Assegnazione e studio di applicazioni lineari
Salve ragazzi,
ho da pochi giorni iniziato a studiare algebra e geometria lineare (materia del primo anno di ingegneria industriale) e ho già incontrato qualche problemino. Sui preliminari riguardanti matrici, sistemi lineari, generatori, basi ecc ecc penso ormai di non avere grossi problemi... i problemi inizio a riscontrarli adesso dove mi viene richiesto:
ES.1 Data l'applicazione lineare $f:RR^{2,2}->RR^{2,2}:$
$f((a,b),(c,d))=((3,2),(-1,1))*((1,b),(c,d))=((3a+2c,3b+2d),(-a+c,-b+d))$,
definire $f$ nei modi:
B (mediante le immagini di una base del dominio)
C (mediante una matrice associata all'applicazione lineare rispetto a due basi assegnate, una del dominio e una del condominio).
ES.2 Data l'applicazione lineare $f.RR_{[x]_3}->RR^3:$
$f(p(x))=(p(1),p(0),p(2)),$
dove $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ e quindi:
$p(1)=a+b+c+d$
$p(0)=d$
$p(2)=8a+4b+2c+d$
allora l'applicazione lineare $f$è così definita:
$f(ax^3+bx^2+cx+d)=(a+b+c+d,d,8a+4b+2c+d)$
definire $f$ nei modi:
(come sopra)
Ps. ho già provato esercizi di questo tipo ma con applicazioni lineari del tipo $f:RR^3->RR^3$ o $f:RR^{2,2}->RR^3$, queste applicazioni invece mi hanno fatto entrare nel pallone! sicuramente sarà qualche sciocchezza ma non avendo ancora dimestichezza con l'argomento mi sono proprio bloccato. chi mi da una mano?
ho da pochi giorni iniziato a studiare algebra e geometria lineare (materia del primo anno di ingegneria industriale) e ho già incontrato qualche problemino. Sui preliminari riguardanti matrici, sistemi lineari, generatori, basi ecc ecc penso ormai di non avere grossi problemi... i problemi inizio a riscontrarli adesso dove mi viene richiesto:
ES.1 Data l'applicazione lineare $f:RR^{2,2}->RR^{2,2}:$
$f((a,b),(c,d))=((3,2),(-1,1))*((1,b),(c,d))=((3a+2c,3b+2d),(-a+c,-b+d))$,
definire $f$ nei modi:
B (mediante le immagini di una base del dominio)
C (mediante una matrice associata all'applicazione lineare rispetto a due basi assegnate, una del dominio e una del condominio).
ES.2 Data l'applicazione lineare $f.RR_{[x]_3}->RR^3:$
$f(p(x))=(p(1),p(0),p(2)),$
dove $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ e quindi:
$p(1)=a+b+c+d$
$p(0)=d$
$p(2)=8a+4b+2c+d$
allora l'applicazione lineare $f$è così definita:
$f(ax^3+bx^2+cx+d)=(a+b+c+d,d,8a+4b+2c+d)$
definire $f$ nei modi:
(come sopra)
Ps. ho già provato esercizi di questo tipo ma con applicazioni lineari del tipo $f:RR^3->RR^3$ o $f:RR^{2,2}->RR^3$, queste applicazioni invece mi hanno fatto entrare nel pallone! sicuramente sarà qualche sciocchezza ma non avendo ancora dimestichezza con l'argomento mi sono proprio bloccato. chi mi da una mano?
Risposte
I modi B e C in realtà poi sono molto simili, in cosa trovi problemi?
grazie innanzitutto per la risposta.
Comunque riscontro problemi nella risoluzione! mi spiego meglio:
nel caso in sui ho un'applicazione lineare $f:RR^2->RR^3$ con annessa definizione, procedo fissando una base di $RR^3$ e una per $RR^2$ (la base canonica risulta di facile applicazione) e successivamente mi trovo le immagini delle basi che mi individuano lo spazio $RR^2$. (HO RISOLTO IL PUNTO B CREDO).
A questo punto mi calcolo le immagini che individuano lo spazio $RR^3$ e cercare le componenti di queste immagini rispetto alla base. Ottenuti i valori $x,y,x,...,n$ li metto in colonna in modo da ottenere la matrice cercata (PUNTO C).
Credo di aver svolto bene... questi casi. Quello che adesso mi frena, sono i casi differenti di altre applicazioni come:
$f:RR^{2,2}->RR^{2,2}$ o $f:RR_{[x]_3}->RR^3$ o $f:RR_{[x]_3}->RR_{[x]3}$ ecc...
più che altro penso sia un mio blocco mentale per non aver mai affrontato que'argomento!
Se non chiedo molto e non è un problema, vedere lo svolgimento penso mi aiuti...
Comunque riscontro problemi nella risoluzione! mi spiego meglio:
nel caso in sui ho un'applicazione lineare $f:RR^2->RR^3$ con annessa definizione, procedo fissando una base di $RR^3$ e una per $RR^2$ (la base canonica risulta di facile applicazione) e successivamente mi trovo le immagini delle basi che mi individuano lo spazio $RR^2$. (HO RISOLTO IL PUNTO B CREDO).
A questo punto mi calcolo le immagini che individuano lo spazio $RR^3$ e cercare le componenti di queste immagini rispetto alla base. Ottenuti i valori $x,y,x,...,n$ li metto in colonna in modo da ottenere la matrice cercata (PUNTO C).
Credo di aver svolto bene... questi casi. Quello che adesso mi frena, sono i casi differenti di altre applicazioni come:
$f:RR^{2,2}->RR^{2,2}$ o $f:RR_{[x]_3}->RR^3$ o $f:RR_{[x]_3}->RR_{[x]3}$ ecc...
più che altro penso sia un mio blocco mentale per non aver mai affrontato que'argomento!
Se non chiedo molto e non è un problema, vedere lo svolgimento penso mi aiuti...
Quanto dici è abbastanza corretto, non capisco dopo:
Facciamo un esempio: (userò il primo problema che hai sottoposto)
Usando la base canonica, scriviamo l'immagine di ciascuno dei vettori di base (che chiameremo $e_1,e_2,e_3,e_4$):
$ f(e_1)=((3,0),(-1,0)) $
$ f(e_2)=((0,3),(0,-1)) $
$ f(e_3)=((2,0),(1,0)) $
$ f(e_4)=((0,2),(0,1)) $
Ora, introduciamo un concetto un po' più astratto. Lo spazio $RR^(2,2)$ è isomorfo allo spazio $RR^4$. Questo vuol dire che una matrice $((a,b),(c,d))$ è identificabile con il vettore $(a,b,c,d)$.
Per la costruzione della matrice di cui al punto $C$:
per capire bene questo, dovresti scrivere una matrice con le dimensioni dello spazio di partenza per le colonne e spazio di arrivo per le righe. In corrispondenza della prima colonna scriveremo i coefficienti (in ordine) dell'immagine del primo vettore di base rispetto alla base dello spazio di arrivo. Stessa cosa per la seconda colonna e avanti così.
La matrice dell'applicazione lineare di cui spora, risulterebbe essere:
$ ( ( 3 , 0 , 2 , 0 ),( 0 , 3 , 0 , 2 ),( -1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , -1 , 0 , 1 ) ) $
"lucalaspina":
(HO RISOLTO IL PUNTO B CREDO).
Facciamo un esempio: (userò il primo problema che hai sottoposto)
"lucalaspina":
ES.1 Data l'applicazione lineare $ f:RR^{2,2}->RR^{2,2}: $
$ f((a,b),(c,d))=((3,2),(-1,1))*((a,b),(c,d))=((3a+2c,3b+2d),(-a+c,-b+d)) $
Usando la base canonica, scriviamo l'immagine di ciascuno dei vettori di base (che chiameremo $e_1,e_2,e_3,e_4$):
$ f(e_1)=((3,0),(-1,0)) $
$ f(e_2)=((0,3),(0,-1)) $
$ f(e_3)=((2,0),(1,0)) $
$ f(e_4)=((0,2),(0,1)) $
Ora, introduciamo un concetto un po' più astratto. Lo spazio $RR^(2,2)$ è isomorfo allo spazio $RR^4$. Questo vuol dire che una matrice $((a,b),(c,d))$ è identificabile con il vettore $(a,b,c,d)$.
Per la costruzione della matrice di cui al punto $C$:
per capire bene questo, dovresti scrivere una matrice con le dimensioni dello spazio di partenza per le colonne e spazio di arrivo per le righe. In corrispondenza della prima colonna scriveremo i coefficienti (in ordine) dell'immagine del primo vettore di base rispetto alla base dello spazio di arrivo. Stessa cosa per la seconda colonna e avanti così.
La matrice dell'applicazione lineare di cui spora, risulterebbe essere:
$ ( ( 3 , 0 , 2 , 0 ),( 0 , 3 , 0 , 2 ),( -1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , -1 , 0 , 1 ) ) $
"Frink":
Lo spazio $RR^(2,2)$ è isomorfo allo spazio $RR^4$. Questo vuol dire che una matrice $((a,b),(c,d))$ è identificabile con il vettore $(a,b,c,d)$.
Ecco cosa mi sfuggiva!
Mi mancava proprio questo passaggio, per questo non riuscivo a individuare la soluzione!
Ma nel caso di un'applicazione lineare del tipo $f:RR_{[x]_3}->RR^3$? mi faresti un'esempio con questo caso?
Grazie mille comunque per l'aiuto
scusa ancora, se ho capito bene quanto mi hai spiegato:
ES.1:
$f:RR^2->RR^3:f(x,y)=(2x-y,x+y,2y)$
BASE DI $RR^2=(1,0),(0,1)$
IMMAGINE DELLA BASE DI $RR^2:$
$f(1,0)=(2,1,0)$
$f(0,1)=(-1,1,2)$
MATRICE ASSOCIATA:
$((2,-1),(1,1),(0,2))$
ES.2:
$f:RR^{2,2}->RR^3:f((a,b),(c,d))=(3a-2b+d,a-b,2a-b+c+d)$
BASE DI $RR^{2,2}=[((1,0),(0,0))((0,1),(0,0))((0,0),(1,0))((0,0),(0,1))]$
IMMAGINE DELLA BASE DI $RR^{2,2}:$
$f(e_1)=(3,1,2)$
$f(e_2)=(-2,-1,-1)$
$f(e_3)=(0,0,1)$
$f(e_4)=(1,0,1)$
MATRICE ASSOCIATA:
$((3,-2,0,1),(1,-1,0,0),(2,-1,1,1))$
ES.3:
$f:RR[x]_3->RR^3:f(p(1),p(0),p(2))$
sappiamo che: $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ e che quindi:
$p(1)=a+b+c+d$
$p(0)=d$
$p(2)=8a+4b+2c+d$
quindi: $f(ax^3+bx^2+cx+d)=(a+b+c+d,d,8a,4b,2c,d)$
IMMAGINE DELLA BASE DI $RR[x]_3:$
$f(1,0,0)=(1,0,8)$
$f(0,1,0)=(1,0,4)$
$f(0,0,1)=(1,0,2)$
MATRICE ASSOCIATA:
$((1,1,1),(0,0,0),(8,4,2))$
su quest'ultimo avrei qualche dubbio!
grazie per la pazienza
ES.1:
$f:RR^2->RR^3:f(x,y)=(2x-y,x+y,2y)$
BASE DI $RR^2=(1,0),(0,1)$
IMMAGINE DELLA BASE DI $RR^2:$
$f(1,0)=(2,1,0)$
$f(0,1)=(-1,1,2)$
MATRICE ASSOCIATA:
$((2,-1),(1,1),(0,2))$
ES.2:
$f:RR^{2,2}->RR^3:f((a,b),(c,d))=(3a-2b+d,a-b,2a-b+c+d)$
BASE DI $RR^{2,2}=[((1,0),(0,0))((0,1),(0,0))((0,0),(1,0))((0,0),(0,1))]$
IMMAGINE DELLA BASE DI $RR^{2,2}:$
$f(e_1)=(3,1,2)$
$f(e_2)=(-2,-1,-1)$
$f(e_3)=(0,0,1)$
$f(e_4)=(1,0,1)$
MATRICE ASSOCIATA:
$((3,-2,0,1),(1,-1,0,0),(2,-1,1,1))$
ES.3:
$f:RR[x]_3->RR^3:f(p(1),p(0),p(2))$
sappiamo che: $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ e che quindi:
$p(1)=a+b+c+d$
$p(0)=d$
$p(2)=8a+4b+2c+d$
quindi: $f(ax^3+bx^2+cx+d)=(a+b+c+d,d,8a,4b,2c,d)$
IMMAGINE DELLA BASE DI $RR[x]_3:$
$f(1,0,0)=(1,0,8)$
$f(0,1,0)=(1,0,4)$
$f(0,0,1)=(1,0,2)$
MATRICE ASSOCIATA:
$((1,1,1),(0,0,0),(8,4,2))$
su quest'ultimo avrei qualche dubbio!
grazie per la pazienza
Prima un precisazione: non basta fissare una base dello spazio di partenza, bisogna farlo anche per quello di arrivo. Tu (inconsapevolmente?) hai usato la base standard, che di solito è la scelta migliore, ma andrebbe comunque scritto.
L'unico errore è nell'ultimo esercizio. Hai scritto bene che un polinomio si può scrivere come $ax^3+bx^2+cx+d$, quindi hai 4 parametri. (Hint: lo spazio $RR[x]_3$ è isomorfo a un certo $RR^n$... quanto varrà $n$?)
L'unico errore è nell'ultimo esercizio. Hai scritto bene che un polinomio si può scrivere come $ax^3+bx^2+cx+d$, quindi hai 4 parametri. (Hint: lo spazio $RR[x]_3$ è isomorfo a un certo $RR^n$... quanto varrà $n$?)
"Frink":
L'unico errore è nell'ultimo esercizio. Hai scritto bene che un polinomio si può scrivere come $ax^3+bx^2+cx+d$, quindi hai 4 parametri. (Hint: lo spazio $RR[x]_3$ è isomorfo a un certo $RR^n$... quanto varrà $n$?)
eee.. immaginavo
l'ho condiviso qui da voi volontariamente per capire se fosse corretto. penso comunque, che $n$ varrà 4?!?!
Esatto. Da qui in poi è in discesa 
Unica precisazione: è abitudine indicare nell'anello dei polinomi a coefficienti in $RR$ i termini da quello col grado più basso a quelli col grado più alto (es. $a+bx+cx^2+dx^3$). L'utilità la si riscontra quando si tratta con polinomi di grado infinito, ma è buona norma utilizzarla ovunque!
Unica precisazione: è abitudine indicare nell'anello dei polinomi a coefficienti in $RR$ i termini da quello col grado più basso a quelli col grado più alto (es. $a+bx+cx^2+dx^3$). L'utilità la si riscontra quando si tratta con polinomi di grado infinito, ma è buona norma utilizzarla ovunque!
ti ringrazio moltissimo per la pazienza e l'aiuto offerto 
per il momento procedo bene con il mio studio ma non sarà di certo una sorpresa se tornerò qui a chiedere il vostro aiuto per qualche altro chiarimento. grazie ancora e buon fine settimana
per il momento procedo bene con il mio studio ma non sarà di certo una sorpresa se tornerò qui a chiedere il vostro aiuto per qualche altro chiarimento. grazie ancora e buon fine settimana
"Frink":
Prima un precisazione: non basta fissare una base dello spazio di partenza, bisogna farlo anche per quello di arrivo. Tu (inconsapevolmente?) hai usato la base standard, che di solito è la scelta migliore, ma andrebbe comunque scritto.
dimentica di chiederti una cosa a proposito di quanto detto sopra da te. sono consapevole del fatto che bisogna fissare una base per lo spazio di arrivo ma l'ho volontariamente omessa perché, utilizzando le basi canoniche per lo spazio di partenza e arrivo, mi sono accorto che i vettori che vado a mettere in colonna per formare la matrice restano sempre le immagini delle basi dello spazio di partenza. a tal proposito, leggevo sul libro: "...assegnamo a piacere due basi..anche quelle canoniche se preferite.."; ma se non avessi scelto le basi canoniche, potevo scegliere dei vettori con numeri buttati a piacere? non mi è molto chiaro il concetto "..a piacere.."
ES. "il libro scrive:"
Data l'applicazione $f:RR^2->RR^3$ definita da:
$f(x,y)=(2x-y,x+y,2y)$
Assegnamo a piacere due basi, $\epsilon=(1,2),(-1,1)$ di $RR^2$ e $\delta=(1,1,0),(0,1,-1),(1,2,0)$ di $RR^3$
...
mi domando se è possibile utilizzare qualunque vettore, tipo:
$\epsilon=(0,1),(3,-1)$ di $RR^2$ e $\delta=(2,0,1),(-2,3,2),(-1,3,2)$ di $RR^3$
scusa ancora per le mie domande... forse un po' sciocche!
A piacere significa esattamente quello che hai inteso, puoi scegliere due basi qualsiasi. Sembra (ed è) molto semplice utilizzare la base standard, ma in alcuni casi, per semplificare l'espressione dell'applicazione e della sua matrice, si usa scegliere basi più opportune. In casi come questi comunque si è soliti scegliere la base standard, così i coefficienti della combinazione lineare dei vettori di base corrispondono.
Tranquillo, nessuna domanda è mai sciocca!
Tranquillo, nessuna domanda è mai sciocca!
salve, ho ancora qualche dubbio su quest'argomento...
ES.1
$f:RR[x]_3->RR^3$ definito da: $f(p(x))=(p(1),p(0),p(2))$
l'ho svolto nel seguente modo:
$p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ quindi:
$p(1)=a+b+c+d$
$p(0)=d$
$p(2)=8a+4b+2c+d$
l'applicazione diventa quindi:
$f(ax^3+bx^2+cx+d)=(a+b+c+d,d,8a+4b+2c+d)$
base di $RR[x]_3, RR^3$:
$\epsilon_1=(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$ di $RR[x]_3$
$\epsilon_2=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ di $RR^3$
immagini delle basi del dominio $\epsilon_1$:
$f(1,0,0,0)=(1,0,8)$
$f(0,1,0,0)=(1,0,4)$
$f(0,0,1,0)=(1,0,2)$
$f(0,0,0,1)=(1,1,1)$
matrice associata alla funzione rispetto alle immagini del dominio $\epsilon_1$ e del condominio $epsilon_2$:
$f(1,0,0,0)=(1,0,8)=(1,0,0)x+(0,1,0)y+(0,0,1)z=(1,0,8)$
$f(0,1,0,0)=(1,0,4)=(1,0,0)x+(0,1,0)y+(0,0,1)z=(1,0,4)$
$f(0,0,1,0)=(1,0,2)=(1,0,0)x+(0,1,0)y+(0,0,1)z=(1,0,2)$
$f(0,0,0,1)=(1,1,1)=(1,0,0)x+(0,1,0)y+(0,0,1)z=(1,1,1)$
$((1,1,1,1),(0,0,0,1),(8,4,2,1))$
...e questo penso di averlo risolto bene anche perché l'utente @frink mi ha dato delle ottime dritte...
ES.2
$f:RR[x]_3->RR[x]_3$ definito da: $f(p(x))=p(x)+p'(x)$
l'ho svolto nel seguente modo:
$p(x)=d+cx+bx^2+ax^3$ e $p'(x)=3ax^2+2bx+c$ quindi l'applicazione è così definita:
$f(ax^3+bx^2+cx+d)=ax^3+(3a+b)x^2+(2b+c)x+c+d$
base di $RR[x]_3$:
$\epsilon=(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$ di $RR[x]_3$
... QUI MI SONO BLOCCATO! mi date una mano a completarlo?
" ps. ho dimenticato di mettere in pratica il consiglio dell'utente @Frink ma ormai avevo scritto il post e sistemarlo sarebbe stato troppo complicato "
ES.1
$f:RR[x]_3->RR^3$ definito da: $f(p(x))=(p(1),p(0),p(2))$
l'ho svolto nel seguente modo:
$p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ quindi:
$p(1)=a+b+c+d$
$p(0)=d$
$p(2)=8a+4b+2c+d$
l'applicazione diventa quindi:
$f(ax^3+bx^2+cx+d)=(a+b+c+d,d,8a+4b+2c+d)$
base di $RR[x]_3, RR^3$:
$\epsilon_1=(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$ di $RR[x]_3$
$\epsilon_2=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ di $RR^3$
immagini delle basi del dominio $\epsilon_1$:
$f(1,0,0,0)=(1,0,8)$
$f(0,1,0,0)=(1,0,4)$
$f(0,0,1,0)=(1,0,2)$
$f(0,0,0,1)=(1,1,1)$
matrice associata alla funzione rispetto alle immagini del dominio $\epsilon_1$ e del condominio $epsilon_2$:
$f(1,0,0,0)=(1,0,8)=(1,0,0)x+(0,1,0)y+(0,0,1)z=(1,0,8)$
$f(0,1,0,0)=(1,0,4)=(1,0,0)x+(0,1,0)y+(0,0,1)z=(1,0,4)$
$f(0,0,1,0)=(1,0,2)=(1,0,0)x+(0,1,0)y+(0,0,1)z=(1,0,2)$
$f(0,0,0,1)=(1,1,1)=(1,0,0)x+(0,1,0)y+(0,0,1)z=(1,1,1)$
$((1,1,1,1),(0,0,0,1),(8,4,2,1))$
...e questo penso di averlo risolto bene anche perché l'utente @frink mi ha dato delle ottime dritte...
ES.2
$f:RR[x]_3->RR[x]_3$ definito da: $f(p(x))=p(x)+p'(x)$
l'ho svolto nel seguente modo:
$p(x)=d+cx+bx^2+ax^3$ e $p'(x)=3ax^2+2bx+c$ quindi l'applicazione è così definita:
$f(ax^3+bx^2+cx+d)=ax^3+(3a+b)x^2+(2b+c)x+c+d$
base di $RR[x]_3$:
$\epsilon=(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$ di $RR[x]_3$
... QUI MI SONO BLOCCATO! mi date una mano a completarlo?
" ps. ho dimenticato di mettere in pratica il consiglio dell'utente @Frink ma ormai avevo scritto il post e sistemarlo sarebbe stato troppo complicato
"
Bene il primo!
Per quanto riguarda il secondo:
fatte le dovute considerazioni con l'isomorfismo che lega $RR[x]_3$ a $RR^4$, possiamo dire che un polinomio qualsiasi è rappresentato da $(a,b,c,d)$, e il polinomio $p'(x)$ è rappresentato da $(0,3a,2b,c)$.
L'immagine del primo vettore di base, che ha $a=1$ e $b,c,d=0$ è semplice da ricavare:
$f((1,0,0,0))=(1,0,0,0)+(0,3,0,0)=(1,3,0,0)$, in cui il vettore $(1,0,0,0)$ rappresenta $p(x)$ e il vettore $(0,3,0,0)$ rappresenta $p'(x)$.
Prova a continuare tu...
Per quanto riguarda il secondo:
fatte le dovute considerazioni con l'isomorfismo che lega $RR[x]_3$ a $RR^4$, possiamo dire che un polinomio qualsiasi è rappresentato da $(a,b,c,d)$, e il polinomio $p'(x)$ è rappresentato da $(0,3a,2b,c)$.
L'immagine del primo vettore di base, che ha $a=1$ e $b,c,d=0$ è semplice da ricavare:
$f((1,0,0,0))=(1,0,0,0)+(0,3,0,0)=(1,3,0,0)$, in cui il vettore $(1,0,0,0)$ rappresenta $p(x)$ e il vettore $(0,3,0,0)$ rappresenta $p'(x)$.
Prova a continuare tu...
"Frink":
Bene il primo!
Per quanto riguarda il secondo:
fatte le dovute considerazioni con l'isomorfismo che lega $RR[x]_3$ a $RR^4$, possiamo dire che un polinomio qualsiasi è rappresentato da $(a,b,c,d)$, e il polinomio $p'(x)$ è rappresentato da $(0,3a,2b,c)$.
L'immagine del primo vettore di base, che ha $a=1$ e $b,c,d=0$ è semplice da ricavare:
$f((1,0,0,0))=(1,0,0,0)+(0,3,0,0)=(1,3,0,0)$, in cui il vettore $(1,0,0,0)$ rappresenta $p(x)$ e il vettore $(0,3,0,0)$ rappresenta $p'(x)$.
Prova a continuare tu...
Scusami ma non riesco a seguire il ragionamento fino in fondo!
Se ho capito bene: consideri ad esempio $p(x)=p(1)$ per ottenere una base qualsiasi di un polinomio e di conseguenza ricaviamo pure $p'(x)$. Da qui otteniamo che $p(x)=(a,b,c,d)$ mentre $p'(x)=(0,3a,2b,c)$. Se quanto intuito è corretto, allora sarebbe anche giusto se considerassi $p(x)=p(2)$ e ottenere come basi $p(x)=(8a,4b,2c,d)$ e $p(x)=(0,12a,4b,c)$ ?!?!
altra cosa che mi è poco chiara:
un polinomio generico $ax^3+bx^2+cx+d$ posso considerarlo come $ax+by+cz+dt$ e quindi da qui la spiegazione che mi permette di trovare le coordinate del vettore?!?!
insomma, è giusto considerare $a,b,c,d,..$ coefficienti e $x^5,x^4,x^3,..$ le varie incognite?!?
grazie ancora una volta per la pazienza
Il discorso che fai su $p(1),p(2)...$ non sussiste: il lavoro che facciamo vale per qualunque valore di $x$. Semplicemente, la base di $RR[x]_3$ è composta da ${x^3,x^2,x,1}$. Vedi subito che i coefficienti sono proprio quegli $ a,b,c,d$ di cui si parlava, e i calcoli sono quelli che ho svolto sopra
grazie ancora una volta @frink. i tuoi chiarimenti sono stati preziosissimi!
ma stavo pensando, perché non vieni in sicilia per una vacanza? ti offro vitto e alloggio in cambio di prestazioni algebriche!
ahahaha...
comunque, scherzi a parte, grazie ancora
buona giornata
ps. ma se avrò bisogno di qualche altro chiarimento anche su qualche altro argomento di algebra, anziché creare nuovi topic, posso permettermi di contattarti in privato?
ma stavo pensando, perché non vieni in sicilia per una vacanza? ti offro vitto e alloggio in cambio di prestazioni algebriche!
ahahaha... comunque, scherzi a parte, grazie ancora
buona giornata
ps. ma se avrò bisogno di qualche altro chiarimento anche su qualche altro argomento di algebra, anziché creare nuovi topic, posso permettermi di contattarti in privato?
Certo che puoi, mi fa piacere! Diciamo che, se scrivi qui, potrebbe capitare che qualcuno col tuo stesso dubbio in seguito trovi utili i nostri ragionamenti... Fai come ritieni! (Se mandi in pvt lo vedo di sicuro, qui magari mi sfugge...)
Buona giornata a te!
Buona giornata a te!
Buongiorno ,
Ma volendo fare l'esercizio inverso?
Cioè, se ho un'applicazione lineare assegnata mediante immagini di vettori di base del dominio, come faccio a trovarmi l'equazione e la matrice associata al sistema? Ho provato a svolgere un'esempio aiutandomi con il libro ma molte cose mi risultano poco chiare.
ESEMPIO
Data l'applicazione lineare $f:RR^3->RR^2$ così definita:
$f(1,2,1)=(-1,1)$
$f(-1,0,2)=(3,-2)$
$f(0,2,-1)=(0,1)$
Abbiamo già la base $\epsilon=(1,2,1),(-1,0,2),(0,2,-1)$
Adesso calcolo l'immagine del generico elemento $(x,y,z)inRR^3$ determinando le componenti di $(x,y,z)$ rispetto a $\epsilon$, cioè:
$(x,y,z)=a(1,2,1)+b(-1,0,2)+c(0,2,-1)$
(PERCHE' SI AGGIUNGONO LE VARIABILI $(a,b,c)$?)
$=>{(a-b=x),(2a+2c=y),(a+2b-c=z):}$$=>{(a=(4x+y+2x)/8),(b=(-4x+y+2z)/8),(c=(-4x+3y-2z)/8):}$
a questo punto sostituisco i valori trovati di $a,b,c$ nell'equazione sopra:
$(x,y,z)=(4x+y+2x)/8(1,2,1)+(-4x+y+2z)/8(-1,0,2)+(-4x+3y-2z)/8(0,2,-1)$
(E FINO A QUESTO PUNTO HO CAPITO)
ed essendo $f$ lineare:
$f(x,y,z)=(4x+y+2x)/8f(1,2,1)+(-4x+y+2z)/8f(-1,0,2)+(-4x+3y-2z)/8f(0,2,-1)=(4x+y+2x)/8(-1,1)+(-4x+y+2z)/8(3,-2)+(-4x+3y-2z)/8(0,1)=((-8x+y+2z)/4,(4x+y-2z)/4)$
(HO INTUITO IL PASSAGGIO MA NON CAPISCO IL RISULTATO DA DOVE ESCE FUORI)
POI?!?... non so come continuare!
,Ma volendo fare l'esercizio inverso?
Cioè, se ho un'applicazione lineare assegnata mediante immagini di vettori di base del dominio, come faccio a trovarmi l'equazione e la matrice associata al sistema? Ho provato a svolgere un'esempio aiutandomi con il libro ma molte cose mi risultano poco chiare.
ESEMPIO
Data l'applicazione lineare $f:RR^3->RR^2$ così definita:
$f(1,2,1)=(-1,1)$
$f(-1,0,2)=(3,-2)$
$f(0,2,-1)=(0,1)$
Abbiamo già la base $\epsilon=(1,2,1),(-1,0,2),(0,2,-1)$
Adesso calcolo l'immagine del generico elemento $(x,y,z)inRR^3$ determinando le componenti di $(x,y,z)$ rispetto a $\epsilon$, cioè:
$(x,y,z)=a(1,2,1)+b(-1,0,2)+c(0,2,-1)$
(PERCHE' SI AGGIUNGONO LE VARIABILI $(a,b,c)$?)
$=>{(a-b=x),(2a+2c=y),(a+2b-c=z):}$$=>{(a=(4x+y+2x)/8),(b=(-4x+y+2z)/8),(c=(-4x+3y-2z)/8):}$
a questo punto sostituisco i valori trovati di $a,b,c$ nell'equazione sopra:
$(x,y,z)=(4x+y+2x)/8(1,2,1)+(-4x+y+2z)/8(-1,0,2)+(-4x+3y-2z)/8(0,2,-1)$
(E FINO A QUESTO PUNTO HO CAPITO)
ed essendo $f$ lineare:
$f(x,y,z)=(4x+y+2x)/8f(1,2,1)+(-4x+y+2z)/8f(-1,0,2)+(-4x+3y-2z)/8f(0,2,-1)=(4x+y+2x)/8(-1,1)+(-4x+y+2z)/8(3,-2)+(-4x+3y-2z)/8(0,1)=((-8x+y+2z)/4,(4x+y-2z)/4)$
(HO INTUITO IL PASSAGGIO MA NON CAPISCO IL RISULTATO DA DOVE ESCE FUORI)
POI?!?... non so come continuare!
Allora:
la matrice associata alla tua funzione la puoi scrivere anche in funzione della base $epsilon$ e dovresti ottenere
$((-1,3,0),(1,-2,1))$ chiaramente per lo spazio di arrivo ho usato la base standard.
Se poi vuoi passare in base standard anche per lo spazio di partenza, son certo che conosci le matrici di cambiamento di base, puoi applicarne una qui e ti ritrovi con la matrice da $RR^3$ in $RR^2$ con le basi canoniche.
Quello che fa qua, in modo piuttosto laborioso, è trovare l'espressione di un qualunque elemento dell'immagine. Lo fa prendendo un elemento generico del dominio e scrivendolo come combinazione lineare dei tre vettori di base $epsilon$ (ecco da dove saltano fuori $a,b,c$: sono i coefficienti della combinazione lineare). Una volta trovata l'espressione del generico vettore, applica su di esso la funzione, e essendo $f$ lineare la può applicare su ciascun vettore di base separatamente. Portando avanti i calcoli, ottiene quell'abominio che è l'espressione di un qualsiasi elemento di $Im(f)$.
Più semplice a mio parere sarebbe stato trovare i vettori generatori dell'immagine, sebbene non si sarebbe pervenuti a questo esatto risultato (piuttosto inutile in verità, considerato che l'immagine è tutto lo spazio $RR^2$)
la matrice associata alla tua funzione la puoi scrivere anche in funzione della base $epsilon$ e dovresti ottenere
$((-1,3,0),(1,-2,1))$ chiaramente per lo spazio di arrivo ho usato la base standard.
Se poi vuoi passare in base standard anche per lo spazio di partenza, son certo che conosci le matrici di cambiamento di base, puoi applicarne una qui e ti ritrovi con la matrice da $RR^3$ in $RR^2$ con le basi canoniche.
Quello che fa qua, in modo piuttosto laborioso, è trovare l'espressione di un qualunque elemento dell'immagine. Lo fa prendendo un elemento generico del dominio e scrivendolo come combinazione lineare dei tre vettori di base $epsilon$ (ecco da dove saltano fuori $a,b,c$: sono i coefficienti della combinazione lineare). Una volta trovata l'espressione del generico vettore, applica su di esso la funzione, e essendo $f$ lineare la può applicare su ciascun vettore di base separatamente. Portando avanti i calcoli, ottiene quell'abominio che è l'espressione di un qualsiasi elemento di $Im(f)$.
Più semplice a mio parere sarebbe stato trovare i vettori generatori dell'immagine, sebbene non si sarebbe pervenuti a questo esatto risultato (piuttosto inutile in verità, considerato che l'immagine è tutto lo spazio $RR^2$)
Ho avuto un'illuminazione Ho risolto il problema posto! (dammi conferma se ho lavorato bene)
...SEGUITO DELL'ESERCIZIO PRECEDENTE...
Trovati i valori di $a,b,c$, li sostituisco all'equazione iniziale $(x,y,z)=a(1,2,1)+b(-1,0,2)+c(0,2,-1)$ ottenendo:
$(x,y,z)=(4x+y+2x)/8(1,2,1)+(-4x+y+2z)/8(-1,0,2)+(-4x+3y-2z)/8(0,2,-1)$
a questo punto, essendo $f$ lineare: (dall'applicazione lineare assegnata...)
$f(x,y,z)=(4x+y+2z)/8f(1,2,1)+(-4x+y+2z)/8f(-1,0,2)+(-4x+3y-2z)/8f(0,2,-1)=(4x+y+2z)/8f(-1,1)+(-4x+y+2z)/8f(3,-2)+(-4x+3y-2z)/8f(0,1)=((-4x-y-2z)/8+(-12x+3y+6z)/8+0,(4x+y+2z)/8+(8x-2y-4z)/8+(-4x+3y-2z)/8)=((-16x+2y+4z)/8,(8x+2y-4z)/8)$ semplificando: $((-8x+y+2z)/4,(4x+y-2z)/4)$
abbiamo quindi ottenuto l'equazione lineare omogenea richiesta: $f(x,y,z)=((-8x+y+2z)/4,(4x+y-2z)/4)$
A questo punto, per trovare la matrice associata, fissiamo le basi $\epsilon_1,\epsilon_2$ di $RR^3$ e $RR^2$ (canoniche) e procediamo come segue:
immagini dei vettori di base $\epsilon_1$:
$f(1,0,0)=(-2,1)$
$f(0,1,0)=(1/4,1/4)$
$f(0,0,1)=(1/2,-1/2)$
componenti delle immagini rispetto alla base $\epsilon_2$
$f(1,0,0)=(-2,1)=(1,0)x+(0,1)y=(-2,1)$
$f(0,1,0)=(1/4,1/4)=(1,0)x+(0,1)y=(1/4,1/4)$
$f(0,0,1)=(1/2,-1/2)=(1,0)x+(0,1)y=(1/2,-1/2)$
matrice associata:
$M^(\epsilon_1,\epsilon_2)=((-2,1/4,1/2),(1,1/4,-1/2))$
Ho risolto il problema posto! (dammi conferma se ho lavorato bene)...SEGUITO DELL'ESERCIZIO PRECEDENTE...
Trovati i valori di $a,b,c$, li sostituisco all'equazione iniziale $(x,y,z)=a(1,2,1)+b(-1,0,2)+c(0,2,-1)$ ottenendo:
$(x,y,z)=(4x+y+2x)/8(1,2,1)+(-4x+y+2z)/8(-1,0,2)+(-4x+3y-2z)/8(0,2,-1)$
a questo punto, essendo $f$ lineare: (dall'applicazione lineare assegnata...)
$f(x,y,z)=(4x+y+2z)/8f(1,2,1)+(-4x+y+2z)/8f(-1,0,2)+(-4x+3y-2z)/8f(0,2,-1)=(4x+y+2z)/8f(-1,1)+(-4x+y+2z)/8f(3,-2)+(-4x+3y-2z)/8f(0,1)=((-4x-y-2z)/8+(-12x+3y+6z)/8+0,(4x+y+2z)/8+(8x-2y-4z)/8+(-4x+3y-2z)/8)=((-16x+2y+4z)/8,(8x+2y-4z)/8)$ semplificando: $((-8x+y+2z)/4,(4x+y-2z)/4)$
abbiamo quindi ottenuto l'equazione lineare omogenea richiesta: $f(x,y,z)=((-8x+y+2z)/4,(4x+y-2z)/4)$
A questo punto, per trovare la matrice associata, fissiamo le basi $\epsilon_1,\epsilon_2$ di $RR^3$ e $RR^2$ (canoniche) e procediamo come segue:
immagini dei vettori di base $\epsilon_1$:
$f(1,0,0)=(-2,1)$
$f(0,1,0)=(1/4,1/4)$
$f(0,0,1)=(1/2,-1/2)$
componenti delle immagini rispetto alla base $\epsilon_2$
$f(1,0,0)=(-2,1)=(1,0)x+(0,1)y=(-2,1)$
$f(0,1,0)=(1/4,1/4)=(1,0)x+(0,1)y=(1/4,1/4)$
$f(0,0,1)=(1/2,-1/2)=(1,0)x+(0,1)y=(1/2,-1/2)$
matrice associata:
$M^(\epsilon_1,\epsilon_2)=((-2,1/4,1/2),(1,1/4,-1/2))$
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