Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buongiorno, vi chiedo un parere sullo svolgimento del seguente esercizio:
Sia A una matrice 4x4 e \(\displaystyle X=\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z\\
t
\end{pmatrix} \) un generico vettore di \(\displaystyle \mathbb{R}^{4} \). Supponendo di sapere che gli autovalori di A sono 5 e -2, e che l'autospazio \(\displaystyle V_{5} \) ha equazione \(\displaystyle x+y+z=x-y+z+t=z-t=0 \), mentre l'autospazio \(\displaystyle V_{-2} \) ha equazione \(\displaystyle x+2y=0 \), si determini il polinomio ...
Salve Ragazzi. Sto avendo alcuni problemi. Sono arrivato alla parte di programma che riguarda la dipendenza/indipendenza lineare di geometria analitica. Senza aver prima introdotto ne il concetto di rango ne di rouchè-capelli..io gli esercizi sono solito svolgerli tramite la relazione V3= a1V1+a2V2 dove per ricavare il valore di a1 e a2 utilizzo i sistemi di due o tre equazioni in due/tre incognite. così verifico l'eventuale dipendenza o meno. Adesso ci sono due esercizi che non riesco proprio ...
L'esercizio dice:
Nello spazio euclideo $E^2$ si fissi un sistema di riferimento ortonormale e si considerino le rette
$r: \{(2x-y+z+a=0),(2y-2az-1=0):}$ $s: \{(x=t),(y=2+3t),(z=-1+t):}$
con $a$ parametro reale
Determinare la posizione reciproca di $r$ ed $s$ al variare di $a$. Per gli eventuali valori di $a$ per i quali le rette date risultano complanari, determinare il piano che le contiene entrambe.
Allora, io ho cominciato con il traformare ...
Ragazzi mi potete aiutare, non so come risolvere questo esercizio di geometria e fra pochi giorni ho l'esame.
potete spiegarmi e fare i passsaggi. graziee in anticipo
Si consideri l'applicazione lineare f: R3-->R tale che:
f(3,1)=3 e kerf=L(0,1)
1)Si trovi la matice di f rispetto alle basi canoniche
2) Si dica se f e' suriettiva giustificando la risposta
3) Si determini la controimmagine di 2
4) Si calcoli f(2,2)
ciao ragazzi posto le immagini di un esercizio che ho risolto, penso nel modo corretto ....
fissato nel piano affine euclideo usuale E^2 un riferimento cartesiano ortonormale RC(O,x,y) ,data una conica (x+y-2)(x-7y+2)+4=0 bisognava naturalmente identificarla ,trovare il centro e assi della conica...poi bisognava scrivere l'equazione di una retta passante per il punto p(1,0) e parallela all'asse focale della conica .
il dubbio stava nel calcolo delle coordinate dei fuochi , in quanto non ...
L'esercizio mi dice:
Sia $f:RR^4->RR^4$ l'endomorfismo definito da
$f((x,y,z,t))=(-5x+2y, -10x+4y, 2x-y+4z+5t, -z-2t)$
Determinare una base e la dimensione di $Ker(f)$ e $Im(f)$. Completare la base scelta in $Ker(f)$ a base in $RR^4$.
Io l'ho risolto in questo modo:
La matrice è $A=((-5,2,0,0),(-10,4,0,0),(2,-1,4,5),(0,0,-1,-2))$
Il rango della matrice è $3$, dato che le prime due righe della matrice sono dipendenti(La seconda è il doppio della prima). La dimensione di $Im(f)=\rho(A)=3$ e come base di ...
Allora ragazzi, premettendo che dal punto di vista teorico ho capito veramente ben poco e quindi mi servirebbe anche capire quali e come possono essere i casi che mi si possono presentare e come affrontarli, mi trovo a dover svolgere questo esercizio e siccome non ho soluzione da nessuna parte non sono sicuro di procedere bene o meno. Mi dice: Sia W= L ( v1, v2 ,v3) il sottospazio di R^3 generato dai vettori : v1= (o,1,1) v2=(1,0,3) v3=(1,-3,0). Estrarre una base di W dall'insieme I=(v1,v2,v3). ...
Ciao ragazzi,
sono nuovissimo del forum e avrei già la prima domanda da porvi.
Mi trovo a pochi giorni dall'esame di Geometria e fin'ora ancora non sono riuscito a colmare alcuni dubbi.
Sia data una sfera
$S:x^2+y^2+z^2-2y+2x-2=0$
e un suo punto $A=(1 , -1 , 2)$ , determinare il piano tangente ad S in A.
Il mio procedimento é:
- trovare raggio ($R=2$) e centro($Cs=(1 , -1 , 0)$) della sfera;
- verificare che $d(Cs,A)=R$ per soddisfare le condizioni di tangenza;
- determinare il ...
Salve a tutti, ho l'ennesimo dubbio su una faccenda apparentemente banale:
Vorrei calcolare l'angolo tra queste 2 rette:
$r : \{(x=1),(y+z=0):}$
In forma parametrica: $r : \{(x=1),(y=-t),(z=t):}$ quindi $\ vec v_r = (0,-1,1)$
$t : \{(x+y=0),(z=-1):}$
In forma parametrica $t : \{(x=-t),(y=t),(z=-1):}$ quindi $\ vec v_t = (-1,1,0)$
Adesso l'angolo dovrebbe essere dato da $cos \ hat (rt) = (v_r * v_t)/ ( |v_r|*|v_t| ) = -1/2 $ da cui $ \hat (rt) = (2\pi)/3$
Che è corretto vedendo il pdf... Il problema è che se avessi scelto per la retta $r$ una parametrizzazione ...
Salve a tutti, vorrei sapere se questo procedimento per trovare la retta passante per un punto ed ortogonale ad un'altra retta data è corretto.
Allora il punto in questione è $A=(1,1,0)$ e la retta data è $r : \{(x=2),(y=t),(z=-2-t):}$
Il vettore direzionale di $r$ è $\vec v_r = (0,1,-1)$ quindi per calcolare tutti i vettori ortogonali ad esso impongo:
$(0,1,-1)(a,b,c)=0$ da cui $b=c$
Ora io so che in forma parametrica la retta che cerco è data da questa ...
Ciao a tutti,
sto cercando di risolvere tale esercizio e ho incontrato non poche difficoltà.
L'esercizio dice: in $ \mathbb{R}^3 $ siano dati i vettori u=(0,2,1), v=(2,-3,-1), w=(-4,1,-1).
Sia $ f: \mathbb{R}^3 -> \mathbb{R}^3 $ una funzione lineare tale f(u)=w, f(v)=-2w e $ Im(f) \subset Ker(f) $.
a) scrivere la matrice A di f rispetto alla base canonica e si determini una base del nucleo di f
b) si trovi una base di $ \mathbb{R}^3 $ rispetto alla quale la matrice di f sia B= \begin{pmatrix}
0& 0 &1 \\
0& 0 & ...
Salve a tutti, vi sarei molto grato se poteste aiutarmi nella risoluzione di questo problema.
Sto svolgendo degli esercizi "guidati" e nello svolgerli mi è capitato questo esercizio che mi chiede di studiare f al variare del parametro h.
Viene dato l'endomorfismo $f: RR^3 \to RR^3$ mediante le assegnazioni:
$\{(f(2,0,1) = (h+2,h-2,h)),(f(0,1,1) = (1,2,3)),(f(2,-1,1) = (5,-2,3)):}$
con $\h$ parametro reale.
Ora dopo essermi ricavato la matrice associata rispetto alla base canonica che è questa:
$((h-1,h-3,4-h),(h-2,h,2-h),(h-3,h-3,6-h))$
Io avrei proceduto ...
Ciao a tutti. Spero possiate aiutarmi su questo problema perché mi sono bloccato completamente.
Un'iperbole equilatera $\gamma$, avente gli asintoti paralleli agli assi cartesiani, passa per i punti $A(2,1)$, $B(0,-1)$ ed è priva di punti di intersezione con l'asse x.
Dopo avere scritto l'equazione di $\gamma$, considera su $\gamma$ un punto $P$ di ascissa x e indica con $H$ e $K$ le proiezioni di ...
ciao a tutti,ieri ho postato un esercizio molto simile e ringrazio ancora il vostro collega TeM per la pronta risposta,però ho ancora qualche dubbio sinceramente,allora se io voglio ottenere la superficie ruotando un retta
$r:$\(\left\{\begin{matrix}x=z+p
\\y=z+3
\end{matrix}\right.\)
intorno all'asse $z$
"parametrizzo" $r$ in questo modo
$r$:\(\left\{\begin{matrix}x=p+t
\\y=3+t
\\z=t
\end{matrix}\right.\)
giusto fino a qui?
ora ...
Salve a tutti,
mi servirebbero alcuni chiarimenti su questo esercizio:
Sia $R=(u_1, u_2, u_3)$ un riferimento di uno spazio vettoriale reale $V$. Dire cosa sono le componenti di un vettore $u \in V$ in $\mathbb{R}$.
Allora, il problema è questo: per riferimento $R$ si intende l'endomorfismo di $\mathbb{R}^3$ la cui matrice associata rispetto alla base canonica è rappresentata da $A = |u_1\ \ u_2\ \ u_3|$?
ragazzi ho un esame a breve e mi serviva questo esercizio svolto per vedere se il procedimento che attuavo io è corretto o meno. il testo è il seguente:
"studiare e risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro k appartenente ad R.citare e per quei valori di K in cui è possibile, applicare il teorema di cramer. nei rimanenti casi citare ed applicare il teorema di rouchè-capelli."
2kx+3y+(k-2)z=3k+1
kz+y=k+1
2y+(2-k)z=2k-2
allora io in un primo momento ho creato la matrice ...
ciao ancora
stavolta, date due basi $B'={v'_1,v'_2}$ e $B''{v''_1,v''_2}$ di $R^2$
e data la formula matriciale del cambiamento di base \(x''=x'\begin{pmatrix}1 & 3\\ 1 & 2\end{pmatrix}\)
devo trovare i vettori $v'_1$ e $v'_2$ della base $B'$ e poi determinare $v''_1$ e $v''_2$ rispetto a $B'$.
allora essendo che la
\(x=\begin{pmatrix}2 & -1\\ -1 & 1\end{pmatrix}x''\) è la formula del passaggio dalla base ...
ciao ancora,stavo svolgendo un esercizio in cui mi si richiedeva di scrivere il cono che si ottiene facendo ruotare la retta
\(r: \left\{\begin{matrix}x=2z
\\ y=3z
\end{matrix}\right.\) attorno all'asse $z$.
io volevo scriverlo come intersezione del piano per un punto generico della retta $r$,ad esempio il punto $P_0=P_0(2h,3h,h)$,e la sfera di centro $P_1=P_1(0,0,k)$ e raggio $P_0P_1$,dove $P_1$ è un punto generico dell'asse ...
riposto perchè avevo sbagliato sezione
ciao a tutti,ho un esercizio in cui mi si richiede di scrivere la quadrica $Q$ luogo delle rette che si appoggiano alle rete:
\(
r_1:\left\{\begin{matrix}x=0
\\z=0
\\
\end{matrix}\right.
;r_2:\left\{\begin{matrix}x=1
\\y=z
\\
\end{matrix}\right.;
r_3:\left\{\begin{matrix}x=-1
\\y=-z
\\
\end{matrix}\right. \)
io ho provato a considerare il piano per il generico punto $P(0,a,0)$ di $r_1$ e la retta ...
Salve a tutto il forum.
Ho un grosso problema, dovrei sostenere l'esame di geometria e algebra lineare a fine mese per potermi laureare a settembre. Purtroppo ho seguito le lezioni del docente precedente a quello con cui devo svolgere l'esame e con lui è cambiato anche programma e modalità d'esercizi. In allegato vi son due tracce tipiche d'esame. Potreste aiutarmi a risolverle? Quello dello spazio euclideo non è nel mio programma.
Vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto
un saluto a tutto il ...
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