Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve.
Ho questo quesito.
Ho un piano:
$x + y - 2 = 0$ e una retta: ${ x = t , y = t, z = 1 - t }$
Si rappresenti una sfera con centro su $r'$ e tangente $\Pi$
Come prima cosa ho pensato che essendo il centro di una sfera:
$C = ( - a/2 , -b/2 , - c/2)$
quindi :
$- a/2 = t $
$-b/2 = t $
$- c/2 = 1 - t$
da cui so che $a = b$ e $c = -2 - a$
da qui non so più come procedere...
so anche che essendo l'equazione di una sfera:
$x^2 + y^2 + z^2 + a x + b y + c z + d = 0$
e se il ...
Buongiorno, domanda abbastanza banale: cosa si intende precisamente per "Sottospazio delle relazioni lineari di una famiglia di vettori"?
Mi è chiaro che se dei vettori sono linearmente dipendenti significa che posso scriverli come combinazione lineare degli altri e tutto il resto. Mi manca proprio il concetto di sottospazio relativo alle loro relazioni lineari
Salve avrei un problema con un esercizio di geometria :
Fissato un riferimento cartesiano di uno spazio euclideo E di dimensione 2, si considerino il punto $P=(-1,-1)$ e la retta r tangente la circonferenza $C: x^2 + y^2 - 2x - 2y =0$ nel punto $(2,2)$.
Vorrei sapere se l'affermazione " la retta per P ortogonale ad r contiene il centro C " è corretta e perchè
Ho iniziato trovando il fascio di rette passante per $(2,2)$ ma per trovare la tangente alla circonferenza cosa ...
Ciao a tutti.
Vorrei sottoporvi questo problema sui luoghi (abbastanza facile tra l'altro).
Secondo me la traccia non è corretta o non lo è la risposta. Qualcuno di voi mi aiuta a capire? Grazie.
Considera i punti $A(-2,)$ e $B(4,0)$. Scrivi l'equazione del luogo dei punti $P$ del piano per i quali il triangolo $APB$ ha perimetro 14.
Risposta $(x-1)^2/16 + y^2/7 =1$
Io ho calcolato le distanze con il teorema di Pitagora e impostato la ...
Salve a tutti. Ho un dubbio riguardo lo svolgimento di un esercizio sulla ricerca di una base ortonormale. Vi scrivo la consegna.
Testo Esercizio
Determinare una base ortonormale ${u_1,u_2,u_3} ∈RR^3$ sapendo che:
$u_1∈W_1=span{(2,1,-2)^T)}$
$u_2 ∈W_2=span{(1,0,0)^T,(0,1,2)^T}$.
Tentativo di svolgimento:
Ho cercato di procedere nel modo più semplice possibile.
1) Ho scritto il vettore $u_1$ e $u_2$ come combinazioni lineari dei vettori delle basi dei rispettivi spazi di appartenenza, mantenendo le ...
Salve ragazzi,
ho da pochi giorni iniziato a studiare algebra e geometria lineare (materia del primo anno di ingegneria industriale) e ho già incontrato qualche problemino. Sui preliminari riguardanti matrici, sistemi lineari, generatori, basi ecc ecc penso ormai di non avere grossi problemi... i problemi inizio a riscontrarli adesso dove mi viene richiesto:
ES.1 Data l'applicazione lineare $f:RR^{2,2}->RR^{2,2}:$
$f((a,b),(c,d))=((3,2),(-1,1))*((1,b),(c,d))=((3a+2c,3b+2d),(-a+c,-b+d))$,
definire $f$ nei modi:
B (mediante le immagini di ...
Salve a tutti, sto facendo esercizi sulla fattorizzazione svd, solo che non mi tornano i calcoli.. vi mostro l'algoritmo che sto usando per calcolare la fattorizzazione:
data una matrice $M = USV^t$, per esempio questa:
$M = ((a,b),(c,d))$
passo 1. Determino gli autovalori e gli autovettori di $M^tM$
passo 2. inserisco le radici quadrate degli autovalori $lambda_1, lambda_2, ... , lambda_n$ sulla diagonale principale di $S$
passo 3. Inserisco gli autovettori di ...
Ciao a tutti,
da alcune dispense fatte dal mio profe mi pare di aver capito questo:
il differenziale di una funzione a più variabili sarebbe il gradiente, ossia la matrice formata dalle derivate parziali, e il significato geometrico è che rappresenta il verso di massima crescita della funzione nel punto p
Se all'esame mi chiedesse cos'è il differenziale, è corretto rispondere così?
Grazie
Ciao a tutti ! Ho dei dubbi su questo esercizio , non so se l'ho svolto correttamente.
Dato il punto $ O ' = (1,2) $ determinare le equazioni di una rotazione antioraria di un angolo $ \pi/4 $
attorno a $ O ' $
Prima ho effettuato una traslazione porta $ O ' $ nell'origine $ O = (0,0) $ degli assi.
$ { ( x= X +1 ),( y = Y + 2 ):} $
Poi ho effettuato una rotazione di un angolo pari a $ \pi/4 $
$ { ( X= xcos (\pi/4) - ysin(\pi/4) ),( Y = xsin (\pi/4) + y cos (\pi/4) ):} $
Ho riportato il punto $ O ' $ nella ...
Ragazzi come posso ricondurmi in questo a caso a uno spazio numerico , non mi sono mai trovato con questa formulazione
In $R_5$ si consideri lo spazio dei polinomi di grado al più 5 e il sotto spazio :
$ U = { f(x) = a_0 + a_1 x^1 + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + a_5 x^5 ; a_0+a_1=a_2+a_3=a_4+a_5=0 }$
Grazie a todos
Salve avrei un problema con un esercizio di algebra lineare:
Individuare tra le seguenti matrici l'unica che rappresenta un endomorfismo iniettivo $f: RR^3 \to RR^4$
A= $ ( (2,1,1) , (2,3,3) , (0,-1,1) , (-2,-1,-1) ) $
B= $ ( (3,2,1) , (2,1,1) , (1,0,1) , (-2,-1,-1) ) $
C= $ ( (1,0,1) , (1,3,4) , (1,2,3) , (-1,-1,-2) ) $
D= $ ( (2,3,1) , (4,4,0) , (0,-3,-3) , (-2,0,2) ) $
Partiamo dall'inizio l'endomorfismo non dovrebbe essere un'applicazione lineare di due sottospazi uguali??
Ciao a tutti. Ancora io.
Spero in un aiuto su un punto di un problema di Geometria Analitica che riguarda l'iperbole.
Il problema è il seguente.
Risolvi i seguenti quesiti:
a. Scrivi l'equazione dell'iperbole $\gamma$ avente come asintoti gli assi cartesiani e tangente alla retta $r: y = -2x + 4$; determina i vertici e i fuochi di tale iperbole e rappresentala graficamente.
b. Scrivi l'equazione della circonferenza avente come diametro il segmento che congiunge i fuochi di ...
Raga ho una domanda abbastanza semplice. Mi trovo un esercizio che mi chiede di determinare le dimensioni del nucleo e dell'immagine di f a partire da \(\displaystyle F(x1,x2,x3)= ( x1+x2, x1+2x2+x3, x2+x3).\)Per determinare il nucleo mi basta mettere a sistema e viene fuori che \(\displaystyle x1=x3=-1 \). Quindi essendo \(\displaystyle x2 \) variabile indipendente e \(\displaystyle x1=x3 \) il nucleo avrà sicuramente dimensione \(\displaystyle =1. \) Quello che mi chiedo ora è, come faccio a ...
Ciao a tutti.
Chiedo un ennesimo aiuto per questo problema di Geometria Analitica.
Traccia il grafico dell'iperbole $\gamma$ di equazione $y=(1+x)/(1-x)$ dopo averne determinato il centro $C$ e gli asintoti.
a. Scrivi l'equazione della retta tangente all'iperbole nel suo punto di intersezione con l'asse x.
b. Scrivi l'equazione dell'iperbole equilatera $\delta$ avente per asintoti gli assi di simmetria di $\gamma$ e passante per il punto di coordinate ...
Non sapevo se postare questa domande qui o nella sezione Fondamenti, ad ogni modo, ho letto qualcosa sulla classificazione delle geometrie e volevo esporvi quanto capito, sperando di correggere eventuali imprecisioni/concetti sbagliati, e premettendo che non ho studiato nel dettaglio nessuno degli argomenti (eccetto la geometria sintetica e analitica delle superiori).
Dunque, una geometria dovrebbe essere un insieme di assiomi (coerenti), e di tutte le proposizioni deducibili da essi, che ...
Buongiorno,
l'altro giorno assistendo ad un esame orale di geometria, la professoressa ha posto la seguente domanda ad un ragazzo" esistono forme bilineari non definite positive? se sei,sai farmi un esempio?".
Per farvela breve, il ragazzo non ha risposto e la professoressa ha pensato bene di cambiare domanda evitando una possibile risposta.
Quali potrebbero essere secondo voi forme bilineari non definite positive?
Lo spazio di Minkowski potrebbe essere una forma di questo tipo?
Vi ringrazio ...
Allora ragazzi. Non so se mi sono perso qualche passaggio fondamentale della geometria analitica ma penso che il motivo principale del perchè non riesco a capire la proprietà di una dimensione è che ancora non sono riuscito ad entrare nell'ottica della materia e mi serve qualcuno che abbia tatto per aiutarmi a capire magari con qualche esempio o semplicemente spiegando il tutto a parole povere perchè sto avendo veramente difficoltà.
Devo dimostrare che preso \(\displaystyle V \) uno spazio ...
Siano $U,W$ due sottospazi di uno spazio vettoriale $V$, allora il piu' piccolo sottospazio di $V$ contenente $ U uu W$ e' $ U + W$ cioe':
1)$U+W <= V$
2)$U uu W sub U+W$
Voglio dimostrare 2.
Se esiste un sottospazio $ W_1 <= V$ tale che $U uu W sub W_1$ allora $U + W sub W_1$ (perche' $W_1$ e' un sottospazio), quindi:
Sia $v in U uu W$, sia $v in U$ allora:
$ v = v + 0_v$ quindi ...
Studiare la dimensione dello spazio al variare dal parametro k :
$H=[x^3 + 2x^2 + 1 ; kx^2 + x ; x^3 + x^2 - x +1 ]$
ragazzi quando scrivo ad esempio:
$ x^3 + 2x^2 + 1 = ( 1, 2 , 0 , 1 ) $ devo mettere in ordine sempre decrescente dal punto di vista del grado i coefficienti ? mettendo in ordine crescente mi trovo parametri diversi... Grazie a tutti
Buongiorno, vi chiedo un parere sullo svolgimento del seguente esercizio:
Sia A una matrice 4x4 e \(\displaystyle X=\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z\\
t
\end{pmatrix} \) un generico vettore di \(\displaystyle \mathbb{R}^{4} \). Supponendo di sapere che gli autovalori di A sono 5 e -2, e che l'autospazio \(\displaystyle V_{5} \) ha equazione \(\displaystyle x+y+z=x-y+z+t=z-t=0 \), mentre l'autospazio \(\displaystyle V_{-2} \) ha equazione \(\displaystyle x+2y=0 \), si determini il polinomio ...
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