Immagine di F

[akos070191]

Raga ho una domanda abbastanza semplice. Mi trovo un esercizio che mi chiede di determinare le dimensioni del nucleo e dell'immagine di f a partire da \(\displaystyle F(x1,x2,x3)= ( x1+x2, x1+2x2+x3, x2+x3).\)Per determinare il nucleo mi basta mettere a sistema e viene fuori che \(\displaystyle x1=x3=-1 \). Quindi essendo \(\displaystyle x2 \) variabile indipendente e \(\displaystyle x1=x3 \) il nucleo avrà sicuramente dimensione \(\displaystyle =1. \) Quello che mi chiedo ora è, come faccio a dire che l'immagine di \(\displaystyle F(v) \) è di \(\displaystyle Dim=2 \). Sò che la \(\displaystyle Dim=2 \) perchè la dimensione del nucleo sommata a quella dell'immagine deve restituirmi l'immagine del dominio che in questo caso è \(\displaystyle R^3 \). Qualcuno saprebbe aiutarmi?

[garnak.olegovitc1]

"akos070191":Quello che mi chiedo ora è, come faccio a dire che l'immagine di \(\displaystyle F(v) \) è di \(\displaystyle Dim=2 \). Sò che la \(\displaystyle Dim=2 \) perchè la dimensione del nucleo sommata a quella dell'immagine deve restituirmi l'immagine del dominio che in questo caso è \(\displaystyle R^3 \). Qualcuno saprebbe aiutarmi?

se vuoi esplicitare gli elementi di \(\operatorname{im}(f)\), tu hai un omomorfismo \(f \in \operatorname{Hom}_\Bbb{R}(\Bbb{R}^3,\Bbb{R}^3)\), sfrutta la proprietà:

presi \(v_1,v_2,...,v_n \in \operatorname{dom}(f)\) tale che \( \mathscr{L}((v_1,v_2,...,v_n))=\operatorname{dom}(f)\) allora $$f(\operatorname{dom}(f))=\operatorname{im}(f)=\mathscr{L}((f(v_1),f(v_2),...,f(v_n))$$

nel tuo caso prendere un sistema di generatori del dominio è davvero semplice , la tua applicazione lineare è definita generalmente come \(f((x_1,x_2,x_3))= ( x_1+x_2, x_1+2x_2+x_3, x_2+x_3)\) con \((x_1,x_2,x_3) \in \Bbb{R}^3\) quindi calcolare le immagini dei generatori anche qui è semplicissimo... come faresti? Non voglio suggerire..
Per la dimensione del sottospazio \( \operatorname{im}(f)\) se hai la dimensione del \(\ker(f)\) ti basta applicare il teorema