Classificazione delle geometrie
Non sapevo se postare questa domande qui o nella sezione Fondamenti, ad ogni modo, ho letto qualcosa sulla classificazione delle geometrie e volevo esporvi quanto capito, sperando di correggere eventuali imprecisioni/concetti sbagliati, e premettendo che non ho studiato nel dettaglio nessuno degli argomenti (eccetto la geometria sintetica e analitica delle superiori).
Dunque, una geometria dovrebbe essere un insieme di assiomi (coerenti), e di tutte le proposizioni deducibili da essi, che mirano a costruire uno spazio; a seconda degli assiomi scelti, la geometria può essere euclidea, iperbolica, ellittica etc.
Ognuna di queste geometrie può essere a sua volta divisa in base al tipo di teoremi che la costituiscono in questo modo: un certo teorema vale per una figura geometria X, se, sottoponendo X ad una trasformazione geometrica T, il teorema resta valido, si dice che esso è invariante rispetto alla trasformazione T, e l'insieme di tutti i teoremi del genere costituiscono una "sotto-geometria". Quindi avremo la geometria metrica (invarianti rispetto alla similitudine), la geometria proiettiva (invarianti rispetto alla proiezione), la geometria affine (invarianti rispetto alle affinità), la topologia (invarianti rispetto agli omeomorfismi) e così via. Infine, parleremo di geometria sintetica se si è giunti ad un risultato attraverso una deduzione logica dagli assiomi e da altri teoremi noti, di geometria analitica se i risultati sono stati ricavati con l'ausilio di metodi algebrici.
Spero che le fesserie non siano troppe, e inoltre avrei una domanda in più: cos'è e cosa c'entra in tutto questo l'algebra lineare?
Grazie mille
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Dunque, una geometria dovrebbe essere un insieme di assiomi (coerenti), e di tutte le proposizioni deducibili da essi, che mirano a costruire uno spazio; a seconda degli assiomi scelti, la geometria può essere euclidea, iperbolica, ellittica etc.
Ognuna di queste geometrie può essere a sua volta divisa in base al tipo di teoremi che la costituiscono in questo modo: un certo teorema vale per una figura geometria X, se, sottoponendo X ad una trasformazione geometrica T, il teorema resta valido, si dice che esso è invariante rispetto alla trasformazione T, e l'insieme di tutti i teoremi del genere costituiscono una "sotto-geometria". Quindi avremo la geometria metrica (invarianti rispetto alla similitudine), la geometria proiettiva (invarianti rispetto alla proiezione), la geometria affine (invarianti rispetto alle affinità), la topologia (invarianti rispetto agli omeomorfismi) e così via. Infine, parleremo di geometria sintetica se si è giunti ad un risultato attraverso una deduzione logica dagli assiomi e da altri teoremi noti, di geometria analitica se i risultati sono stati ricavati con l'ausilio di metodi algebrici.
Spero che le fesserie non siano troppe, e inoltre avrei una domanda in più: cos'è e cosa c'entra in tutto questo l'algebra lineare?
Grazie mille
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Risposte
Non ho capito bene, però confondi la geometria come teoria (in senso logico) e come struttura; ovvero una coppia (ordinata) composta da un insieme non vuoto \(\displaystyle\Omega\) e da un gruppo strutturale \(\displaystyle G\) tale che esso preservi delle parti notevoli di \(\displaystyle\Omega\).
"siddy98":Te lo scrivo come geometra algebrico cristiano non cattolico: vatti a confessare da un canonico penitenziere.
...Quindi avremo la... geometria analitica se i risultati sono stati ricavati con l'ausilio di metodi algebrici...
"j18eos":Te lo scrivo come geometra algebrico cristiano non cattolico: vatti a confessare da un canonico penitenziere.[/quote]
[quote="siddy98"]...Quindi avremo la... geometria analitica se i risultati sono stati ricavati con l'ausilio di metodi algebrici...
"j18eos":
Te lo scrivo come geometra algebrico cristiano non cattolico: vatti a confessare da un canonico penitenziere.
Chiedo umilmente perdono in ginocchio con cuore contritissimo se la mia affermazione ti ha fatto rivoltare le viscere, ma sono certo che considererai la mia bestemmia un peccato veniale se ti dico che, ahimè, ho 16 anni e mi mancano ancora due anni per finire il liceo scientifico; i dubbi nel mio post sono stati generati da un confusione generale, a sua volta derivata dalla incapacità di connettere i termini "geometria euclidea", "geometria analitica" et alia che sentivo di tanto in tanto uscire dalla bocca del mio professore di matematica. Oh! che sciocco che sono stato a sottovalutare la mia ignoranza a tal punto da ritenere quasi possibile porvi rimedio!
Tornando seri, saresti così gentile da correggere i miei errori e spiegarmi qual è la classificazione corretta delle geometrie?
Il problema della tua impostazione è che confondi teorie matematiche e oggetti matematici. Quando si parla di classificazione di "geometrie", in genere si intende il problema di classificazione proposto da Klein (chiamato in genere come programma di Erlangen), che in sostanza si traduce nella classificazione delle varietà differenziali reali omogenee. Che, se non ricordo male, necessita di due "gruppi di trasformazioni" e non solo di uno. Classificazioni simili avvengono per oggetti geometrici diversi come le varietà algebriche complesse (come detto da j18eos).
Nota comunque che l'ambito teorico in cui avviene la classificazione e anche la struttura base della geometria in sé è fissato. La classificazione delle varietà topologiche per omeomorfismi è ben più difficile e, che io sappia, ben lontana da essere risolta.
Per quanto riguarda la geometria assiomatica/sintetica, con geometria proiettiva, affine e euclidea si intendono teorie assiomatiche diverse. Nota che si può parlare anche di geometria proiettiva iperbolica e, immagino, ellittica (non ho mai visto con molta attenzione la geometria ellittica e, al contrario di quella iperbolica, non è sufficiente cambiare il 5° postulato per crearla a partire da quella euclidea). Quindi la geometria affine e proiettiva sono tipi di "geometrie" mentre la topologia o la geometria sintetica sono teorie geometriche. Nota che generalmente non si usa il termine geometria per intendere gli oggetti (all'università).
Nota comunque che a parte la geometria sintetica che è chiaramente distinguibile dalle altre teorie, le altre possiedono vari legami e per certi versi si basano su una sorta di base comune.
Nota comunque che l'ambito teorico in cui avviene la classificazione e anche la struttura base della geometria in sé è fissato. La classificazione delle varietà topologiche per omeomorfismi è ben più difficile e, che io sappia, ben lontana da essere risolta.
Per quanto riguarda la geometria assiomatica/sintetica, con geometria proiettiva, affine e euclidea si intendono teorie assiomatiche diverse. Nota che si può parlare anche di geometria proiettiva iperbolica e, immagino, ellittica (non ho mai visto con molta attenzione la geometria ellittica e, al contrario di quella iperbolica, non è sufficiente cambiare il 5° postulato per crearla a partire da quella euclidea). Quindi la geometria affine e proiettiva sono tipi di "geometrie" mentre la topologia o la geometria sintetica sono teorie geometriche. Nota che generalmente non si usa il termine geometria per intendere gli oggetti (all'università).
Nota comunque che a parte la geometria sintetica che è chiaramente distinguibile dalle altre teorie, le altre possiedono vari legami e per certi versi si basano su una sorta di base comune.
"siddy98":Non li mostri affatto i tuoi anni
...ho 16 anni e mi mancano ancora due anni per finire il liceo scientifico...
et ce n'est un avance pas!"vict85":Varietà topologiche o spazi topologici? Per questi ultimi è imposibile una classificazione!
...La classificazione delle varietà topologiche per omeomorfismi è ben più difficile e, che io sappia, ben lontana da essere risolta...
"vict85":Non ho capito bene questa tua distinzione.
...Quindi la geometria affine e proiettiva sono tipi di "geometrie" mentre la topologia o la geometria sintetica sono teorie geometriche...
"vict85":Forse ti riferisci alla geometria neutrale?!
...Nota comunque che a parte la geometria sintetica che è chiaramente distinguibile dalle altre teorie, le altre possiedono vari legami e per certi versi si basano su una sorta di base comune.
"j18eos":
Varietà topologiche o spazi topologici? Per questi ultimi è imposibile una classificazione!
E infatti ho scritto varietà.
"j18eos":Non ho capito bene questa tua distinzione.
[quote="vict85"]...Quindi la geometria affine e proiettiva sono tipi di "geometrie" mentre la topologia o la geometria sintetica sono teorie geometriche...
[/quote]Il piano euclideo è un oggetto matematico che può essere studiato usando l'approccio assiomatico, la topologia (e discipline collegate), l'analisi, l'algebra lineare, la geometria algebrica... Insomma, non capisco cosa non capisci. Facendo un paragone è come confondere l'economia italiana con l'economia come disciplina.
"j18eos":Forse ti riferisci alla geometria neutrale?![/quote]
[quote="vict85"]...Nota comunque che a parte la geometria sintetica che è chiaramente distinguibile dalle altre teorie, le altre possiedono vari legami e per certi versi si basano su una sorta di base comune.
No affatto. Anche perché la geometria neutrale è un concetto della geometria sintetica che non possiede, che io sappia, una descrizione "moderna". Inoltre risulta inconsistente con le geometrie ellittiche/sferiche.
Non mi riferivo specificamente ad un vero e proprio concetto matematica ma ad un approccio e ad un certo modo di fare le cose che è decisamente diverso da quello assiomatico. Per esempio al fatto che gli oggetti possono essere espressi in termini categoriali.
Mi sa che ho sottovalutato un bel po' la questione... aspetterò di avere conoscenze le conoscenze necessarie prima di ritornarci.
Grazie delle risposte
Grazie delle risposte
"vict85":Se tu avessi scritto la parola tipi tra virgolette avrei capito cosa intendevi affermare.
... Insomma, non capisco cosa non capisci...
"vict85":Capito, anche l'ultimo esempio; su quale non dico altro.
...Non mi riferivo specificamente ad un vero e proprio concetto matematica ma ad un approccio e ad un certo modo di fare le cose che è decisamente diverso da quello assiomatico. Per esempio al fatto che gli oggetti possono essere espressi in termini categoriali.
"siddy98":Decisamente
Mi sa che ho sottovalutato un bel po' la questione...
ci vogliono anni e molto studio per potersi barcamenare tra queste questioni, nemmeno io ci riuscirei con agio o comunque sono preparato solo su una parte della questione! Non mollare. 
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