Problema sull'iperbole
Ciao a tutti. Ancora io.
Spero in un aiuto su un punto di un problema di Geometria Analitica che riguarda l'iperbole.
Il problema è il seguente.
Risolvi i seguenti quesiti:
a. Scrivi l'equazione dell'iperbole $\gamma$ avente come asintoti gli assi cartesiani e tangente alla retta $r: y = -2x + 4$; determina i vertici e i fuochi di tale iperbole e rappresentala graficamente.
b. Scrivi l'equazione della circonferenza avente come diametro il segmento che congiunge i fuochi di $\gamma$.
c: Indicata con $t$ la retta parallela alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante che passa per il punto di coordinate $(-2, -3)$, scrivi le equazioni delle parabole, con asse parallelo all'asse y, passanti per i fuochi di $\gamma$ e tangenti a $t$.
d. Inidicato con $T$ il punto di contatto tra $r$ e $\gamma$, considera una retta $s$ passante per l'origine che interseca $\gamma$ nei due punti P e Q; determina l'equazione della retta $s$ in modo che l'area del triangolo $PTQ$ sia $sqrt(2)$.
Ho svolto tutti i punti tranne il punto d perché, pur avendo (credo) capito come fare, il calcolo diventi progressivamente molto complicato.
Ho provato a calcolare la lunghezza del segmento TQ e dell'altezza del triangolo. Ho imposto che l'area sia $sqrt(2)$ ma il calcolo è difficile e mi sembra strano.
Ho fatto il grafico e ho anche capito che i punti P e Q soddisfano l'equazione $y=x$ ma non serve a molto...
C'è un modo differente per arrivare al risultato?
Grazie per l'aiuto.
Raffaele
Risposte
$ a. \gamma: xy=2; vertici: (+-sqrt(2), +-sqrt(2)); fuochi: (+-2, +-2); b. x^2 + y^2 - 8 = 0; c. y = x^2 + x - 4; y = (1/4)x^2 + x -1; d. T(1 ,2), s: y = x oppure y = 4x$
Spero in un aiuto su un punto di un problema di Geometria Analitica che riguarda l'iperbole.
Il problema è il seguente.
Risolvi i seguenti quesiti:
a. Scrivi l'equazione dell'iperbole $\gamma$ avente come asintoti gli assi cartesiani e tangente alla retta $r: y = -2x + 4$; determina i vertici e i fuochi di tale iperbole e rappresentala graficamente.
b. Scrivi l'equazione della circonferenza avente come diametro il segmento che congiunge i fuochi di $\gamma$.
c: Indicata con $t$ la retta parallela alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante che passa per il punto di coordinate $(-2, -3)$, scrivi le equazioni delle parabole, con asse parallelo all'asse y, passanti per i fuochi di $\gamma$ e tangenti a $t$.
d. Inidicato con $T$ il punto di contatto tra $r$ e $\gamma$, considera una retta $s$ passante per l'origine che interseca $\gamma$ nei due punti P e Q; determina l'equazione della retta $s$ in modo che l'area del triangolo $PTQ$ sia $sqrt(2)$.
Ho svolto tutti i punti tranne il punto d perché, pur avendo (credo) capito come fare, il calcolo diventi progressivamente molto complicato.
Ho provato a calcolare la lunghezza del segmento TQ e dell'altezza del triangolo. Ho imposto che l'area sia $sqrt(2)$ ma il calcolo è difficile e mi sembra strano.
Ho fatto il grafico e ho anche capito che i punti P e Q soddisfano l'equazione $y=x$ ma non serve a molto...
C'è un modo differente per arrivare al risultato?
Grazie per l'aiuto.
Raffaele
Risposte
$ a. \gamma: xy=2; vertici: (+-sqrt(2), +-sqrt(2)); fuochi: (+-2, +-2); b. x^2 + y^2 - 8 = 0; c. y = x^2 + x - 4; y = (1/4)x^2 + x -1; d. T(1 ,2), s: y = x oppure y = 4x$
Risposte
Ciao. Intanto grazie per la risposta.
Due osservazioni.
Dal mio grafico il triangolo PTQ non è rettangolo, quindi non posso utilizzare il teorema di Pitagora.
Come hai fatto ad impostare le coordinate di P e Q? Non l'ho capito.
Io pensavo valessero $Q (x, (2/x))$ e $P ( -x, -(2/x))$.
E' così che ho impostato ma i calcoli sono assurdi...
Raffaele
[geogebra]
Due osservazioni.
Dal mio grafico il triangolo PTQ non è rettangolo, quindi non posso utilizzare il teorema di Pitagora.
Come hai fatto ad impostare le coordinate di P e Q? Non l'ho capito.
Io pensavo valessero $Q (x, (2/x))$ e $P ( -x, -(2/x))$.
E' così che ho impostato ma i calcoli sono assurdi...
Raffaele
[geogebra]
Ma tu sei un genio.
Scusa ma mi si è imbambolato il cervello.
Non riuscivo proprio a capire.... mah...
Grazie di tutto. Al prossimo problema.
Raffaele
Scusa ma mi si è imbambolato il cervello.
Non riuscivo proprio a capire.... mah...
Grazie di tutto. Al prossimo problema.
Raffaele
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