Dubbio differenziale gradiente

[Anakin21]

Ciao a tutti,
da alcune dispense fatte dal mio profe mi pare di aver capito questo:

il differenziale di una funzione a più variabili sarebbe il gradiente, ossia la matrice formata dalle derivate parziali, e il significato geometrico è che rappresenta il verso di massima crescita della funzione nel punto p

Se all'esame mi chiedesse cos'è il differenziale, è corretto rispondere così?

Grazie

[21zuclo]

io in Analisi Matematica 2 ho incontrato il differenziale

allora per convenzione pongo $ \ul(x)\in RR^n $ un vettore..

il differenziale è $ df(\ul(x))=\sum_(i=1)^(n)D_(i)f(\ul(x))dx_(i) $

cioè la quantità $ df(\ul(x)) $ si dice differenziale della funzione f nel punto $\ul(x)$, essa è uguale alla somma dei prodotti delle derivate parziali per gli incrementi infinitesimi delle rispettive variabili..

Oggi diciamo che si evita l'introduzione di incrementi infinitesimi, e si interpreta il $df(\ul(x))$ come una relazione tra funzionali lineari su $RR^n$

[Anakin21]

Ti ringrazio per la risposta
Ho capito ciò che hai detto, io però in queste dispense ho una definizione un pò diversa ( seconda riga dove c'è (1))

Non so se dice la stessa cosa che hai detto tu in altre parole, oppure è proprio una definizione diversa..
Lì sembra che dica che il differenziale è praticamente il gradiente

[21zuclo]

ti dico la definizione di Gradiente che mi è stata data dal mio prof di Analisi 2

Sia $ f: RR^n\to RR $ una funzione, supponiamo che nel punto $ \ul(x)=((x_1),(...),(x_n))\in RR^n $
La derivata direzionale di f, in $\ul(x)$, rispetto al versore fondamentale $ \ul(e_n) $ è detta
derivata parziale di f, in $ul(x)$ rispetto ad $x_(j)$
Se tutte le derivate parziali $ (\partial f)/(\partialx_j)(\ul(x)) $ con $ 1\leq j\le n $ esistono, il vettore

$ (\nabla f)(\ul(x))= \sum_(j=1)^(n) (\partial f)/(\partial x_j)(\ul(x))\ul(e_j)=((\partialf)/(\partialx_1)(x_1,...,x_n),...,(\partialf)/(\partialx_n)(x_1,...,x_n))^T $

è chiamato gradiente di f.

nel caso in cui.. abbiamo $ f: \Omega\sub RR^n\to RR^m $

se tutte le $ f_j $ ammettono tutte le derivate parziali
$ (\partial f_i)/(\partial x_j)(\ul(x)) $ con $ 1\leq j\le n, 1\leq i\leq m $

allora è conveniente raccogliere queste $ n m $ derivate parziali nella matrice jacobiana
$ Jac_(f) (\ul(x))=((\nabla f_1 \ul(x)),(...),(\nabla f_m (\ul x))) $

le cui righe sono i gradienti delle $m$ componenti di f

[Epimenide93]

"Anakin21":il differenziale di una funzione a più variabili sarebbe il gradiente, ossia la matrice formata dalle derivate parziali

Assolutamente no. Il differenziale di una funzione è una funzione lineare, il gradiente è un vettore. C'è un legame tra le due cose (se parliamo di funzioni \(\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\)) ma non sono la stessa cosa.

Il differenziale (in un punto \(x\)) di una funzione \(f\) è la funzione lineare che meglio approssima (in un senso ben preciso) l'incremento della funzione \(f\) intorno a \(x\). Il differenziale è definibile anche in casi più generali, in cui non è definibile il gradiente (ma è definibile una sua generalizzazione, la matrice jacobiana). Il gradiente è definito solo per funzioni \(D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) ed è un vettore che ha diverse caratteristiche, tra cui quella di avere il verso di massima crescita della funzione nel punto in cui viene valutato e quella di essere il vettore delle coordinate (rispetto alla base indotta dalla base canonica) del differenziale della funzione visto come elemento del duale di \(\mathbb{R^n}\) (ovviamente parlo del differenziale nel punto in cui viene valutato il gradiente). Ma queste relazioni si dimostrano, il legame in questione è dato dal teorema del differenziale totale (e sussiste nelle ipotesi di detto teorema), non sono la stessa cosa, né sono concetti legati a priori.