Determinare una base ortonormale, esercizio breve ma insidioso
Salve a tutti. Ho un dubbio riguardo lo svolgimento di un esercizio sulla ricerca di una base ortonormale. Vi scrivo la consegna.
Testo Esercizio
Determinare una base ortonormale ${u_1,u_2,u_3} ∈RR^3$ sapendo che:
$u_1∈W_1=span{(2,1,-2)^T)}$
$u_2 ∈W_2=span{(1,0,0)^T,(0,1,2)^T}$.
Tentativo di svolgimento:
Ho cercato di procedere nel modo più semplice possibile.
1) Ho scritto il vettore $u_1$ e $u_2$ come combinazioni lineari dei vettori delle basi dei rispettivi spazi di appartenenza, mantenendo le componenti generiche.
$u_1=(2α,α,-2α)^T$ e $U_2=(β,γ,2γ)^T$
2) Ho scritto le condizioni che devono rispettare i vettori $u_1$ $u_2$ e $u_3$, ossia che il prodotto scalare di questi vettori, presi 2 a 2, deve essere zero e che la loro norma deve essere uguale a 1.
3) Ho scritto un sistema, tralasciando momentaneamente il vettore $u_3$ di cui non conosco lo spazio di appartenenza, unendo le condizioni. Il sistema che viene fuori è il seguente:
\begin{equation}\begin{cases}2αβ+αγ-4αγ=0\\4α^2+α^2+4α^2=1\\β^2+γ^2+4γ^2=1\end{cases}\end{equation}
Da questo sistema ottengo 4 combinazioni diverse di $α,β,γ$, come potete vedere anche da Wolfram: http://www.wolframalpha.com/input/?i=2% ... B3%5E2%3D1
Ora, tramite le 4 combinazioni, dovrei trovare il terzo vettore della base, uno per ogni combinazione delle componenti. E qui sorge un altro problema, impostando sempre le condizioni di ortogonalità e ortonormalità, per ogni singola combinazione, ottengo altri 2 vettori $u_3$, per un totale di 8 diversi vettori $u_3$, che origineranno quindi 8 diverse basi ortonormali per $RR^3$. A tutto ciò si aggiunge, come potete vedere da Wolfram, che i calcoli sono davvero elaborati! Radici, numeri che non si semplificano, tutto mi fa pensare di aver sbagliato lo svolgimento. Sapreste aiutarmi?
Testo Esercizio
Determinare una base ortonormale ${u_1,u_2,u_3} ∈RR^3$ sapendo che:
$u_1∈W_1=span{(2,1,-2)^T)}$
$u_2 ∈W_2=span{(1,0,0)^T,(0,1,2)^T}$.
Tentativo di svolgimento:
Ho cercato di procedere nel modo più semplice possibile.
1) Ho scritto il vettore $u_1$ e $u_2$ come combinazioni lineari dei vettori delle basi dei rispettivi spazi di appartenenza, mantenendo le componenti generiche.
$u_1=(2α,α,-2α)^T$ e $U_2=(β,γ,2γ)^T$
2) Ho scritto le condizioni che devono rispettare i vettori $u_1$ $u_2$ e $u_3$, ossia che il prodotto scalare di questi vettori, presi 2 a 2, deve essere zero e che la loro norma deve essere uguale a 1.
3) Ho scritto un sistema, tralasciando momentaneamente il vettore $u_3$ di cui non conosco lo spazio di appartenenza, unendo le condizioni. Il sistema che viene fuori è il seguente:
\begin{equation}\begin{cases}2αβ+αγ-4αγ=0\\4α^2+α^2+4α^2=1\\β^2+γ^2+4γ^2=1\end{cases}\end{equation}
Da questo sistema ottengo 4 combinazioni diverse di $α,β,γ$, come potete vedere anche da Wolfram: http://www.wolframalpha.com/input/?i=2% ... B3%5E2%3D1
Ora, tramite le 4 combinazioni, dovrei trovare il terzo vettore della base, uno per ogni combinazione delle componenti. E qui sorge un altro problema, impostando sempre le condizioni di ortogonalità e ortonormalità, per ogni singola combinazione, ottengo altri 2 vettori $u_3$, per un totale di 8 diversi vettori $u_3$, che origineranno quindi 8 diverse basi ortonormali per $RR^3$. A tutto ciò si aggiunge, come potete vedere da Wolfram, che i calcoli sono davvero elaborati! Radici, numeri che non si semplificano, tutto mi fa pensare di aver sbagliato lo svolgimento. Sapreste aiutarmi?
Risposte
\(\displaystyle \mathbf{u}_1 \) non è solo generato da \(\displaystyle \mathbf{v}_1 = (2,1,-2)^{\intercal} \) ma è unitario (stai cercando vettori ortonormali). Pertanto \(\displaystyle \mathbf{u}_1 = \frac{\mathbf{v}_1}{\lVert \mathbf{v}_1\rVert}\).
Riguardo a \(\displaystyle \mathbf{u}_2 = \alpha (1, 0, 0)^{\intercal} + \beta (0, 1, 2)^{\intercal} = (\alpha, \beta, 2\beta)\) devi imporre le due condizioni di ortonormalità.
Riguardo a \(\displaystyle \mathbf{u}_2 = \alpha (1, 0, 0)^{\intercal} + \beta (0, 1, 2)^{\intercal} = (\alpha, \beta, 2\beta)\) devi imporre le due condizioni di ortonormalità.
"vict85":
\(\displaystyle \mathbf{u}_1 \) non è solo generato da \(\displaystyle \mathbf{v}_1 = (2,1,-2)^{\intercal} \) ma è unitario (stai cercando vettori ortonormali). Pertanto \(\displaystyle \mathbf{u}_1 = \frac{\mathbf{v}_1}{\lVert \mathbf{v}_1\rVert}\).
Riguardo a \(\displaystyle \mathbf{u}_2 = \alpha (1, 0, 0)^{\intercal} + \beta (0, 1, 2)^{\intercal} = (\alpha, \beta, 2\beta)\) devi imporre le due condizioni di ortonormalità.
Ma Vict, mi sembra di aver fatto ciò che tu stai dicendo, perchè ho considerato che:
$u_1$ deve essere ortonormale e quindi $<|(2α),(α),(-2α)|,|(2α),(α),(-2α)|>$ $=1$
$u_2$ deve essere ortonormale e quindi $<|(β),(γ),(2γ)|,|(β),(γ),(2γ)|>$ $=1$
e infine ho considerato che questi due vettori devono essere ortogonali, e quindi: $<|(2alpha),(alpha),(-2alpha)|,|(β),(γ),(2γ)|>$ $=0$.
Ho preso queste condizioni e ho costruito il sistema che ho scritto nel primo messaggio, cioè:
\begin{equation}\begin{cases}2αβ+αγ-4αγ=0\\4α^2+α^2+4α^2=1\\β^2+γ^2+4γ^2=1\end{cases}\end{equation}
Dove sto sbagliando?
La condizione di normalità contiene due vettori distinti. Devi sostanzialmente scegliere un verso. Direi che per il primo sia sensato scegliere lo stesso verso del vettore di partenza, insomma \(\displaystyle \alpha > 0 \). Per il secondo lo puoi prendere a caso. Anche perché devi trovarne una, non tutte.
Comunque hai che \(\displaystyle \alpha^2 = \frac{1}{9} \) e quindi \(\displaystyle \alpha = \pm \frac13 \). Puoi quindi considerare \(\displaystyle \alpha = \frac13 \).
Dopo di che hai che \(\displaystyle \beta = \frac{3\alpha}{2\alpha} \gamma = \frac32 \gamma \). Perciò
\(\displaystyle 1 = \beta^2 + 5\gamma^2 = \biggl(\frac{9}{4} + 5\biggr)\gamma^2 = \frac{29}{4}\gamma^2 \) e quindi \(\displaystyle \gamma^2 = \frac{4}{29} \) cioè \(\displaystyle \gamma = \pm \frac{2}{\sqrt{29}} = \pm \frac{2\sqrt{29}}{29} \) e \(\displaystyle \beta = \pm \frac{3\sqrt{29}}{29} \) dove i due valori hanno lo stesso segno. Scelgo il segno positivo ricavando che \(\displaystyle \mathbf{u}_2 = \frac{1}{\sqrt{29}} (3,2,4)^{\intercal} \).
Ricavando quindi i due vettori \(\displaystyle \mathbf{u}_1 = \frac{1}{3} (2,1,-2)^{\intercal} \) e \(\displaystyle \mathbf{u}_2 = \frac{1}{\sqrt{29}} (3,2,4)^{\intercal} \).
Per ricavare \(\displaystyle \mathbf{u}_3 \) puoi usare il prodotto vettoriale tenendo conto che \(\displaystyle (\alpha\mathbf{u})\times\mathbf{v} = \alpha(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) = \mathbf{u}\times(\alpha\mathbf{v}) \) e che quindi puoi dare il prodotto vettoriale tra i vettori non unitari e poi dividere per la norma del vettore.
Ovviamente se vuoi considerare tutte le possibilità allora hai che \(\displaystyle (-\mathbf{u}_1)\times(-\mathbf{u}_2) = \mathbf{u}_1\times\mathbf{u}_2 \) e che \(\displaystyle (-\mathbf{u}_1)\times\mathbf{u}_2 = -(\mathbf{u}_1\times\mathbf{u}_2) = \mathbf{u}_1\times(-\mathbf{u}_2) \) . A queste devi aggiungere le basi ortonormali orientate ‘negativamente’. Ma in sostanza una volta trovato \(\displaystyle \mathbf{u}_3 \), tutte le possibilità sono date dai vari segni quindi in sostanza hai 8 basi ortonormali di cui 4 orientate positivamente.
Comunque hai che \(\displaystyle \alpha^2 = \frac{1}{9} \) e quindi \(\displaystyle \alpha = \pm \frac13 \). Puoi quindi considerare \(\displaystyle \alpha = \frac13 \).
Dopo di che hai che \(\displaystyle \beta = \frac{3\alpha}{2\alpha} \gamma = \frac32 \gamma \). Perciò
\(\displaystyle 1 = \beta^2 + 5\gamma^2 = \biggl(\frac{9}{4} + 5\biggr)\gamma^2 = \frac{29}{4}\gamma^2 \) e quindi \(\displaystyle \gamma^2 = \frac{4}{29} \) cioè \(\displaystyle \gamma = \pm \frac{2}{\sqrt{29}} = \pm \frac{2\sqrt{29}}{29} \) e \(\displaystyle \beta = \pm \frac{3\sqrt{29}}{29} \) dove i due valori hanno lo stesso segno. Scelgo il segno positivo ricavando che \(\displaystyle \mathbf{u}_2 = \frac{1}{\sqrt{29}} (3,2,4)^{\intercal} \).
Ricavando quindi i due vettori \(\displaystyle \mathbf{u}_1 = \frac{1}{3} (2,1,-2)^{\intercal} \) e \(\displaystyle \mathbf{u}_2 = \frac{1}{\sqrt{29}} (3,2,4)^{\intercal} \).
Per ricavare \(\displaystyle \mathbf{u}_3 \) puoi usare il prodotto vettoriale tenendo conto che \(\displaystyle (\alpha\mathbf{u})\times\mathbf{v} = \alpha(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) = \mathbf{u}\times(\alpha\mathbf{v}) \) e che quindi puoi dare il prodotto vettoriale tra i vettori non unitari e poi dividere per la norma del vettore.
Ovviamente se vuoi considerare tutte le possibilità allora hai che \(\displaystyle (-\mathbf{u}_1)\times(-\mathbf{u}_2) = \mathbf{u}_1\times\mathbf{u}_2 \) e che \(\displaystyle (-\mathbf{u}_1)\times\mathbf{u}_2 = -(\mathbf{u}_1\times\mathbf{u}_2) = \mathbf{u}_1\times(-\mathbf{u}_2) \) . A queste devi aggiungere le basi ortonormali orientate ‘negativamente’. Ma in sostanza una volta trovato \(\displaystyle \mathbf{u}_3 \), tutte le possibilità sono date dai vari segni quindi in sostanza hai 8 basi ortonormali di cui 4 orientate positivamente.
Perfetto, ora è tutto chiaro e mi riportano i risultati, grazie!
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