Unicita' vettore nullo e opposto di un vettore

[davide940]

Devo dimostrare che dato lo spazio vettoriale $V$ il vettore nullo e' unico
Supponiamo che esistano $Ov1$, $Ov2$ e $ v in V$ tali che:
$ v + Ov1 = v $ e $ v + Ov2 = v$ $ AA v inV$
Allora
$ Ov1 = v - v = v + Ov2 - v = (v-v) + Ov2 = Ov2 $
quindi e' unico.
Ora dimostrare che l'opposto di un vettore e' unico
Supponiamo che esistano $ -v1$ e $-v2$ appartenenti a $V$ tali che:
$ v +(-v1) = Ov $ e $v +(-v2) = Ov$ $ AA v in V$
allora
$ -v1 = Ov - v = v+(-v2)-v = -v2$
quindi e' unico.
Vorrei sapere se le due dimostrazioni sono corrette.

[garnak.olegovitc1]

@davide940,

"davide940":Devo dimostrare che dato lo spazio vettoriale $V$ il vettore nullo e' unico
Supponiamo che esistano $Ov1$, $Ov2$ e $ v in V$ tali che:
$ v + Ov1 = v $ e $ v + Ov2 = v$ $ AA v inV$
Allora
$ Ov1 = v - v = v + Ov2 - v = (v-v) + Ov2 = Ov2 $
quindi e' unico.
Ora dimostrare che l'opposto di un vettore e' unico
Supponiamo che esistano $ -v1$ e $-v2$ appartenenti a $V$ tali che:
$ v +(-v1) = Ov $ e $v +(-v2) = Ov$ $ AA v in V$
allora
$ -v1 = Ov - v = v+(-v2)-v = -v2$
quindi e' unico.
Vorrei sapere se le due dimostrazioni sono corrette.

sono vere, in un monoide (come \((V, +_V) \)) l'unicità dell'elemento neutro è semplice, e in un gruppo (come \((V, +_V)\)) l'unicità dell'elemento simmetrico è facile da dimostrare!!

in ambedue i casi si procede, non per forza, per assurdo... :

supponiamo per assurdo che esiste un altro \(V \ni 0'_V \) oltre ad \( 0_V \), con \( 0'_V \neq 0_V \), se ambedue sono neutri allora vale per ambedue la quantificazione:$$\forall x \in V (x+_V 0_V=0_V+_Vx=x) \text{ , }\forall x \in V (x+_V 0'_V=0'_V+_Vx=x)$$ per ipotesi \( 0_V \in V \) e per ipotesi d'assurdo \( 0'_V \in V \), allora siccome \( 0_V \) è elemento neutro ergo, per la precedente quantificazione, avremo \( 0'_V +_V 0_V=0_V+_V 0'_V=0'_V \), e siccome anche \( 0'_V \) è elemento neutro e \(0_V \in V \) per la precedente quantificazione avremo che \( 0_V=0'_V +_V 0_V=0_V+_V 0'_V=0'_V \) otteniamo così un assurdo perchè avevamo posto \( 0_V \neq 0'_V \)

supponiamo dato un \( a \in V \) per assurdo che esiste un \( a''\) elemento simmetrico di \( a \) oltre ad \( a' \), con \( a' \neq a'' \), dato che \( a' \) e \(a'' \) sono elementi simmetrici allora avremo $$a'+_V a=a+_V a'=0_V \text{ , } a'' +a=a +a''=0_V$$ avremo anche $$a'=a'+_V0_V=a'+_V(a''+_Va)=(a'+_Va)+_Va''=0_V+_Va''=a'' \to a'=a''$$ otteniamo così un assurdo perchè avevamo detto \( a'\neq a'' \)..

Saluti