Chiarimenti su segnatura di una forma
ciao ragazzi, mi sapreste spiegare bene come trovo la segnatura di una forma bilineare.
Io prima di tutto trovo la matrice associata a tale forma e vedo di che tipo è la forma (definita positiva, negativa, semidefinita positiva...) calcolando il delta1 (vedo se è > < o = 0), analogamente per il delta2 e così fino ad arrivare al determinante della matrice. Ora, se la forma è definita positiva o negativa non degenere non ho problemi: sarà segnf(n,n) nel primo caso e segnf(n,0) nel secondo. Ma se la forma non è una di quelle due ho seri problemi. Potreste delucidarmi!
Io prima di tutto trovo la matrice associata a tale forma e vedo di che tipo è la forma (definita positiva, negativa, semidefinita positiva...) calcolando il delta1 (vedo se è > < o = 0), analogamente per il delta2 e così fino ad arrivare al determinante della matrice. Ora, se la forma è definita positiva o negativa non degenere non ho problemi: sarà segnf(n,n) nel primo caso e segnf(n,0) nel secondo. Ma se la forma non è una di quelle due ho seri problemi. Potreste delucidarmi!
Risposte
Guarda che è semplicissimo calcolare la segnatura di una forma quadratica.
Sei capace a trovare gli autovalori della matrice?
Se sei capace, ti basta trovare gli autovalori e contare quanti sono quelli positivi e quelli negativi; metti di avere una matrice di ordine $n$ con $k$ autovalori positivi e $h$ autovalori negativi: la segnatura è $(k,h)$.
P.S. Ti faccio notare che $k+h<=n$.
Sei capace a trovare gli autovalori della matrice?
Se sei capace, ti basta trovare gli autovalori e contare quanti sono quelli positivi e quelli negativi; metti di avere una matrice di ordine $n$ con $k$ autovalori positivi e $h$ autovalori negativi: la segnatura è $(k,h)$.
P.S. Ti faccio notare che $k+h<=n$.
@fede: Quello che dici tu si chiama http://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_di_Jacobi
e serve solo per stabilire se una forma è definita positiva o negativa; se la forma dovesse essere indefinita non ti informa sulla segnatura. Per quest'ultimo caso o procedi come dice Paolo (metodo fool-proof da tenere sempre presente) oppure puoi usare la regola di Cartesio o anche una certa variante dell'algoritmo di Gauss-Jordan (della quale abbiamo parlato sommariamente qui); questi ultimi metodi ti permettono di fare molti meno conti ma devi conoscere la teoria dietro.
e serve solo per stabilire se una forma è definita positiva o negativa; se la forma dovesse essere indefinita non ti informa sulla segnatura. Per quest'ultimo caso o procedi come dice Paolo (metodo fool-proof da tenere sempre presente) oppure puoi usare la regola di Cartesio o anche una certa variante dell'algoritmo di Gauss-Jordan (della quale abbiamo parlato sommariamente qui); questi ultimi metodi ti permettono di fare molti meno conti ma devi conoscere la teoria dietro.
A dir la verità non conosco questi metodi, o comunque non ci sono stati presentati e infatti nasce credo proprio da qui la mia difficoltà. Ho chiesto spiegazioni al prof che non è stato chiarissimo ma mi accennava al fatto che ogni matrice associata ad una forma è congruente ad una matrice simmetrica, cioè se A è la matrice associata ad f , P è la matrice di passaggio e D è una matrice diagonale, allora sapendo che D=PtAP ne segue che devono avere anche uguale determinante: |D|=!PtAP| cioè |D|=|P|^2 |A| e poi il vuoto. Cosa voleva spiegarmi secondo voi?
0 è un autovalore negativo o positivo?
credo sia un autovalore nullo! Comunque per Sylvester, ogni matrice è congruente a una matrice del tipo
$((I_p, 0 ,0), (0, -I_{r-p}, 0), (0,0,0))$
Il numero di zeri è la dimensione del radicale, invece p e r-p sono, rispettivamente, il massimo delle dimensioni di un sottospazio definito positivo (o negativo)
$((I_p, 0 ,0), (0, -I_{r-p}, 0), (0,0,0))$
Il numero di zeri è la dimensione del radicale, invece p e r-p sono, rispettivamente, il massimo delle dimensioni di un sottospazio definito positivo (o negativo)
Utilizzando il teorema di Sylvester, potresti farmi un esempio pratico su come trovare la segnatura di una matrice?
È da giorni che mi sto impazzendo ma non riesco a venirne a capo. Te ne sarei grato.
È da giorni che mi sto impazzendo ma non riesco a venirne a capo. Te ne sarei grato.
Ci sono diversi modi per farlo. Il primo è trovarti una base ortogonale (ortogonalizzi con Lagrange una base a te nota). A questo punto la segnatura è chiara((C'è un altro metodo meno contoso, ed è il criterio di Jacobi. Metti per esempio di volerti calcolare la segnatura di
$A=((1, 1, 4), (1, 0, 3), (4,3,-6))$
Considera l'elemento $A_{1,1}$. Come noti esso è maggiore di 0. Questo significa che esiste un intero sottospazio, quello generato dal vettore $e_1$ della base canonica, su cui il prodotto scalare è definito positivo. Ne segue che l'indice di positività è maggiore o uguale a 1.
Ora considera l'elemento $A_{3,3}$. Esso è minore di 0. Significa che il prodotto scalare ristretto a $span e_3$ è definito negativo. Ma allora l'indice di negatività è maggiore o uguale a 1.
Adesso le possibilità sono 3: (2,1,0) OPPURE (1,2,0) oppure (1,1,1).
Per escludere la terza basta calcolare il determinante di A. Se è diverso da 0 il rango della matrice è massimo e quindi il radicale è solo 0. A questo punto possiamo usare jacobi.
$A=((1, 1, 4), (1, 0, 3), (4,3,-6))$
Considera l'elemento $A_{1,1}$. Come noti esso è maggiore di 0. Questo significa che esiste un intero sottospazio, quello generato dal vettore $e_1$ della base canonica, su cui il prodotto scalare è definito positivo. Ne segue che l'indice di positività è maggiore o uguale a 1.
Ora considera l'elemento $A_{3,3}$. Esso è minore di 0. Significa che il prodotto scalare ristretto a $span e_3$ è definito negativo. Ma allora l'indice di negatività è maggiore o uguale a 1.
Adesso le possibilità sono 3: (2,1,0) OPPURE (1,2,0) oppure (1,1,1).
Per escludere la terza basta calcolare il determinante di A. Se è diverso da 0 il rango della matrice è massimo e quindi il radicale è solo 0. A questo punto possiamo usare jacobi.
Mmmh, una volta ortogonalizzata la base, perché la segnatura è chiara? Cioè come faccio a capire qual è la segnatura?
Una volta ortogonalizzata la base, la matrice associata al prodotto scalare diventa diagonale. A questo punto, a meno di normalizzare i vettori della base e a fare degli scambi, ti ritrovi davanti una matrice alla Sylvester. In parole povere: trova una base ortogonale, e poi guardi quanti autovalori positivi ha la matrice.Quello è l'indice di positività. E così via per gli altri due numeretti della segnatura
Per Paolo 90: è sbagliato dire così di botto che calcolo la segnatura di una matrice contando il segno dei suoi autovalori. Ciò è vero solo se la matrice è definita positiva. Solo in tal caso posso vedere A sia come prodotto scalare che come applicazione.
Va bene. Grazie mille 
Come faccio a scegliere la base da ortogonalizzare?
è indifferente, basta che ne prendi una...
RIGUARDO AL MIO PENULTIMO POST mi sono sbagliato. Il teorema spettrale lo applico alla coppia $(A,\phi)$, dove A è l'applicazione indotta dalla matrice simmetrica A, e $\phi$ è il prodotto scalare euclideo, cioè la cui matrice associata è l'identità. Il teorema spettrale mi dice che c'è una base ortonormale di autovettori per f, ovvero esiste una matrice M ortogonale tale che
$M^(-1) A M = D$ con D diagonale. Poichè M è ortogonale, $M=M^t$, per cui la relazione sopra si riduce a
$M^t A M = D$.
Morale: A e D sono congruenti. Questo significa che, a meno di riordinamenti e normalizzazioni, diagonalizzando la matrice A col polinomio caratteristico, trovo la sua "forma di Sylvester".
Traduco in pratica quanto scritto sopra. Voglio la segnatura del prodotto scalare indotto da
$((1,2,0),(2,0,0),(0,0,3))$
PRIMO PASSO: mi trovo gli autovalori. Ne trovo tre distinti
$(1\pm sqrt(5))/2$, $3$.
Ho due autovalori positivi e uno negativo. La segnatura del prodotto scalare è (2,1,0).
Ovviamente per ogni autovalore devi calcolarti la dimensione degli autospazi per capire "quante volte" compare nella matrice diagonalizzata...
RIGUARDO AL MIO PENULTIMO POST mi sono sbagliato. Il teorema spettrale lo applico alla coppia $(A,\phi)$, dove A è l'applicazione indotta dalla matrice simmetrica A, e $\phi$ è il prodotto scalare euclideo, cioè la cui matrice associata è l'identità. Il teorema spettrale mi dice che c'è una base ortonormale di autovettori per f, ovvero esiste una matrice M ortogonale tale che
$M^(-1) A M = D$ con D diagonale. Poichè M è ortogonale, $M=M^t$, per cui la relazione sopra si riduce a
$M^t A M = D$.
Morale: A e D sono congruenti. Questo significa che, a meno di riordinamenti e normalizzazioni, diagonalizzando la matrice A col polinomio caratteristico, trovo la sua "forma di Sylvester".
Traduco in pratica quanto scritto sopra. Voglio la segnatura del prodotto scalare indotto da
$((1,2,0),(2,0,0),(0,0,3))$
PRIMO PASSO: mi trovo gli autovalori. Ne trovo tre distinti
$(1\pm sqrt(5))/2$, $3$.
Ho due autovalori positivi e uno negativo. La segnatura del prodotto scalare è (2,1,0).
Ovviamente per ogni autovalore devi calcolarti la dimensione degli autospazi per capire "quante volte" compare nella matrice diagonalizzata...
Allora, probabilmente è perché ho troppe idee sparse per la testa e non riesco a capire.
Il mio problema è questo: ho questa matrice $A=((2,1,-1),(2,2,0),(-1,0,0))$. Il problema mi dice di trovare rango e segnatura. Il rango sono in grado di trovarlo. Per quanto riguarda la segnatura, potresti farmi vedere dettagliatamente, passaggio per passaggio come si fa? Domani ho l'esame di Geometria 1 ed è l'ultima cosa che mi manca da capire.
Il mio problema è questo: ho questa matrice $A=((2,1,-1),(2,2,0),(-1,0,0))$. Il problema mi dice di trovare rango e segnatura. Il rango sono in grado di trovarlo. Per quanto riguarda la segnatura, potresti farmi vedere dettagliatamente, passaggio per passaggio come si fa? Domani ho l'esame di Geometria 1 ed è l'ultima cosa che mi manca da capire.
1). Calcola gli autovalori di questa matrice, facendo il polinomio caratteristico.
2). Per ogni autovalore calcola le dimensioni degli autospazi. Se $\lambda$ è un autovalore, la dimensione di $V(\lambda)$ ti dice "quante volte" nella matrice diagonalizzata compare l'autovalore lambda.
3). Ottieni quindi che A è simile alla matrice diagonale B ottenuta nel punto precedente, ovvero $B=M^(-1) A M$, con M ortogonale.
4). Poichè M è ortogonale, si ha $M^(-1) = M^t$, per cui si ha $B = M^t A M$
5). Posso quindi concludere che la matrice diagonale B è congruente ad A, per cui la segnatura di A è uguale alla segnatura di B.
6). La segnatura di B si calcola banalmente: conta quanti sono gli autovalori positivi di B. Quello è $i_+$. Conta il numero di autovalori negativi. Quello è $i_-$. Calcola la dimensione del ker di B. Quello che trovi è $i_0$.
7). La tripletta (i+,i-,i0) è anche la segnatura di A.
2). Per ogni autovalore calcola le dimensioni degli autospazi. Se $\lambda$ è un autovalore, la dimensione di $V(\lambda)$ ti dice "quante volte" nella matrice diagonalizzata compare l'autovalore lambda.
3). Ottieni quindi che A è simile alla matrice diagonale B ottenuta nel punto precedente, ovvero $B=M^(-1) A M$, con M ortogonale.
4). Poichè M è ortogonale, si ha $M^(-1) = M^t$, per cui si ha $B = M^t A M$
5). Posso quindi concludere che la matrice diagonale B è congruente ad A, per cui la segnatura di A è uguale alla segnatura di B.
6). La segnatura di B si calcola banalmente: conta quanti sono gli autovalori positivi di B. Quello è $i_+$. Conta il numero di autovalori negativi. Quello è $i_-$. Calcola la dimensione del ker di B. Quello che trovi è $i_0$.
7). La tripletta (i+,i-,i0) è anche la segnatura di A.
E la matrice $M$ come la scelgo? Che valori do ad $M$?
"Paolo90":
Guarda che è semplicissimo calcolare la segnatura di una forma quadratica.
Sei capace a trovare gli autovalori della matrice?
Se sei capace, ti basta trovare gli autovalori e contare quanti sono quelli positivi e quelli negativi; metti di avere una matrice di ordine $n$ con $k$ autovalori positivi e $h$ autovalori negativi: la segnatura è $(k,h)$.
P.S. Ti faccio notare che $k+h<=n$.
scusami lo ''0'' va nei numeri positivi o nei negativi ? e i0 cosa sarebbe? Grazie
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