Dimostrazioni su autovettori
Salve a tutti,
stavo sistemando delle dimostrazioni e vorrei chiedervi se più o meno vanno bene.
Quella che al momento mi interessa è molteplicità algebrica = molteplicità geometrica se e solo se esiste una base di autovettori per $C^n$.
Ecco come l'ho impostata (l'ho vista in venti secondi quindi non ne sono sicurissimo)
Parte 1: $m_a(\lambda)=m_g(\lambda), \forall \lambda \Rightarrow \exists$ una base $\mathbb{C}^n$ fatta da autovettori.
Devono essere $n$ LI vettori. Sappiamo che autovettori associati a differenti autovettori sono LI per teoremi precedenti. In aggiunta sappiamo che autospazi associati a diversi autovalori sono linearmente indipendenti (non si intersecano). Quindi i vettori LI devono essere uguali a $$\sum_i m_g(\lambda_i)=\sum_i m_a(\lambda_i)=n$$
Quindi abbiamo $n$ vettori LI che sono una base.
Parte 2: $\exists$ a basis of $\mathbb{C}^n$ fatta da autovettori$\Rightarrow$ $m_a(\lambda)=m_g(\lambda), \forall \lambda$.
Assumiamo che non lo siano. $\exists \lambda \in \sigma(A) : m_g(\lambda)
Ora mi chiedo:
1) è giusta? può andare?
2) perché vale questa relazione $$\sum_i m_g(\lambda_i)=\sum_i m_a(\lambda_i)=n$$? non potrei avere $10=10<11$, ad esempio? (legando m_g m_a e n)
Grazie
stavo sistemando delle dimostrazioni e vorrei chiedervi se più o meno vanno bene.
Quella che al momento mi interessa è molteplicità algebrica = molteplicità geometrica se e solo se esiste una base di autovettori per $C^n$.
Ecco come l'ho impostata (l'ho vista in venti secondi quindi non ne sono sicurissimo)
Parte 1: $m_a(\lambda)=m_g(\lambda), \forall \lambda \Rightarrow \exists$ una base $\mathbb{C}^n$ fatta da autovettori.
Devono essere $n$ LI vettori. Sappiamo che autovettori associati a differenti autovettori sono LI per teoremi precedenti. In aggiunta sappiamo che autospazi associati a diversi autovalori sono linearmente indipendenti (non si intersecano). Quindi i vettori LI devono essere uguali a $$\sum_i m_g(\lambda_i)=\sum_i m_a(\lambda_i)=n$$
Quindi abbiamo $n$ vettori LI che sono una base.
Parte 2: $\exists$ a basis of $\mathbb{C}^n$ fatta da autovettori$\Rightarrow$ $m_a(\lambda)=m_g(\lambda), \forall \lambda$.
Assumiamo che non lo siano. $\exists \lambda \in \sigma(A) : m_g(\lambda)
Ora mi chiedo:
1) è giusta? può andare?
2) perché vale questa relazione $$\sum_i m_g(\lambda_i)=\sum_i m_a(\lambda_i)=n$$? non potrei avere $10=10<11$, ad esempio? (legando m_g m_a e n)
Grazie
Risposte
Le dimostrazioni tornano abbastanza.
La disuguaglianza che proponi alla fine non puo' essere vera perche' sui complessi il polinomio caratteristico si spezza completamente e quindi la somma delle molteplicita' algebriche deve essere uguale al numero di radici e percio' coincide con la dimensione.
La disuguaglianza che proponi alla fine non puo' essere vera perche' sui complessi il polinomio caratteristico si spezza completamente e quindi la somma delle molteplicita' algebriche deve essere uguale al numero di radici e percio' coincide con la dimensione.
Grazie, potresti inviarmi un link dove è spiegato questo fatto?
Si chiama teorema fondamental dell'algebra. Un polinomio di grado $n$ a coefficienti complessi ha $n$ radici complesse (contate con molteplicita'). Equivalentemente $\mathbb{C}$ e' algebricamente chiuso.
Quel teorema lo conosco (anche se da una sola settimana). Però, forse ho capito, la somma delle molteplicità algebriche essendo un polinomio di ennesimo grado deve avere necessariamente $n$ radici, quindi la somma delle molt. alg. deve essere sempre $n$? Giusto?
Potremmo dire che vale $1\leq m_g\leq m_a \leq n$ e $1 \leq \sum_i m_g(\lambda_i) \leq sum_i m_a(\lambda_i) =n$?
Potremmo dire che vale $1\leq m_g\leq m_a \leq n$ e $1 \leq \sum_i m_g(\lambda_i) \leq sum_i m_a(\lambda_i) =n$?
Esatto.
Grazie mille!
Rieccomi qui.
Questa volta col teorema:
Matrice diagonalizzabile <=> ammette base di autovettori in R^n
$\exists U : D:=U^{-1}AU$ diag.$\Rightarrow \exists$ base di $\mathbb{R}^n$ fatta da autovettori.
Sappiamo che le colonne di $U$ sono LI perché $U$ è invertibile. Se prendiamo la base canonica$\phi(e_i)=\lambda_i e_i$, la matrice $M_A(\phi)=(\phi(e_1) ... \phi(e_n))$ è diagonale.
Osservazione: chi mi dice che \phi(e_i) è autovettore?
$\exists$ base di $\mathbb{R}^n$fatta da autovettori $\Rightarrow \exists U : D:=U^{-1}AU$ diag.
basta prendere $U$ dove le colonne sono autovettori li. Col cambio di base abbiamo $D:=U^{-1}AU$ diagonale.
Osservazione: non mi convince per nulla, mi sembra quasi stiamo usando la tesi.
Come posso sistemare la dimostrazione?
Questa volta col teorema:
Matrice diagonalizzabile <=> ammette base di autovettori in R^n
$\exists U : D:=U^{-1}AU$ diag.$\Rightarrow \exists$ base di $\mathbb{R}^n$ fatta da autovettori.
Sappiamo che le colonne di $U$ sono LI perché $U$ è invertibile. Se prendiamo la base canonica$\phi(e_i)=\lambda_i e_i$, la matrice $M_A(\phi)=(\phi(e_1) ... \phi(e_n))$ è diagonale.
Osservazione: chi mi dice che \phi(e_i) è autovettore?
$\exists$ base di $\mathbb{R}^n$fatta da autovettori $\Rightarrow \exists U : D:=U^{-1}AU$ diag.
basta prendere $U$ dove le colonne sono autovettori li. Col cambio di base abbiamo $D:=U^{-1}AU$ diagonale.
Osservazione: non mi convince per nulla, mi sembra quasi stiamo usando la tesi.
Come posso sistemare la dimostrazione?
\(\Rightarrow\): Supponiamo che esista una matrice invertibile $U$ tale che $U^{-1} A U = D$ e' diagonale. I vettori della base canonica sono autovettori per $D$ (perche'?).
Definiamo $v_i = Ue_i$ (che sarebbe in coordinate la $i$-esima colonna di $U$). Osserviamo dunque che $v_i$ e' autovettore di $A$ con autovalore $\lambda_i$. Prova a dimostrarlo, osservando che $U^{-1} A U = D$ implica $AU = UD$.
\( \Leftarrow \): Supponiamo che $v_1 , ... , v_n$ sia una base di autovettori per $A$ e sia $B$ la matrice associata all'applicazione lineare di $A$ nella base $v_1,...,v_n$? Per definizione la $j$-esima colonna di $B$ ha come entrate le coordinate di $Av_i$ nella base $v_1 , ... ,v_n$. Osserviamo dunque che $B$ e' diagonale. Chiamiamo $U$ (o forse $U^{-1}$, a seconda delle convenzioni) la matrice del cambio di base e vinciamo.
Prova a riempire i gap che ho lasciato io e vedi se ti torna tutto.
Definiamo $v_i = Ue_i$ (che sarebbe in coordinate la $i$-esima colonna di $U$). Osserviamo dunque che $v_i$ e' autovettore di $A$ con autovalore $\lambda_i$. Prova a dimostrarlo, osservando che $U^{-1} A U = D$ implica $AU = UD$.
\( \Leftarrow \): Supponiamo che $v_1 , ... , v_n$ sia una base di autovettori per $A$ e sia $B$ la matrice associata all'applicazione lineare di $A$ nella base $v_1,...,v_n$? Per definizione la $j$-esima colonna di $B$ ha come entrate le coordinate di $Av_i$ nella base $v_1 , ... ,v_n$. Osserviamo dunque che $B$ e' diagonale. Chiamiamo $U$ (o forse $U^{-1}$, a seconda delle convenzioni) la matrice del cambio di base e vinciamo.
Prova a riempire i gap che ho lasciato io e vedi se ti torna tutto.
"Pappappero":
\(\Rightarrow\): Supponiamo che esista una matrice invertibile $U$ tale che $U^{-1} A U = D$ e' diagonale. I vettori della base canonica sono autovettori per $D$ (perche'?).
=> perché essendo diagonale leggo gli autovalori direttamente sulla diagonale principale ed è evidente che quando si risolve il sistema lineare vengono come autovettori $\lambda_1(1,0,...,0); \lambda_2 (0,1,0,...,0)$ etc.
Però in questo caso stiamo ragionando su $D$ mentre dobbiamo riferirci ad $A$ (che dovrebbe essere il quesito successivo).
Definiamo $v_i = Ue_i$ (che sarebbe in coordinate la $i$-esima colonna di $U$). Osserviamo dunque che $v_i$ e' autovettore di $A$ con autovalore $\lambda_i$. Prova a dimostrarlo, osservando che $U^{-1} A U = D$ implica $AU = UD$.
Non sono sicuro ma potrebbe essere che (nel caso $i=1$) se $Av_1$ è la prima colonna di $AU$ allora deve essere la prima di $UD$. Ma la prima di $UD$ dovrebbe essere $\lambda_1v_1$ quindi $Av_1=\lambda_1v_1$ ergo è autovettore associato a $\lambda_1$?
\( \Leftarrow \): Supponiamo che $v_1 , ... , v_n$ sia una base di autovettori per $A$ e sia $B$ la matrice associata all'applicazione lineare di $A$ nella base $v_1,...,v_n$? Per definizione la $j$-esima colonna di $B$ ha come entrate le coordinate di $Av_i$ nella base $v_1 , ... ,v_n$. Osserviamo dunque che $B$ e' diagonale. Chiamiamo $U$ (o forse $U^{-1}$, a seconda delle convenzioni) la matrice del cambio di base e vinciamo.
Come possiamo dire che $B$ è diagonale? So che è così, ma se volessi essere un po' più preciso come potrei dire?
"Fregior":
[cut]
Non sono sicuro ma potrebbe essere che (nel caso $i=1$) se $Av_1$ è la prima colonna di $AU$ allora deve essere la prima di $UD$. Ma la prima di $UD$ dovrebbe essere $\lambda_1v_1$ quindi $Av_1=\lambda_1v_1$ ergo è autovettore associato a $\lambda_1$?
Prendiamo $v_i = Ue_i$. Vogliamo dimostrare che $A v_i = \lambda_i v_i$. Infatti $Av_i = AUe_i = UDe_i = U(\lambda_i e_i) = \lambda_i Ue_i = \lambda_i v_i$.
Come possiamo dire che $B$ è diagonale? So che è così, ma se volessi essere un po' più preciso come potrei dire?
La $i$-esima colonna di $B$ e' il vettore delle coordinate di $Av_i$ nella base $v_1, ... , v_n$. Ma siccome $v_i$ e' autovettore di $A$ con autovalore $\lambda_i$, queste coordinate sono $0$ nella direzione $v_j$ per $j \ne i$ e $\lambda_i$ nella direzione di $v_i$. Quindi la $i$-esima colonna di $B$ e' $[0,...,0,\lambda_i,0...0]^T$ dove $\lambda_i$ e' all'$i$-esima entrata.
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