Luogo delle soluzioni di un sistema lineare
Ho un sistema così descritto in $RR^3$:
$\{((h+1)x+(h-1)y+z=0),((2h-1)x+y+(h-1)z=h):}$
Ho scritto sottoforma di matrice
$A=((h+1,h-1,1),(2h-1,1,h-1))$ $B=((0),(h))$
Ho calcolato il rango del minore composto dalle colonne 2 e 3 di A e ho trovato che è $2 <=>h!=0,h!=2$
Quindi ho scritto la matrice composta e ritorna avere rango 2 per gli stessi valori di h, pertanto ammette soluzioni per rouche-capelli.
Per verificare il luogo delle soluzioni devo sottrarre la dimensione dello spazio descritto ($RR^3$ quindi dim=3) e il rango?
Se la differenza risulta essere 1 si ha una retta in $RR^3$ passante o meno per l'origine in base poi al valore di h nella matrice B altrimenti se risulta essere 2 ho un piano in $RR^3$?
$\{((h+1)x+(h-1)y+z=0),((2h-1)x+y+(h-1)z=h):}$
Ho scritto sottoforma di matrice
$A=((h+1,h-1,1),(2h-1,1,h-1))$ $B=((0),(h))$
Ho calcolato il rango del minore composto dalle colonne 2 e 3 di A e ho trovato che è $2 <=>h!=0,h!=2$
Quindi ho scritto la matrice composta e ritorna avere rango 2 per gli stessi valori di h, pertanto ammette soluzioni per rouche-capelli.
Per verificare il luogo delle soluzioni devo sottrarre la dimensione dello spazio descritto ($RR^3$ quindi dim=3) e il rango?
Se la differenza risulta essere 1 si ha una retta in $RR^3$ passante o meno per l'origine in base poi al valore di h nella matrice B altrimenti se risulta essere 2 ho un piano in $RR^3$?
Risposte
Sì, se il numero di incognite del sistema è $n $ , il rango della matrice dei coefficienti è $r $ e pure il rango della matrice completa è $r $ per Rouchè-Capelli si hanno $oo^(n-r)$ soluzioni e quindi se $n-r =1$ la soluzione consiste in una retta etc.
Se $n=r $ allora la soluzione è un punto che ha dimensione $0$.
N.B. Nella seconda equazione hai messo il coefficiente $(h-1)$ ma hai dimenticato di mettere $z $ .
Se $n=r $ allora la soluzione è un punto che ha dimensione $0$.
N.B. Nella seconda equazione hai messo il coefficiente $(h-1)$ ma hai dimenticato di mettere $z $ .
Grazie mille!
Ho queste matrici
$A=((1,k+1,1),(-4,1,k),(k+4,-1,0))$ $B=((0),(0),(k+1))$
devo stabilire per quali valori di k le soluzioni stanno su una retta di $RR^3$
Quindi per essere verificato devo fare in modo che $3-rnk(A)=2$
Confermatemi se ho sbagliato qualcosa. Ho trovato che ammette soluzioni per $K=0,-1,-4$ (queste soluzioni sono sicuro)
quindi le butto dentro alla matrice una per una e vedo quale le verifica.
$A(k=0)$ trovo tre colonne linearmente indipendenti, quindi il rango è 3
$A(k=-1)$ trovo le ultime due colonne linearmente indipendenti, quindi il rango è 2
$A(k=-4)$ trovo che la prima e la terza colonna sono uguali, quindi il rango è 1
Pertanto il luogo delle soluzioni in cui si ha una retta è solo per $k=-1$
$A=((1,k+1,1),(-4,1,k),(k+4,-1,0))$ $B=((0),(0),(k+1))$
devo stabilire per quali valori di k le soluzioni stanno su una retta di $RR^3$
Quindi per essere verificato devo fare in modo che $3-rnk(A)=2$
Confermatemi se ho sbagliato qualcosa. Ho trovato che ammette soluzioni per $K=0,-1,-4$ (queste soluzioni sono sicuro)
quindi le butto dentro alla matrice una per una e vedo quale le verifica.
$A(k=0)$ trovo tre colonne linearmente indipendenti, quindi il rango è 3
$A(k=-1)$ trovo le ultime due colonne linearmente indipendenti, quindi il rango è 2
$A(k=-4)$ trovo che la prima e la terza colonna sono uguali, quindi il rango è 1
Pertanto il luogo delle soluzioni in cui si ha una retta è solo per $k=-1$
Dopo ti rispondo .
Il sistema in forma matriciale è $A bar x =bar b $
Calcolo $Det A = k^3+5k^2+4k=k(k^2+5k+4 )$
$Det A =0 $ per $k =0, -4,-1 $
Se $ k ne (0,-4,-1) $ allora $r(A)=3 ; r(A|b)=3 $ , il sistema ha $oo^(n-r) =oo^(3-3)= 1 $ soluzione e quindi è un punto di cui si possono determinare le coordinate ( in funzione di $k$) risolvendo il sistema con Cramer -lungo e noioso.
Vediamo che succede nei vari casi :
*$k=0$ ;$A(0)=((1,1,1),(-4,1,0),(4,-1,0))$ ; $r A(0)=2 $ mentre $r(A(0)|b) = 3 $ Quindi il sistema non ha soluzioni.
*$k=-4 $ ;$ A(-4)=((1,-3,1),(-4,1,-4),(0,-1,0))$ ;$r(A(-4)=2 $ mentre $r(A(-4)|b) =3 $ quindi nessuna soluzione.
*$k=-1 $ ; $ A(-1)=((1,0,1),(-4,1,-1),(3,-1,0)) $,$r(A(-1))=2 $ ed anche $r(A(-1)|b)=2 $ quindi il sistema $oo^(3-2)=oo^1 $ soluzioni, quindi una retta.
Cerco le soluzioni del sistema .
$x +z =0 $
$ -4x+y-z=0$
$ 3x -y =0 $
da cui $ z=-x ; y=3x $ e quindi il vettore soluzione , di dimensione 1 è dato da $(x,3x,-x)$.
La retta ha equazioni parametriche
$x=t ; y=3t;z=-t $
ed equazioni cartesiane
$y-3x=0 $
$z+x=0 $
Non ho capito le tue considerazioni dul rango della matrice $A $ nei casi in cui $k$ assume i valori $0,-4,-1 $ il rango è sempre 2.
Calcolo $Det A = k^3+5k^2+4k=k(k^2+5k+4 )$
$Det A =0 $ per $k =0, -4,-1 $
Se $ k ne (0,-4,-1) $ allora $r(A)=3 ; r(A|b)=3 $ , il sistema ha $oo^(n-r) =oo^(3-3)= 1 $ soluzione e quindi è un punto di cui si possono determinare le coordinate ( in funzione di $k$) risolvendo il sistema con Cramer -lungo e noioso.
Vediamo che succede nei vari casi :
*$k=0$ ;$A(0)=((1,1,1),(-4,1,0),(4,-1,0))$ ; $r A(0)=2 $ mentre $r(A(0)|b) = 3 $ Quindi il sistema non ha soluzioni.
*$k=-4 $ ;$ A(-4)=((1,-3,1),(-4,1,-4),(0,-1,0))$ ;$r(A(-4)=2 $ mentre $r(A(-4)|b) =3 $ quindi nessuna soluzione.
*$k=-1 $ ; $ A(-1)=((1,0,1),(-4,1,-1),(3,-1,0)) $,$r(A(-1))=2 $ ed anche $r(A(-1)|b)=2 $ quindi il sistema $oo^(3-2)=oo^1 $ soluzioni, quindi una retta.
Cerco le soluzioni del sistema .
$x +z =0 $
$ -4x+y-z=0$
$ 3x -y =0 $
da cui $ z=-x ; y=3x $ e quindi il vettore soluzione , di dimensione 1 è dato da $(x,3x,-x)$.
La retta ha equazioni parametriche
$x=t ; y=3t;z=-t $
ed equazioni cartesiane
$y-3x=0 $
$z+x=0 $
Non ho capito le tue considerazioni dul rango della matrice $A $ nei casi in cui $k$ assume i valori $0,-4,-1 $ il rango è sempre 2.
Devo determinare solo il luogo, non le equazioni della retta. Però non sono d'accordo sul rango...
La prima matrice ha tutt'e tre le colonne linearmente indipendenti, inoltre calcolando il determinante viene 0, quindi non dovrebbe avere rango 3?
Sulle altre due sono d'accordo.
Io per trovare il luogo in $RR^3$ uso la formula $dim(RR^3)-rnk(A)=dim(V)$ dove $V$ è il sottospazio delle soluzioni.
Per essere una retta deve avere dimensione 1. Quindi mi dico che $rnk(A)=2$
La prima matrice ha tutt'e tre le colonne linearmente indipendenti, inoltre calcolando il determinante viene 0, quindi non dovrebbe avere rango 3?
Sulle altre due sono d'accordo.
Io per trovare il luogo in $RR^3$ uso la formula $dim(RR^3)-rnk(A)=dim(V)$ dove $V$ è il sottospazio delle soluzioni.
Per essere una retta deve avere dimensione 1. Quindi mi dico che $rnk(A)=2$
Se come prima matrice ti riferisci alla $A(0) $ il suo determinante vale 0 e quindi le righe e le colonne non possono essere lin indip ( sulle righe si vede subito in quanto la terza è la seconda moltiplicata per $-1 $ )
Perché il luogo delle soluzioni sia una retta giusto dire che $ rank (A) = 3-1 =2 $ purchè le soluzioni del sistema esistano e nel caso $k= 0 , k=-4 $ il sistema non ha soluzioni.
Perché il luogo delle soluzioni sia una retta giusto dire che $ rank (A) = 3-1 =2 $ purchè le soluzioni del sistema esistano e nel caso $k= 0 , k=-4 $ il sistema non ha soluzioni.
Ah ecco! Mi scordo sempre di guardare anche con la matrice completa in questi casi.
Sempre ste sviste del cavolo! Grazie!
Sempre ste sviste del cavolo! Grazie!
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