Matrice applicazione in un'altra base
Ho un problema con questo genere di esercizi che non capisco come dovrebbero essere svolti.
Ho un'applicazione $L:\RR^3->\RR^3$ definita nella base canonica di $\RR^3$ dove
$L(e_1)=e_1+e_2$, $L(e_2)=e_2-e_3$, $L(e_3)=e_1+e_3$
Quindi la matrice associata è $A=((1,0,1),(1,1,0),(0,-1,1))$
Mi si chiede di scrivere la matrice B associata alla base $B': u_1=e_1+e_2; u_2=e_2+e_3; u_3=e_1+e_3$
Io me lo immaginavo uguale al precedente, dove $B'={u_1,u_2,u_3}$ e a quel punto sostituire i nuovi elementi della base dentro l'applicazione trovando così B
$L(u_1)=u_1+u_2$, $L(u_2)=u_2-u_3$, $L(u_3)=u_1+u_3$
Però non mi torna il risultato giusto, quindi penso sia da fare diversamente...
Ho un'applicazione $L:\RR^3->\RR^3$ definita nella base canonica di $\RR^3$ dove
$L(e_1)=e_1+e_2$, $L(e_2)=e_2-e_3$, $L(e_3)=e_1+e_3$
Quindi la matrice associata è $A=((1,0,1),(1,1,0),(0,-1,1))$
Mi si chiede di scrivere la matrice B associata alla base $B': u_1=e_1+e_2; u_2=e_2+e_3; u_3=e_1+e_3$
Io me lo immaginavo uguale al precedente, dove $B'={u_1,u_2,u_3}$ e a quel punto sostituire i nuovi elementi della base dentro l'applicazione trovando così B
$L(u_1)=u_1+u_2$, $L(u_2)=u_2-u_3$, $L(u_3)=u_1+u_3$
Però non mi torna il risultato giusto, quindi penso sia da fare diversamente...
Risposte
Come fai a dire $ L(u_1)=u_1+u_2 $ ?
Io direi $ L(u_1)=L(e_1+e_2) $ e per la linearità dell'applicazione $ L(e_1+e_2)=L(e_1)+L(e_2) = e_1 + 2e_2 + e_3 $ e cosi per gli altri. Arrivati a questo punto puoi costruire la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alla base di arrivo $ B' $ oppure rispetto alla base di arrivo $ {e_1,e_2,e_3} $ (non so cosa richiedeva precisamente l'esercizio).
Io direi $ L(u_1)=L(e_1+e_2) $ e per la linearità dell'applicazione $ L(e_1+e_2)=L(e_1)+L(e_2) = e_1 + 2e_2 + e_3 $ e cosi per gli altri. Arrivati a questo punto puoi costruire la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alla base di arrivo $ B' $ oppure rispetto alla base di arrivo $ {e_1,e_2,e_3} $ (non so cosa richiedeva precisamente l'esercizio).
"Meetmat":
Come fai a dire $ L(u_1)=u_1+u_2 $ ?
Io direi $ L(u_1)=L(e_1+e_2) $ e per la linearità dell'applicazione $ L(e_1+e_2)=L(e_1)+L(e_2) = e_1 + 2e_2 + e_3 $ e cosi per gli altri. Arrivati a questo punto puoi costruire la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alla base di arrivo $ B' $ oppure rispetto alla base di arrivo $ {e_1,e_2,e_3} $ (non so cosa richiedeva precisamente l'esercizio).
Viene sbagliato. Quella che hai scritto dovrebbe essere la prima colonna della matrice, no? Dovrebbe essere $((2),(0),(-1))$
"TeM":
Sulla matrice \(A\) che rappresenta \(L\) rispetto alla base canonica \(\underline{E}\) di \(\mathbb{R}^3\) tutto ok. A questo punto, per determinare
la matrice \(B\) che rappresenta \(L\) rispetto ad un'altra base \(\underline{B} := \left( \underline{b}_1, \; \underline{b}_2, \; \underline{b}_3 \right)\) di \(\mathbb{R}^3\) è sufficiente calcolare \(B = \begin{bmatrix} \underline{b}_1^t & \underline{b}_2^t & \underline{b}_3^t \end{bmatrix}^{-1} \cdot A \cdot \begin{bmatrix} \underline{b}_1^t & \underline{b}_2^t & \underline{b}_3^t \end{bmatrix} \). Spero sia abbastanza chiaro.
con t intendi trasposta, no?
Ho provato a fare il conto ma viene un'altra matrice.
Nel mio caso $\barB={((1),(0),(0)),((0),(1),(0)),((0),(0),(1))}$
$C=(\barB^t)^(-1)A\barB^t=[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)][(1,0,1),(1,1,0),(0,-1,1)][(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]=[(1,0,1),(1,1,0),(0,-1,1)]$
Se serve metto i conti intermedi...Ma seriamente devo invertire una matrice e fare sto conto qui per arrivare alla fine? In tutto il capitolo delle applicazioni vettoriali non ho mai visto un esercizio con matrice trasposta, inversa o cose simili. La cosa più complicata è stata quella di trovare l'equazione dell'immagine o del nucleo...
La soluzione mi da come risultato $C=((2,1,1),(0,0,0),(-1,0,1))$
P.s: chiamo la matrice che mi interessa C per evitare di confondere con la base visto che non trovo un modo per cambiargli il carattere. Se qualcuno mi dice che programma usate per scrivere le formule anzichè scriverle a mano non sarebbe male.
Su un altro sito usato il LaTex che era comodissimo (visto che avevo mi avevano dato un programmino online) ma qui non capisco come usarlo xD
"TeM":
[quote="Shika93"]con t intendi trasposta, no?
A conti fatti, ovviamente, esce esattamente la matrice che hai chiamato \(C\). Vedi pure
[/quote]
Quindi se il procedimento è giusto e il risultato anche, è sbagliata la soluzione del mio eserciziario? Sarebbe la prima volta.
@Shika93,
è davvero semplice, senza scomodare chissà cosa.. ti calcoli le coordinate rispetto a \( B \) di \(L(u_1) \), \(L(u_2) \), \(L(u_3) \)... e le metti in colonna in una matrice \( 3 \times 3\) (si tratta di applicare la definizione di matrice associata ad un omomorfismo.. )
Saluti
"Shika93":
Ho un problema con questo genere di esercizi che non capisco come dovrebbero essere svolti.
Ho un'applicazione $L:\RR^3->\RR^3$ definita nella base canonica di $\RR^3$ dove
$L(e_1)=e_1+e_2$, $L(e_2)=e_2-e_3$, $L(e_3)=e_1+e_3$
Quindi la matrice associata è $A=((1,0,1),(1,1,0),(0,-1,1))$
Mi si chiede di scrivere la matrice B associata alla base $B': u_1=e_1+e_2; u_2=e_2+e_3; u_3=e_1+e_3$
Io me lo immaginavo uguale al precedente, dove $B'={u_1,u_2,u_3}$ e a quel punto sostituire i nuovi elementi della base dentro l'applicazione trovando così B
$L(u_1)=u_1+u_2$, $L(u_2)=u_2-u_3$, $L(u_3)=u_1+u_3$
Però non mi torna il risultato giusto, quindi penso sia da fare diversamente...
è davvero semplice, senza scomodare chissà cosa.. ti calcoli le coordinate rispetto a \( B \) di \(L(u_1) \), \(L(u_2) \), \(L(u_3) \)... e le metti in colonna in una matrice \( 3 \times 3\) (si tratta di applicare la definizione di matrice associata ad un omomorfismo.. )
Saluti
Ah avevo capito che fosse giusta la mia matrice. Provo a rifarla allora.
Ho sempre fatto così con le basi canoniche ma non mi torna. Pensavo si potesse fare con qualunque base, ma $L(u_1)=((1),(0),(0))+((0),(1),(0))=((1),(1),(0))$ e torna la prima colonna della matrice A. Pensavo di sbagliare e che dovessi usare le colonne di A come $u_1,u_2,u_3$ ma non torna comunque.
"garnak.olegovitc":
è davvero semplice, senza scomodare chissà cosa.. ti calcoli le coordinate rispetto a \( B \) di \(L(u_1) \), \(L(u_2) \), \(L(u_3) \)... e le metti in colonna in una matrice \( 3 \times 3\) (si tratta di applicare la definizione di matrice associata ad un omomorfismo.. )
Saluti
Ho sempre fatto così con le basi canoniche ma non mi torna. Pensavo si potesse fare con qualunque base, ma $L(u_1)=((1),(0),(0))+((0),(1),(0))=((1),(1),(0))$ e torna la prima colonna della matrice A. Pensavo di sbagliare e che dovessi usare le colonne di A come $u_1,u_2,u_3$ ma non torna comunque.
La matrice associata ad un'applicazione lineare non è sempre uguale qualsiasi base tu scelga in PARTENZA e in ARRIVO. Se scegli come base di partenza e arrivo $ B' $ allora la matrice associata all'applicazione è la matrice le cui colonne sono date dalle componenti dell'immagine dei vettori della base di partenza $ B' $ scritti come combinazione lineare della base di arrivo $ B' $ , per questo motivo usualmente viene scelta come base di partenza e arrivo la base canonica, perchè rende tutto più semplice.
Ad ogni modo procediamo con i calcoli:
$ L(u_1)=L(e_1+e_2)=L(e_1)+L(e_2)=e_1+2e_2-e_3 $
$ L(u_2)=L(e_2+e_3)=L(e_2)+L(e_3)=e_1+e_2 $
$ L(u_3)=L(e_1+e_3)=L(e_1)+L(e_3)=2e_1+e_2+e_3 $
Se la matrice associata all'applicazione lineare fosse associata alla base di partenza $ B' $ e alla base di arrivo canonica avresti la seguente matrice:
$ ( ( 1 , 1 , 2 ),( 2 , 1 , 1 ),( -1 , 0 , 1 ) ) $
Da quello che ho capito però il problema vuole che la base di arrivo sia $ B' $ , quindi cerchiamo di scriverci $ e_1,e_2,e_3$
come combinazione lineare di $ u_1,u_2,u_3 $
$ { ( u_1=e_1+e_2 ),( u_2=e_2+e_3 ),( u_3=e_1+e_3 ):} $ $ -> $ $ { e_1=(u_1-u_2+u_3 )/2, e_2=(u_1+u_2-u_3)/2 ,e_3=(-u_1+u_2+u_3)/2} $
a meno di errori di calcolo
Arrivati qui abbiamo che
$ L(u_1)=e_1+2e_2-e_3=...=u_1+u_2 $
$ L(u_2)=e_1+1_2=...=u_1 $
$ L(u_3)=2e_1+e_2+e_3=...=u_1+u_3 $
Quindi la matrice associata alla base $ B' $ in partenza e in arrivo è:
$ ( ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $ .
Mi scuso anticipatamente per eventuali errori di calcolo.
Ad ogni modo procediamo con i calcoli:
$ L(u_1)=L(e_1+e_2)=L(e_1)+L(e_2)=e_1+2e_2-e_3 $
$ L(u_2)=L(e_2+e_3)=L(e_2)+L(e_3)=e_1+e_2 $
$ L(u_3)=L(e_1+e_3)=L(e_1)+L(e_3)=2e_1+e_2+e_3 $
Se la matrice associata all'applicazione lineare fosse associata alla base di partenza $ B' $ e alla base di arrivo canonica avresti la seguente matrice:
$ ( ( 1 , 1 , 2 ),( 2 , 1 , 1 ),( -1 , 0 , 1 ) ) $
Da quello che ho capito però il problema vuole che la base di arrivo sia $ B' $ , quindi cerchiamo di scriverci $ e_1,e_2,e_3$
come combinazione lineare di $ u_1,u_2,u_3 $
$ { ( u_1=e_1+e_2 ),( u_2=e_2+e_3 ),( u_3=e_1+e_3 ):} $ $ -> $ $ { e_1=(u_1-u_2+u_3 )/2, e_2=(u_1+u_2-u_3)/2 ,e_3=(-u_1+u_2+u_3)/2} $
a meno di errori di calcolo
Arrivati qui abbiamo che
$ L(u_1)=e_1+2e_2-e_3=...=u_1+u_2 $
$ L(u_2)=e_1+1_2=...=u_1 $
$ L(u_3)=2e_1+e_2+e_3=...=u_1+u_3 $
Quindi la matrice associata alla base $ B' $ in partenza e in arrivo è:
$ ( ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $ .
Mi scuso anticipatamente per eventuali errori di calcolo.
@Meetmat,
siccome \([L(u_1)]_{B'}\neq ( 1 , 1 , 1 ) \).. facendo giusti i calcoli viene la seguente matrice $$\mathcal{M}_{B',B'}(L)=\begin{Vmatrix}
2& 1& 1\\
0& 0& 0\\
-1& 0& 1
\end{Vmatrix}$$ la verifica è davvero semplice!!
Saluti
"Meetmat":
La matrice associata ad un'applicazione lineare non è sempre uguale qualsiasi base tu scelga in PARTENZA e in ARRIVO. Se scegli come base di partenza e arrivo $ B' $ allora la matrice associata all'applicazione è la matrice le cui colonne sono date dalle componenti dell'immagine dei vettori della base di partenza $ B' $ scritti come combinazione lineare della base di arrivo $ B' $ , per questo motivo usualmente viene scelta come base di partenza e arrivo la base canonica, perchè rende tutto più semplice.
Ad ogni modo procediamo con i calcoli:
$ L(u_1)=L(e_1+e_2)=L(e_1)+L(e_2)=e_1+2e_2-e_3 $
$ L(u_2)=L(e_2+e_3)=L(e_2)+L(e_3)=e_1+e_2 $
$ L(u_3)=L(e_1+e_3)=L(e_1)+L(e_3)=2e_1+e_2+e_3 $
Se la matrice associata all'applicazione lineare fosse associata alla base di partenza $ B' $ e alla base di arrivo canonica avresti la seguente matrice:
$ ( ( 1 , 1 , 2 ),( 2 , 1 , 1 ),( -1 , 0 , 1 ) ) $
Da quello che ho capito però il problema vuole che la base di arrivo sia $ B' $ , quindi cerchiamo di scriverci $ e_1,e_2,e_3$
come combinazione lineare di $ u_1,u_2,u_3 $
$ { ( u_1=e_1+e_2 ),( u_2=e_2+e_3 ),( u_3=e_1+e_3 ):} $ $ -> $ $ { e_1=(u_1-u_2+u_3 )/2, e_2=(u_1+u_2-u_3)/2 ,e_3=(-u_1+u_2+u_3)/2} $
a meno di errori di calcolo
Arrivati qui abbiamo che
$ L(u_1)=e_1+2e_2-e_3=...=u_1+u_2 $
$ L(u_2)=e_1+1_2=...=u_1 $
$ L(u_3)=2e_1+e_2+e_3=...=u_1+u_3 $
Quindi la matrice associata alla base $ B' $ in partenza e in arrivo è:
$ ( ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $ .
Mi scuso anticipatamente per eventuali errori di calcolo.
siccome \([L(u_1)]_{B'}\neq ( 1 , 1 , 1 ) \).. facendo giusti i calcoli viene la seguente matrice $$\mathcal{M}_{B',B'}(L)=\begin{Vmatrix}
2& 1& 1\\
0& 0& 0\\
-1& 0& 1
\end{Vmatrix}$$ la verifica è davvero semplice!!
Saluti
Ahh adesso ho capito! Ecco perchè negli esercizi prima non ho mai avuto problemi visto che in un modo o nell'altro partivo o arrivavo alla base canonica. In questo caso dovendo fare un cambio di base non potevo usare lo stesso ragionamento.
Adesso ci sono!
Adesso ci sono!
@Shika93,
hallelujah
Saluti
"Shika93":
Ahh adesso ho capito! Ecco perchè negli esercizi prima non ho mai avuto problemi visto che in un modo o nell'altro partivo o arrivavo alla base canonica. In questo caso dovendo fare un cambio di base non potevo usare lo stesso ragionamento.
Adesso ci sono!
hallelujah
Saluti
Si certamente avevo sbagliato il calcolo di $ L(u_1) $ 
Grazie per la correzione garnak.olegovitc
Grazie per la correzione garnak.olegovitc
@Meetmat,
figurati, di nulla!!
Saluti
"Meetmat":
Si certamente avevo sbagliato il calcolo di $ L(u_1) $
Grazie per la correzione garnak.olegovitc
figurati, di nulla!!
Saluti
Grazie a tutti! XD
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