saluti
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