Sottospazi vettoriali

[supermaschio]

Buon giorno , è da varie ore che cerco di risolvere questo esercizio ma non trovo delle vie di sbocco.
L'esercizio è il seguente :
Nello spazio vettoriale R[x] , dire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi vettoriali :
1) U={p(x) e R[x] | p(0)=0}
2) U={p(x) e R[x] | p(0)=1}
3) U={p(x) e R[x] | p(1)=0}
4) U={p(x) e R[x] | p(0)=p(1)=0}
5) U={p(x) e R[x] | p(0)*p(1)=0}


io so che per essere un insieme un sottospazio deve essere chiuso per la somma , per la moltiplicazione e il vettore 0 deve esistere . Ma in questa problema non so proprio come procedere, spero che mi possiate aiutare !

[donald_zeka]

Cos'è p(x)? Un polinomio?

[supermaschio]

Si scusami, è un polinomio

[donald_zeka]

Hai quindi che quei sottoinsiemi sono formati da dei polinomi che rispettano quelle caratteristiche, per verificare che siano anche sottospazi devi verificare che la somma di due polinomi con quelle caratteristiche rispetta ancora quelle caratteristiche e che il prodotto di un polinomio con quelle caratteristiche ha ancora quelle caratteristiche; Ti faccio un esempio col primo e poi prova a fare gli altri allo stesso modo:

$U={p(x) in R[x] | p(0)=0$

Siano $p_1(x)$ e $p_2(x)$ due polinomi che appartengono a $U$, e sia $p_3(x)=p_1(x)+p_2(x)$, dobbiamo dimostrare che $p_3(x)$ appartiene a $U$:

$p_3(0)=p_1(0)+p_2(0)=0+0=0 ->$ chiuso rispetto alla somma

Sia adesso $p_4(x)=kp_1(x)$, dobbiamo dimostrare che $p_4(x)$ appartiene a $U$:

$p_4(0)=k*p_1(0)=k*0=0$

[supermaschio]

ah penso di aver capito ! Grazie mille per l'aiuto !

[supermaschio]

Svolgendo la seconda U={p(x) e R[x] | p(0)=1} mi è venuto un dubbio , io ho fatto Ptre (0)=Pdue(0)+Puno(0) quindi 1+1=0 cosa impossibile e quindi non è chiuso per la somma ed automaticamente non è un sottospazio .
Ho ragionato bene?

[donald_zeka]

Perché $1+1=0$? Quanto deve valere $p_3(0)$ affinché sia un sottospazio?
Ricordati che $p_3(x)$ deve avere la stessa proprietà di $p_1(x)$ e $p_2(x)$

[supermaschio]

Affinchè sia un sottospazio Ptre deve valere 1 pero' la somma di Puno e Pdue vale 1+1 quindi 2 e quindi Ptre vale automaticamente 2 e non rispetta P(0)=1 del testo e quindi non è un sottospazio , così è giusto ?

[donald_zeka]

Adesso si

[supermaschio]

Grazie mille mi hai fatto capire benissimo questo tipo di argomento !

[supermaschio]

Scusami un'altra domanda , sto facendo degli esercizi per capire meglio l'argomento dei sottospazi vettoriali ed ho un altro esercizio poco chiaro, posso postarlo in questo post o ne devo fare un altro anche se l'argomento è lo stesso ?

[donald_zeka]

Se l'argomento è lo stesso puoi postarlo anche qua

[supermaschio]

Ok grazie , l'esercizio che mi sta dando dei problemi è il seguente :
siano u,v,w tre vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale reale V. Provare che per ogni scelta di a,b,c appartenenti a R i vettori u, v+av,w+bu+cv sono ancora linearmente indipendenti .

Io ho pensato che per essere indipendenti tre vettori la a ,b e c devono essere uguali a 0, però per dimostrarlo per i vettori u, v+av,w+bu+cv, non ho proprio idea di come si faccia

[donald_zeka]

Prendi quei tre vettori e fanne una combinazione lineare con coefficienti $x,y,z$, devi dimostrare quindi che:

$xu+y(v+av)+z(w+bu+cv)=0$ se e solo se $x=y=z=0$

Sapendo ovviamente che $u,v,w$ sono indipendenti...svolgi quei prodotti e riscrivi il tutto in funzione di u,v e w

[supermaschio]

allora ho capito come ha impostato la soluzione ed ho riscritto i prodotti in funzione di u, v e w e mi viene:
u(z+zb)+v(y+ya+zc)+wz=0 quindi adesso vedendo questa equazione capisco che a , b e c possono essere qualsiasi valore ma quello che conta di nuovo è che per far uscire 0 u,v e w devono essere uguali a 0 .
Non so se ho capito bene perchè senno a mio rammarico ho bisogno di un ulteriore spiegazione

[donald_zeka]

No aspetta. Quello che hai ottenuto svolgendo i prodotti è una "combinazione lineare" di $u,v,w$ e l'hai uguagliata a zero. Per ipotesi sai però che $u,v,w$ sono linearmente indipendenti, ossia l'unico modo per avere il vettore zero attraverso una loro combinazione lineare è che i coefficienti siano tutti zero. Tu quindi hai dei coefficienti davanti a $u,v, w$ e quindi cosa puoi dire riguardo a questi coefficienti?

[supermaschio]

ah giusto che cretino , devo dire che (x+zb) , (y+ya+zc) e z devono essere uguali a 0 cosi da ottenere il vettore nullo e confermare che sono linearmente indipendenti, giusto ?

[donald_zeka]

Devi dire che quei tre coefficienti "devono essere" uguali a zero perché per ipotesi $u,v,w$ sono indipendenti, ma da qui dimostrare con un ulteriore passaggio che se quei tre coefficienti sono uguali a zero allora lo sono anche $x,y,z$, che era quello che dovevi dimostrare...

[donald_zeka]

Cioè, tu non vuoi dimostrare che $u,v,w$ sono indipendenti, questo lo sai per ipotesi, vuoi dimostrare che lo sono $u, v+av,w+bu+cv$ e per farlo devi dimostrare che i coefficienti $x,y,z$ sono uguali a zero, non che lo sono i coefficienti di $u,v,w$, quello è vero per ipotesi.

[supermaschio]

Grazie , mi hai fatto capire entrambi gli esercizi in maniera davvero egregia , per oggi non la disturbo più che ho già abusato abbastanza , grazie tante ancora !