Rappresentazione con numeri complessi di vettori e prodotto
Buonasera
Sto studiando le operazioni tra vettori e mi sono sorti alcuni dubbi che vorrei chiarire.
Quali sono le ragioni per cui il prodotto vettoriale da origine ad un vettore che ha una direzione ortogonale al piano su cui giacciono i vettori di partenza. Per quanto riguarda il modulo, questo è l'area del parallelogramma creato dei 2 vettori e questo può avere qualche senso. Ma per quanto riguarda la direzione?
(Per quanto ne so io!) i vettori possono essere rappresentati dai numeri complessi. Per quale motivo allora il prodotto tra vettori non ha niente a che vedere né con il prodotto vettoriale né con quello scalare? Che senso ha che la somma sia definita allo stesso modo ma il prodotto no?
Ora che ho scoperto che ci sono 3 tipi di operazione prodotto (vettoriale, scalare e quello che si fa tra numeri complessi) vorrei sapere che effetto ha il terzo (quello normale diciamo) sui vettori.
Sto studiando le operazioni tra vettori e mi sono sorti alcuni dubbi che vorrei chiarire.
Quali sono le ragioni per cui il prodotto vettoriale da origine ad un vettore che ha una direzione ortogonale al piano su cui giacciono i vettori di partenza. Per quanto riguarda il modulo, questo è l'area del parallelogramma creato dei 2 vettori e questo può avere qualche senso. Ma per quanto riguarda la direzione?
(Per quanto ne so io!) i vettori possono essere rappresentati dai numeri complessi. Per quale motivo allora il prodotto tra vettori non ha niente a che vedere né con il prodotto vettoriale né con quello scalare? Che senso ha che la somma sia definita allo stesso modo ma il prodotto no?
Ora che ho scoperto che ci sono 3 tipi di operazione prodotto (vettoriale, scalare e quello che si fa tra numeri complessi) vorrei sapere che effetto ha il terzo (quello normale diciamo) sui vettori.
Risposte
Non tutti i vettori sono numeri complessi, anche se i numeri complessi formano certamente uno spazio vettoriale di dimensione due sui numeri reali. In effetti solo i vettori di dimensione due possono essere pensati come numeri complessi.. Per cui il prodotto definito sui numeri complessi può essere usato solo in questo particolare caso.
Il prodotto vettoriale è anch'esso limitato ad una sola dimensione di spazio vettoriale. È infatti possibile solo tra vettori di dimensione tre. Trovare una direzione perpendicolare a due date è una operazione molto utile e utilizzata.. È per questo che è definito in questo modo. Tra le due direzioni viene scelta quella che mantiene l'orientamento degli assi. Se insomma ruoti il tuo sistema di riferimento in modo che i vettori su cui operi il prodotto vettoriale sono contenuti nell'immagine del piano XY, il risultato è allineato con l'immagine dell'asse Z.
Non c'è alcuna relazione tra il prodotto vettoriale in dimensione 3 e quello complesso. In effetti non esistono generalizzazioni del prodotto complesso in dimensione 3 (esistono in dimensione 4 ma è più limitato) e le generalizzazioni del prodotto vettoriale in dimensione 2 non sono uguali al prodotto complesso.
Il prodotto scalare è definito in tutte le dimensioni invece.
Il prodotto vettoriale è anch'esso limitato ad una sola dimensione di spazio vettoriale. È infatti possibile solo tra vettori di dimensione tre. Trovare una direzione perpendicolare a due date è una operazione molto utile e utilizzata.. È per questo che è definito in questo modo. Tra le due direzioni viene scelta quella che mantiene l'orientamento degli assi. Se insomma ruoti il tuo sistema di riferimento in modo che i vettori su cui operi il prodotto vettoriale sono contenuti nell'immagine del piano XY, il risultato è allineato con l'immagine dell'asse Z.
Non c'è alcuna relazione tra il prodotto vettoriale in dimensione 3 e quello complesso. In effetti non esistono generalizzazioni del prodotto complesso in dimensione 3 (esistono in dimensione 4 ma è più limitato) e le generalizzazioni del prodotto vettoriale in dimensione 2 non sono uguali al prodotto complesso.
Il prodotto scalare è definito in tutte le dimensioni invece.
Ma a cosa ti riferisci quanto dici "molto utile ed utilizzata"
L'unica applicazione di vettori che conosco per adesso sono le grandezze cinematiche e le forze in fisica. Non riesco a capire perché facendo il prodotto vettoriale tra due forze dovrei essere interessato ad ottenere un vettore che abbia direzione perpendicolare. Voglio dire, se si parla di prodotto io mi immagino una moltiplicazione quindi l'intenzione è quella di moltiplicare due forze per averne una di modulo che sia in qualche modo la moltiplicazione dei moduli dei vettori utilizzati come operandi del prodotto vettoriale. Però il risultato avrebbe senso se fosse complanare alle forze di partenza. Per dirla in modo intuitivo non riesco a capire perché dovrei voler moltiplicare due forze applicate ad una punto materiale/pallina su un piano/tavolo ed ottenere un risultato che mi faccia schizzare la pallina verso l'alto.
L'unica applicazione di vettori che conosco per adesso sono le grandezze cinematiche e le forze in fisica. Non riesco a capire perché facendo il prodotto vettoriale tra due forze dovrei essere interessato ad ottenere un vettore che abbia direzione perpendicolare. Voglio dire, se si parla di prodotto io mi immagino una moltiplicazione quindi l'intenzione è quella di moltiplicare due forze per averne una di modulo che sia in qualche modo la moltiplicazione dei moduli dei vettori utilizzati come operandi del prodotto vettoriale. Però il risultato avrebbe senso se fosse complanare alle forze di partenza. Per dirla in modo intuitivo non riesco a capire perché dovrei voler moltiplicare due forze applicate ad una punto materiale/pallina su un piano/tavolo ed ottenere un risultato che mi faccia schizzare la pallina verso l'alto.
"biowep":
Non riesco a capire perché facendo il prodotto vettoriale tra due forze dovrei essere interessato ad ottenere un vettore che abbia direzione perpendicolare. Voglio dire, se si parla di prodotto io mi immagino una moltiplicazione quindi l'intenzione è quella di moltiplicare due forze per averne una di modulo che sia in qualche modo la moltiplicazione dei moduli dei vettori utilizzati come operandi del prodotto vettoriale.
Ma se ti dicono "mela", tu pensi sempre ad un unico tipo di mela?
Il fatto che tu non abbia ancora visto abbastanza da comprenderne l'utilità non vuol dire che sia inutile. Solo che hai ancora tanto da imparare. E con il tempo imparerai ad accettare che esistono tantissimi prodotti diversi. Prodotti dai sognificati più disparati.. I vettori stessi sono qualcosa che vanno ben oltre quello che hai visto.
Cosa intendi vanno ben oltre?
Il concetto di vettore non è limitato ai vettori che hai visto finora. Sono un concetto più vasto, in particolare sono "oggetti" che si possono sommare, che puoi moltiplicare per valori scalari (dei reali o complessi o ..) e che rispetto particolari proprietà. Le funzioni reali sono ad esempio dei vettori in un particolare spazio. Puoi infatti sommarle tra di loro, le puoi moltiplicare per un qualche valore reale costante e rispettano tutte le altre proprietà che definiscono un vettore. Ma certamente è difficile immaginarle come delle frecce con una particolare direzione, un verso e un modulo. Eppure, se si restringe un po' questo insieme di funzioni, è anche possibile fare qualcosa di quel tipo. Oppure esistono degli spazi vettoriali (insiemi di vettori definiti nello stesso modo, i.e. gli stessi tipi di oggetti con le stesse operazioni) finiti, in cui gli scalari sono a loro volta insiemi finiti. Può sembrarti strano, ma tutti questi concetti hanno una grande importanza nella nostra società, le funzioni come vettori sono ad esempio alla base dell'analisi dei segnali che ci permette, tra le tante cose, di godere della musica e dei video ovunque e gli spazi vettoriali finiti sono importanti per la criptografia.
Se possiamo trovare utilità da un qualche tipo di operazione, perché escluderla solo perché non ci sembra intuitiva rispetto alle nostre conoscenze precedenti? La matematica ha imparato ad andare oltre il concetto tradizionale di prodotto e l'ha esteso a molte altre situazioni che hanno poco o niente a che fare con i numeri. Un modo alternativo di vedere il prodotto vettoriale, usato da alcune generalizzazioni ma che è comunque formalmente sbagliato in base alla definizione normale, è che ad essere restituito non è il vettore perpendicolare ma una regione del piano in cui sono definiti i vettori di partenza. Il vettore è perpendicolare perché un piano è definito attraverso un vettore perpendicolare nello spazio tridimensionale e ha quel particolare modulo perché è la quantità che ha più senso (l'area del parallelepipedo definito dai due vettori). In effetti il vettore perpendicolare ai due dati non si trasforma come un vettore quando vengono trasformati i vettori di partenza (ma qui si va un po' troppo oltre..).
Se possiamo trovare utilità da un qualche tipo di operazione, perché escluderla solo perché non ci sembra intuitiva rispetto alle nostre conoscenze precedenti? La matematica ha imparato ad andare oltre il concetto tradizionale di prodotto e l'ha esteso a molte altre situazioni che hanno poco o niente a che fare con i numeri. Un modo alternativo di vedere il prodotto vettoriale, usato da alcune generalizzazioni ma che è comunque formalmente sbagliato in base alla definizione normale, è che ad essere restituito non è il vettore perpendicolare ma una regione del piano in cui sono definiti i vettori di partenza. Il vettore è perpendicolare perché un piano è definito attraverso un vettore perpendicolare nello spazio tridimensionale e ha quel particolare modulo perché è la quantità che ha più senso (l'area del parallelepipedo definito dai due vettori). In effetti il vettore perpendicolare ai due dati non si trasforma come un vettore quando vengono trasformati i vettori di partenza (ma qui si va un po' troppo oltre..).
Bella risposta. Grazie.
Non avevo pensato di poter usare il prodotto vettoriale per trovate il piano dei vettori moltiplicati. Anche se formalmente non centra con la definizione.
Non avevo pensato di poter usare il prodotto vettoriale per trovate il piano dei vettori moltiplicati. Anche se formalmente non centra con la definizione.
A parte le interessanti considerazioni di apatriarca, vorrei segnalare che senza il prodotto vettoriale non ci sarebbero né il momento angolare né il momento di una forza, e nemmeno la velocità angolare. Questo renderebbe parecchio più complicata la descrizione dei moti circolari. Già questa mi pare una motivazione sufficiente a introdurre l'operazione di prodotto vettoriale.
@ dissonance:
[ot]
Sul "non ci sarebbero" ho qualche dubbio ontologico...
[/ot]
***
Ad ogni modo vedo che nessuno ha colto il senso del mio post precedente, e me ne dispiaccio.
[ot]
"dissonance":
vorrei segnalare che senza il prodotto vettoriale non ci sarebbero né il momento angolare né il momento di una forza, e nemmeno la velocità angolare.
Sul "non ci sarebbero" ho qualche dubbio ontologico...
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Ad ogni modo vedo che nessuno ha colto il senso del mio post precedente, e me ne dispiaccio.
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