Esercizi Geometria su Riflessioni
Salve a tutti, sono nuovo del forum e spero di scrivere bene la domanda al primo colpo 
Premetto che sto preparando l'esame di Geometria analitica a algebra lineare a Matematica, e ho qualche problema con gli esercizi sulle riflessioni. Ne proporrei due dai quali so levarci poco le gambe:
Esercizio 1
Su $R^3$ si consideri il prodotto scalare indotto dalla matrice $((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, -1) )$ nella base canonica e sia f un endomorfismo indotto da B = $( ( 2/sqrt(3) - 1/3, -1/sqrt(3), -1/sqrt(3) - 2/3 ), ( 1/sqrt(3), sqrt(3)/2, -1/(2*sqrt(3)) ), ( 1/sqrt(3)+2/3, -1/(2*sqrt(3)), -1/(2*sqrt(3)) -4/3 ) ) $
1) Verificare che B e' una isometria
2) Si verifichi che -1 e' autovalore
3) Si esibiscano tre vettori $v_1, v_2, v_3$ tali che $f = \rho _1 o \rho _2 o \rho _3$ dove $\rho _i$ indica la riflessione parallela al vettore $v_i$
Ora, per i punti 1 e 2 non ci sono problemi, basta fare un po' di conti e stare attenti a non sbagliare, e torna tutto, ma per il punto 3 non so da dove partire. Idee?
Esercizio 2
Si considerino in $R^3$ i sottospazi $ H_1={(x,y,z) in R^3 | x-y=0 }$ e $ H_2={(x,y,z) in R^3 | x-z=0 }$. Per i=1,2 sia $\rho _i$ la riflessione ortogonale rispetto al piano $H_i$ e sia $\varphi=\rho _1 o \rho _2$. Si dica se $\varphi$ e' diagonalizzabile e trovarne la forma di Jordan reale.
Per trovare la forma di Jornan non ho problemi, il problema e' stabilire la funzione phi. Come devo fare? Io avevo pensato, ad esempio, che per trovare $\rho _1$ si debba fissare una base di $H_1$ ($v_1$ e $v_2$), poi estenderla a base di $R^3$ (con un vettore ortogonale agli altri due $v_3$) e porre:
$\rho(v_1)=v_1$
$\rho(v_2)=v_2$
$\rho(v_3)=-v_3$
e' giusto? Grazie in anticipo, spero di essere stato chiaro
Premetto che sto preparando l'esame di Geometria analitica a algebra lineare a Matematica, e ho qualche problema con gli esercizi sulle riflessioni. Ne proporrei due dai quali so levarci poco le gambe:
Esercizio 1
Su $R^3$ si consideri il prodotto scalare indotto dalla matrice $((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, -1) )$ nella base canonica e sia f un endomorfismo indotto da B = $( ( 2/sqrt(3) - 1/3, -1/sqrt(3), -1/sqrt(3) - 2/3 ), ( 1/sqrt(3), sqrt(3)/2, -1/(2*sqrt(3)) ), ( 1/sqrt(3)+2/3, -1/(2*sqrt(3)), -1/(2*sqrt(3)) -4/3 ) ) $
1) Verificare che B e' una isometria
2) Si verifichi che -1 e' autovalore
3) Si esibiscano tre vettori $v_1, v_2, v_3$ tali che $f = \rho _1 o \rho _2 o \rho _3$ dove $\rho _i$ indica la riflessione parallela al vettore $v_i$
Ora, per i punti 1 e 2 non ci sono problemi, basta fare un po' di conti e stare attenti a non sbagliare, e torna tutto, ma per il punto 3 non so da dove partire. Idee?
Esercizio 2
Si considerino in $R^3$ i sottospazi $ H_1={(x,y,z) in R^3 | x-y=0 }$ e $ H_2={(x,y,z) in R^3 | x-z=0 }$. Per i=1,2 sia $\rho _i$ la riflessione ortogonale rispetto al piano $H_i$ e sia $\varphi=\rho _1 o \rho _2$. Si dica se $\varphi$ e' diagonalizzabile e trovarne la forma di Jordan reale.
Per trovare la forma di Jornan non ho problemi, il problema e' stabilire la funzione phi. Come devo fare? Io avevo pensato, ad esempio, che per trovare $\rho _1$ si debba fissare una base di $H_1$ ($v_1$ e $v_2$), poi estenderla a base di $R^3$ (con un vettore ortogonale agli altri due $v_3$) e porre:
$\rho(v_1)=v_1$
$\rho(v_2)=v_2$
$\rho(v_3)=-v_3$
e' giusto? Grazie in anticipo, spero di essere stato chiaro
Risposte
Allora, sono riuscito a fare il secondo esercizio, nel modo in cui avevo detto, e mi torna. Ma il primo?? Come faccio a stabilire le tre riflessioni?? Può aiutarmi qualcuno??
Anche io ho avuto problemi col tuo stesso esercizio. Purtroppo i nostri cari professori non mettono nè una dispensa nè una soluzione, ma danno sempre esercizi molto al di fuori dalla portata del materiale di cui disponiamo per esercitarci. Non capiscono proprio che non possiamo andare tutti i giorni per 10 mesi a ricevimento da loro. Come se ce ne fossero pochi, visto che ci sono anche i fisici. Per non parlare di come ti trattano.
Comunque da quel poco che ho capito sull'argomento, secondo me dovresti osservare che B non ha punti fissi oltre all'origine, in quanto è una rotazione intorno ad un asse (generato dall'autovettore relativo a -1). Poichè non ha autovettori relativi a 1, allora $dim(Fix(f))=0$. Da qui hai che devi moltiplicare a sinistra di $f$ un massimo di 3 riflessioni parallele (relative a vettori indip) in modo da ottenere $\rho_{v_3}\cdot\rho_{v_2}\cdot\rho_{v_1}\cdot f=id$.
A quel punto, quando ci sei riuscito è facile, perchè: $f=\rho_{v_1}\cdot\rho_{v_2}\cdot\rho_{v_3}$. Il problema è proprio come ci si arriva a trovare i vettori $v_1,v_2,v_3$. Ci sarà un modo, ma è quello che vorrei sapere anche io! In bocca al lupo.
Comunque da quel poco che ho capito sull'argomento, secondo me dovresti osservare che B non ha punti fissi oltre all'origine, in quanto è una rotazione intorno ad un asse (generato dall'autovettore relativo a -1). Poichè non ha autovettori relativi a 1, allora $dim(Fix(f))=0$. Da qui hai che devi moltiplicare a sinistra di $f$ un massimo di 3 riflessioni parallele (relative a vettori indip) in modo da ottenere $\rho_{v_3}\cdot\rho_{v_2}\cdot\rho_{v_1}\cdot f=id$.
A quel punto, quando ci sei riuscito è facile, perchè: $f=\rho_{v_1}\cdot\rho_{v_2}\cdot\rho_{v_3}$. Il problema è proprio come ci si arriva a trovare i vettori $v_1,v_2,v_3$. Ci sarà un modo, ma è quello che vorrei sapere anche io! In bocca al lupo.
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