Non capisco la geometria algebrica.
Ho molti dubbi, per ora mi limito a esporre il primo: perché i morfismi sono quelli?
Ogniqualvolta si introduce una nuova classe di oggetti matematici si danno delle motivazioni più o meno intuitive dei concetti e delle proprietà che si vogliono formalizzare. Perciò si definiscono i morfismi e gl'isomorfismi in modo tale che queste proprietà siano conservate. Ad esempio, gli omeomorfismi tra spazi topologici sono precisamente le applicazioni che conservano gli aperti (o meglio che inducono biiezioni sia tra gli insiemi che tra le topologie).
Ora, non mi è affatto chiaro perché tra varietà algebriche, diciamo affini, i morfismi debbano essere le applicazioni indotte da applicazioni polinomiali. Non mi è chiaro cioè cosa si voglia studiare effettivamente, non mi sono chiare quali siano le proprietà geometriche d'interesse. Il fatto che i morfismi corrispondano esattamente agli omomorfismi tra gli anelli delle coordinate non mi è granché d'aiuto (e non mi è chiara neppure la necessità d'introdurre gli anelli delle coordinate).
Ogniqualvolta si introduce una nuova classe di oggetti matematici si danno delle motivazioni più o meno intuitive dei concetti e delle proprietà che si vogliono formalizzare. Perciò si definiscono i morfismi e gl'isomorfismi in modo tale che queste proprietà siano conservate. Ad esempio, gli omeomorfismi tra spazi topologici sono precisamente le applicazioni che conservano gli aperti (o meglio che inducono biiezioni sia tra gli insiemi che tra le topologie).
Ora, non mi è affatto chiaro perché tra varietà algebriche, diciamo affini, i morfismi debbano essere le applicazioni indotte da applicazioni polinomiali. Non mi è chiaro cioè cosa si voglia studiare effettivamente, non mi sono chiare quali siano le proprietà geometriche d'interesse. Il fatto che i morfismi corrispondano esattamente agli omomorfismi tra gli anelli delle coordinate non mi è granché d'aiuto (e non mi è chiara neppure la necessità d'introdurre gli anelli delle coordinate).
Risposte
Titolo: "Non capisco la geometria algebrica."
Commento: "Complimenti!, benvenuto nel club; io devo ancora capire chi me l'ha fatto fare di studiarla... E meno male che è stata una mia libera scelta."
§§§
Fissiamo il campo \(\displaystyle\mathbb{K}\) su cui vogliamo lavorare, e siano \(\displaystyle X=\mathbb{A}^n_{\mathbb{K}}\) e \(\displaystyle Y=\mathbb{A}^m_{\mathbb{K}}\) gli spazi affini (su \(\displaystyle\mathbb{K}\)) di dimensioni, rispettivamente, \(\displaystyle n\) ed \(\displaystyle m\), dotate dello loro topologie di Zariski.
Data una mappa:
\[
\varphi:X\to Y
\]
cosa intendiamo per mappa regolare di spazi affini?
Dato che dev'essere una funzione "buona" tra spazi topologici, la prima richiesta è ovvia: \(\displaystyle\varphi\) dev'essere una funzione continua!
Avendo richiesto (giustamente) che \(\displaystyle\varphi\) sia una funzione continua, si ha che, fissati dei sistemi di coordinate \(\displaystyle x_1,\dots,x_n\) in \(\displaystyle X\) e \(\displaystyle y_1,\dots,y_m\) in \(\displaystyle Y\):
\[
\forall f_1,\dots,f_p\in\mathbb{K}[y_1,\dots,y_m],\,\varphi^{-1}(V(f_1,\dots,f_p))\,\text{è un sottoinsieme chiuso di}\,X
\]
ove \(\displaystyle V(f_1,\dots,f_p)\) è il luogo degli zeri comuni dei dati polinomi \(\displaystyle f_1,\dots,f_p\) in \(\displaystyle Y\); allora:
\[
\exists g_1\,\dots,g_q\in\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]\mid\varphi^{-1}(V(f_1,\dots,f_p))=V(g_1,\dots,g_q).
\]
Ora dobbiamo fare (puah!) i calcoli; dato che non siamo degli sprovveduti, ci ricordiamo (o almeno tu non sei uno sprovveduto e ti ricordi) che:
\[
V(f_1,\dots,f_p)=\bigcap_{i=1}^pV(f_i)\Rightarrow\varphi^{-1}(V(f_1,\dots,f_p))=\dots=\bigcap_{i=1}^p\varphi^{-1}(V(f_i))
\]
quindi, senza ledere la generalità, sia \(\displaystyle p=1\); esplicitamente si ha che:
\[
V(f_1)\equiv V(f)=\{Q\in Y\mid f(Q)=0\},\\
\varphi^{-1}(V(f))=\{P\in X\mid f(\varphi(P))=0\}=\{P\in X\mid(\varphi^{*}(f))(P)=0\}=V(\varphi^{*}(f))
\]
per la continuità della mappa \(\displaystyle\varphi\); dovendo scegliere chi è \(\displaystyle\varphi^{*}(f)\)[nota]Prima di proseguire; si stanno costruendo le mappe regolari di spazi affini su un medesimo campo, con l'intento di estendere successivamente tale concetto alle varietà affini. Quindi è opportuno compiere una scelta in modo che \(\displaystyle\varphi^{*}\) che sia una funzione ben definita.[/nota], la più "naturale" delle scelte possibili è che \(\displaystyle\varphi^{*}(f)\) sia un polinomio[nota]In generale, se \(\displaystyle n=m=1\) allora le topologie di Zariski in gioco sono le topologie cofinite; e ogni funzione biettiva \(\displaystyle\varphi\) di \(\displaystyle\mathbb{A}^1_{\mathbb{K}}\) in sé è continua, quindi non è che sia sempre e comunque \(\displaystyle\varphi^{*}\) una funzione tra anelli di polinomi.[/nota].
Resta così determinata un'unica funzione \(\displaystyle\varphi^{*}\) dall'anello \(\displaystyle\mathbb{K}[y_1,\dots,y_m]\) all'anello \(\displaystyle\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]\).
A questo punto siamo arrivati a una coppia di funzioni \(\displaystyle(\varphi,\varphi^{*})\): la prima è una mappa tra spazi topologici e la seconda è una funzione tra anelli di polinomi (a coefficienti su un campo); dato che stiamo costruendo le mappe regolari di spazi affini, avendo già fatta una richiesta "buona" su \(\displaystyle\varphi\), la richiesta "buona" da proporre a \(\displaystyle\varphi^{*}\) è che sia un morfismo di anelli (commutativi con unità).
Per quanto "deciso", siano:
\[
\forall j\in\{1,\dots,m\},\,\varphi^{*}(y_j)=h_j\in\mathbb{K}[x_1,\dots,x_m],
\]
e si espliciti che:
\[
\varphi:P\in X\to(\varphi_1(P),\dots,\varphi_m(P))\in Y.
\]
Notando innanzi tutto che:
\[
\forall j\in\{1,\dots,m\},\,pr_j:(y_1,\dots,y_m)\in Y\to y_j\in\mathbb{K}\\
\forall f\in\mathbb{K}[z],\,pr_j^{-1}(V(f))=\{(y_1,\dots,y_m)\in Y\mid f(y_j)=0\}=V(f(y_j))
\]
si ha che \(\displaystyle pr_i\) (la \(\displaystyle i\)-esima funzione di proiezione di \(\displaystyle Y\)) è continua e resta definito l'omomorfismo di anelli:
\[
pr_i^{*}:\mathbb{K}[z]\to\mathbb{K}[y_1,\dots,y_m]\mid pr_i^{*}(1)=1,\,pr_i^{*}(z)=y_i
\]
e quindi \(\displaystyle pr_i\) è una funzione regolare[nota]Si fa distinzione tra mappe e funzioni regolari; non è un errore di scrittura.
[/nota] di \(\displaystyle Y\).
Banalmente:
\[
\forall P\in X,j\in\{1,\dots,m\},\,\varphi_j(P)=(pr_j\circ\varphi)(P)
\]
da cui: \(\displaystyle\varphi_j\) è una funzione continua perché funzione composta di funzioni continue, e:
\[
\forall f\in\mathbb{K}[z],\,(\varphi_j)^{-1}(V(f))=(pr_j\circ\varphi)^{-1}(V(f))=\varphi^{-1}(pr_j^{-1}(V(f)))=\varphi^{-1}(V(f(y_j)))=V(f(h_j))
\]
quindi resta definita la funzione:
\[
\varphi_j^{*}=(pr_j\circ\varphi)^{*}:\mathbb{K}[z]\to\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]\mid\varphi_j^{*}(1)=1,\,\varphi_j^{*}(z)=h_j;
\]
si nota facilmente che:
\[
\varphi_j^{*}(z)=(pr_j\circ\varphi)^{*}(z)=h_j=\varphi^{*}(y_j)=\varphi^{*}(pr_j^{*}(z))
\]
da cui \(\displaystyle\varphi_j^{*}=(pr_j\circ\varphi)^{*}=\varphi^{*}\circ pr_j^{*}\), ovvero \(\displaystyle\varphi_j^{*}\) è un omomorfismo di anelli; per la definizione data \(\displaystyle\varphi_j\) è un funzione regolare di spazi affini.
Ricordato che:
\[
\varphi_j^{*}(1)=1=h_j^{*}(1),\,\varphi_j^{*}(z)=h_j=h_j^{*}(z)\Rightarrow\varphi_j^{*}=h_j^{*}
\]
si ha che \(\displaystyle\varphi_j\) ed \(\displaystyle h_j\) determinano lo stesso omomorfismo da \(\displaystyle\mathbb{K}[z]\) a \(\displaystyle\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]\), e per di più:
\[
\forall f\in\mathbb{K}[z],\,(\varphi_j)^{-1}(V(f))=V(f(\varphi_j))=V(f(h_j))=(h_j)^{-1}(V(f))
\]
\(\displaystyle\varphi_j\) ed \(\displaystyle h_j\) determinano la stessa funzione continua da \(\displaystyle X\) a \(\displaystyle\mathbb{K}\).
Per definizione: \(\displaystyle\varphi_j\) ed \(\displaystyle h_j\) sono uguali come funzioni regolari da \(\displaystyle X\) a \(\displaystyle\mathbb{K}\); quindi si arriva alla conclusione che si può scrivere senza ambiguità [nota]Mi spiego meglio!
Sia \(\displaystyle\mathbb{K}=\mathbb{Z}_p\) il campo con \(\displaystyle p\) elementi; considerate le funzioni regolari:
\[
O:x\in\mathbb{Z}_p\to0\in\mathbb{Z}_p,\\
F:x\in\mathbb{Z}_p\to x^p-x\in\mathbb{Z}_p,
\]
si ha che:
\[
\forall x\in\mathbb{Z}_p,\,O(x)=F(x)=0
\]
ma \(\displaystyle O^{*}\) è l'endomorfismo nullo di \(\displaystyle\mathbb{Z}_p[x]\) mentre \(\displaystyle F^{*}\) non è l'endomorfismo nullo; quindi \(\displaystyle O\) ed \(\displaystyle F\) sono la stessa funzione di \(\displaystyle\mathbb{Z}_p\) in sé, ma come funzioni regolari di \(\displaystyle\mathbb{Z}_p\) in sé sono ben distinte![/nota] che:
\[
\varphi:P\in X\to(h_1(P),\dots,h_m(P))\in Y
\]
Con un ragionamento analogo, trovi che fissato l'omomorfismo \(\displaystyle\varphi^{*}\) si determina unicamente la mappa continua \(\displaystyle\varphi\); quindi c'è una corrispondenza biunivoca tra le coppie \(\displaystyle(\varphi,\varphi^{*})\) (propriamente denotata semplicemente come \(\displaystyle\varphi\)) e \(\displaystyle\varphi^{*}\).
Non vado oltre, perché qui inizia la teoria delle categorie (TdC), di cui non c'è ancora il bisogno a questo stadio!
Due domande:
[list=1]
[*:32rrveic]tutto chiaro? Devo spiegarmi meglio in qualche passaggio?[/*:m:32rrveic]
[*:32rrveic]Se, invece, \(\displaystyle X\) e \(\displaystyle Y\) sono sottoinsiemi chiusi, rispettivamente, di \(\displaystyle\mathbb{A}^n_{\mathbb{K}}\) e \(\displaystyle\mathbb{A}^m_{\mathbb{K}}\), come procedi?[/*:m:32rrveic][/list:o:32rrveic]
Note:
[list=a]
[*:32rrveic]ho usato, senza esplicitarlo, il Teorema della Base di Hilbert;[/*:m:32rrveic]
[*:32rrveic]in questo contesto, definisco varietà algebrica affine su \(\displaystyle\mathbb{K}\) un sottoinsieme chiuso e irriducibile di un fissato \(\displaystyle\mathbb{A}^n_{\mathbb{K}}\);[/*:m:32rrveic]
[*:32rrveic]lasciamo stare i sottoinsieme aperti o localmente chiusi... con loro ci sono altri guai e dolori;[/*:m:32rrveic]
[*:32rrveic]prova a consultare Klaus Hulek - Elementary Algebraic Geometry.[/*:m:32rrveic][/list:o:32rrveic]
P.S.: Se proprio vogliamo accennare all'algebra omologica (HA): hai preferenze tra le coomologie?
Commento: "Complimenti!, benvenuto nel club; io devo ancora capire chi me l'ha fatto fare di studiarla... E meno male che è stata una mia libera scelta."
§§§
Fissiamo il campo \(\displaystyle\mathbb{K}\) su cui vogliamo lavorare, e siano \(\displaystyle X=\mathbb{A}^n_{\mathbb{K}}\) e \(\displaystyle Y=\mathbb{A}^m_{\mathbb{K}}\) gli spazi affini (su \(\displaystyle\mathbb{K}\)) di dimensioni, rispettivamente, \(\displaystyle n\) ed \(\displaystyle m\), dotate dello loro topologie di Zariski.
Data una mappa:
\[
\varphi:X\to Y
\]
cosa intendiamo per mappa regolare di spazi affini?
Dato che dev'essere una funzione "buona" tra spazi topologici, la prima richiesta è ovvia: \(\displaystyle\varphi\) dev'essere una funzione continua!
Avendo richiesto (giustamente) che \(\displaystyle\varphi\) sia una funzione continua, si ha che, fissati dei sistemi di coordinate \(\displaystyle x_1,\dots,x_n\) in \(\displaystyle X\) e \(\displaystyle y_1,\dots,y_m\) in \(\displaystyle Y\):
\[
\forall f_1,\dots,f_p\in\mathbb{K}[y_1,\dots,y_m],\,\varphi^{-1}(V(f_1,\dots,f_p))\,\text{è un sottoinsieme chiuso di}\,X
\]
ove \(\displaystyle V(f_1,\dots,f_p)\) è il luogo degli zeri comuni dei dati polinomi \(\displaystyle f_1,\dots,f_p\) in \(\displaystyle Y\); allora:
\[
\exists g_1\,\dots,g_q\in\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]\mid\varphi^{-1}(V(f_1,\dots,f_p))=V(g_1,\dots,g_q).
\]
Ora dobbiamo fare (puah!) i calcoli; dato che non siamo degli sprovveduti, ci ricordiamo (o almeno tu non sei uno sprovveduto e ti ricordi) che:
\[
V(f_1,\dots,f_p)=\bigcap_{i=1}^pV(f_i)\Rightarrow\varphi^{-1}(V(f_1,\dots,f_p))=\dots=\bigcap_{i=1}^p\varphi^{-1}(V(f_i))
\]
quindi, senza ledere la generalità, sia \(\displaystyle p=1\); esplicitamente si ha che:
\[
V(f_1)\equiv V(f)=\{Q\in Y\mid f(Q)=0\},\\
\varphi^{-1}(V(f))=\{P\in X\mid f(\varphi(P))=0\}=\{P\in X\mid(\varphi^{*}(f))(P)=0\}=V(\varphi^{*}(f))
\]
per la continuità della mappa \(\displaystyle\varphi\); dovendo scegliere chi è \(\displaystyle\varphi^{*}(f)\)[nota]Prima di proseguire; si stanno costruendo le mappe regolari di spazi affini su un medesimo campo, con l'intento di estendere successivamente tale concetto alle varietà affini. Quindi è opportuno compiere una scelta in modo che \(\displaystyle\varphi^{*}\) che sia una funzione ben definita.[/nota], la più "naturale" delle scelte possibili è che \(\displaystyle\varphi^{*}(f)\) sia un polinomio[nota]In generale, se \(\displaystyle n=m=1\) allora le topologie di Zariski in gioco sono le topologie cofinite; e ogni funzione biettiva \(\displaystyle\varphi\) di \(\displaystyle\mathbb{A}^1_{\mathbb{K}}\) in sé è continua, quindi non è che sia sempre e comunque \(\displaystyle\varphi^{*}\) una funzione tra anelli di polinomi.[/nota].
Resta così determinata un'unica funzione \(\displaystyle\varphi^{*}\) dall'anello \(\displaystyle\mathbb{K}[y_1,\dots,y_m]\) all'anello \(\displaystyle\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]\).
A questo punto siamo arrivati a una coppia di funzioni \(\displaystyle(\varphi,\varphi^{*})\): la prima è una mappa tra spazi topologici e la seconda è una funzione tra anelli di polinomi (a coefficienti su un campo); dato che stiamo costruendo le mappe regolari di spazi affini, avendo già fatta una richiesta "buona" su \(\displaystyle\varphi\), la richiesta "buona" da proporre a \(\displaystyle\varphi^{*}\) è che sia un morfismo di anelli (commutativi con unità).
Per quanto "deciso", siano:
\[
\forall j\in\{1,\dots,m\},\,\varphi^{*}(y_j)=h_j\in\mathbb{K}[x_1,\dots,x_m],
\]
e si espliciti che:
\[
\varphi:P\in X\to(\varphi_1(P),\dots,\varphi_m(P))\in Y.
\]
Notando innanzi tutto che:
\[
\forall j\in\{1,\dots,m\},\,pr_j:(y_1,\dots,y_m)\in Y\to y_j\in\mathbb{K}\\
\forall f\in\mathbb{K}[z],\,pr_j^{-1}(V(f))=\{(y_1,\dots,y_m)\in Y\mid f(y_j)=0\}=V(f(y_j))
\]
si ha che \(\displaystyle pr_i\) (la \(\displaystyle i\)-esima funzione di proiezione di \(\displaystyle Y\)) è continua e resta definito l'omomorfismo di anelli:
\[
pr_i^{*}:\mathbb{K}[z]\to\mathbb{K}[y_1,\dots,y_m]\mid pr_i^{*}(1)=1,\,pr_i^{*}(z)=y_i
\]
e quindi \(\displaystyle pr_i\) è una funzione regolare[nota]Si fa distinzione tra mappe e funzioni regolari; non è un errore di scrittura.
[/nota] di \(\displaystyle Y\).Banalmente:
\[
\forall P\in X,j\in\{1,\dots,m\},\,\varphi_j(P)=(pr_j\circ\varphi)(P)
\]
da cui: \(\displaystyle\varphi_j\) è una funzione continua perché funzione composta di funzioni continue, e:
\[
\forall f\in\mathbb{K}[z],\,(\varphi_j)^{-1}(V(f))=(pr_j\circ\varphi)^{-1}(V(f))=\varphi^{-1}(pr_j^{-1}(V(f)))=\varphi^{-1}(V(f(y_j)))=V(f(h_j))
\]
quindi resta definita la funzione:
\[
\varphi_j^{*}=(pr_j\circ\varphi)^{*}:\mathbb{K}[z]\to\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]\mid\varphi_j^{*}(1)=1,\,\varphi_j^{*}(z)=h_j;
\]
si nota facilmente che:
\[
\varphi_j^{*}(z)=(pr_j\circ\varphi)^{*}(z)=h_j=\varphi^{*}(y_j)=\varphi^{*}(pr_j^{*}(z))
\]
da cui \(\displaystyle\varphi_j^{*}=(pr_j\circ\varphi)^{*}=\varphi^{*}\circ pr_j^{*}\), ovvero \(\displaystyle\varphi_j^{*}\) è un omomorfismo di anelli; per la definizione data \(\displaystyle\varphi_j\) è un funzione regolare di spazi affini.
Ricordato che:
\[
\varphi_j^{*}(1)=1=h_j^{*}(1),\,\varphi_j^{*}(z)=h_j=h_j^{*}(z)\Rightarrow\varphi_j^{*}=h_j^{*}
\]
si ha che \(\displaystyle\varphi_j\) ed \(\displaystyle h_j\) determinano lo stesso omomorfismo da \(\displaystyle\mathbb{K}[z]\) a \(\displaystyle\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]\), e per di più:
\[
\forall f\in\mathbb{K}[z],\,(\varphi_j)^{-1}(V(f))=V(f(\varphi_j))=V(f(h_j))=(h_j)^{-1}(V(f))
\]
\(\displaystyle\varphi_j\) ed \(\displaystyle h_j\) determinano la stessa funzione continua da \(\displaystyle X\) a \(\displaystyle\mathbb{K}\).
Per definizione: \(\displaystyle\varphi_j\) ed \(\displaystyle h_j\) sono uguali come funzioni regolari da \(\displaystyle X\) a \(\displaystyle\mathbb{K}\); quindi si arriva alla conclusione che si può scrivere senza ambiguità [nota]Mi spiego meglio!
Sia \(\displaystyle\mathbb{K}=\mathbb{Z}_p\) il campo con \(\displaystyle p\) elementi; considerate le funzioni regolari:
\[
O:x\in\mathbb{Z}_p\to0\in\mathbb{Z}_p,\\
F:x\in\mathbb{Z}_p\to x^p-x\in\mathbb{Z}_p,
\]
si ha che:
\[
\forall x\in\mathbb{Z}_p,\,O(x)=F(x)=0
\]
ma \(\displaystyle O^{*}\) è l'endomorfismo nullo di \(\displaystyle\mathbb{Z}_p[x]\) mentre \(\displaystyle F^{*}\) non è l'endomorfismo nullo; quindi \(\displaystyle O\) ed \(\displaystyle F\) sono la stessa funzione di \(\displaystyle\mathbb{Z}_p\) in sé, ma come funzioni regolari di \(\displaystyle\mathbb{Z}_p\) in sé sono ben distinte![/nota] che:
\[
\varphi:P\in X\to(h_1(P),\dots,h_m(P))\in Y
\]
Con un ragionamento analogo, trovi che fissato l'omomorfismo \(\displaystyle\varphi^{*}\) si determina unicamente la mappa continua \(\displaystyle\varphi\); quindi c'è una corrispondenza biunivoca tra le coppie \(\displaystyle(\varphi,\varphi^{*})\) (propriamente denotata semplicemente come \(\displaystyle\varphi\)) e \(\displaystyle\varphi^{*}\).
Non vado oltre, perché qui inizia la teoria delle categorie (TdC), di cui non c'è ancora il bisogno a questo stadio!
Due domande:
[list=1]
[*:32rrveic]tutto chiaro? Devo spiegarmi meglio in qualche passaggio?[/*:m:32rrveic]
[*:32rrveic]Se, invece, \(\displaystyle X\) e \(\displaystyle Y\) sono sottoinsiemi chiusi, rispettivamente, di \(\displaystyle\mathbb{A}^n_{\mathbb{K}}\) e \(\displaystyle\mathbb{A}^m_{\mathbb{K}}\), come procedi?[/*:m:32rrveic][/list:o:32rrveic]
Note:
[list=a]
[*:32rrveic]ho usato, senza esplicitarlo, il Teorema della Base di Hilbert;[/*:m:32rrveic]
[*:32rrveic]in questo contesto, definisco varietà algebrica affine su \(\displaystyle\mathbb{K}\) un sottoinsieme chiuso e irriducibile di un fissato \(\displaystyle\mathbb{A}^n_{\mathbb{K}}\);[/*:m:32rrveic]
[*:32rrveic]lasciamo stare i sottoinsieme aperti o localmente chiusi... con loro ci sono altri guai e dolori;[/*:m:32rrveic]
[*:32rrveic]prova a consultare Klaus Hulek - Elementary Algebraic Geometry.
[/*:m:32rrveic][/list:o:32rrveic]P.S.: Se proprio vogliamo accennare all'algebra omologica (HA): hai preferenze tra le coomologie?
Provo a dare una risposta un po' semplicistica. La geometria algebrica cerca di fare con i sistemi polinomiali quello che fa l'algebra lineare con i sistemi lineari. Il problema è che i polinomi non si comportano così bene come le mappe lineari, e poi è arrivato Grothendieck.
Ho seguito il tuo ragionamento [nota]Ci sono alcuni dettagli che non mi sono del tutto chiari, ma non credo che siano così importanti. Ad esempio non occorre imporre che \(\varphi^{*}(f)\) sia un polinomio?[/nota] ed emerge già il problema: vedo l'algebra ma molto meno la geometria. Una richiesta fondamentale è che \(\varphi^{*}\) sia un omomorfismo, richiesta prettamente algebrica.
Riformulo il problema così. Si sente spesso parlare della dualità tra algebra e geometria. Va bene l'algebra, ma la "geometria" in che consiste?
Riformulo il problema così. Si sente spesso parlare della dualità tra algebra e geometria. Va bene l'algebra, ma la "geometria" in che consiste?
Se non fosse un polinomio non sarebbe geometria algebrica. Insomma è possibile trattare in modo simile le varietà differenziali per esempio. I geometri algebrici sono interessati a curve ellittiche e altri oggetti simili che sono esprimibili attraverso sistemi polinomiali.
"_fabricius_":Eh no: imponendo che \(\displaystyle\varphi\) sia una mappa continua, arrivi alla conclusione che \(\displaystyle\varphi^{*}\) dev'essere una funzione tra anelli di polinomi...
...non occorre imporre che \(\varphi^{*}(f)\) sia un polinomio?...
Attendo altre domande.
"_fabricius_":Grothendieck (R.I.P.) ti risponderebbe (all'incirca e parzialmente) che la geometria è lo studio degli oggetti che sono determinabili dalle "funzioni buone" su di essi.
...Riformulo il problema così. Si sente spesso parlare della dualità tra algebra e geometria. Va bene l'algebra, ma la "geometria" in che consiste?...
"vict85":Giusto per citare un oggetto scemo!
...I geometri algebrici sono interessati a curve ellittiche e altri oggetti simili che sono esprimibili attraverso sistemi polinomiali.
Ma scusa, fissato il polinomio \(\displaystyle f\), per la continuità di \(\displaystyle\varphi\) hai che \(\displaystyle\varphi^{*}(f)=f\circ\varphi\) dev'essere un polinomio[nota]Io l'avevo sottointeso, ora l'ho esplicitato![/nota]; quindi resta definita la funzione:
\[
\varphi^{*}:f\in\mathbb{K}[y_1,\dots,y_m]\to f\circ\varphi\in\mathbb{K}[x_1,\dots,x_m]
\]
oppure no?
\[
\varphi^{*}:f\in\mathbb{K}[y_1,\dots,y_m]\to f\circ\varphi\in\mathbb{K}[x_1,\dots,x_m]
\]
oppure no?
Se ho ben capito stai dicendo che la continuità di \(\varphi\) nella topologia di Zariski implica che \(f\circ \varphi\) sia un polinomio. Ma ciò non è vero: una qualsiasi biiezione \(\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}\) è continua nella topologia di Zariski, e in generale componendola con un polinomio non si ottiene mica un polinomio.
Hai ragione, mi sono lasciato coinvolgere dal fatto che fissato l'omomorfismo \(\displaystyle\varphi^{*}\) si costruisce \(\displaystyle\varphi\)...
Correggendo, ne ho approfittato per dettagliare ulteriormente l'ultima parte della mia prima risposta[nota]...e francamente proprio l'ultimissima parte non mi piace! UPDATE: Ora mi piace!
[/nota], sperando di non aver introdotto altri errori.
Al di là dei miei (potenziali od effettivi) errori; ti faccio notare una cosa: sappiano che due funzioni \(\displaystyle f,g:S\to T\) tra insiemi (non vuoti) coincidono se e solo se:
\[
\forall x\in S,\,f(x)=g(x)\in T;
\]
sappiamo che polinomi distinti possono determinare la medesima funzione polinomiale[nota]Tipo:
\[
O:x\in\mathbb{Z}_p\to0\in\mathbb{Z}_p,\\
F:x\in\mathbb{Z}_p\to x^p-x\in\mathbb{Z}_p
\]
sono entrambe la funzione (polinomiale) nulla, ma i polinomi che le definiscono sono distinti![/nota], per cui il concetto di mappa (o funzione) regolare di spazi (o varietà in senso classico) affini non si può basare unicamente sul prendere le funzioni polinomiali... Serve qualcosa in più!
Almeno su quest'ultima considerazione concordi?
Correggendo, ne ho approfittato per dettagliare ulteriormente l'ultima parte della mia prima risposta[nota]...e francamente proprio l'ultimissima parte non mi piace! UPDATE: Ora mi piace!
[/nota], sperando di non aver introdotto altri errori.Al di là dei miei (potenziali od effettivi) errori; ti faccio notare una cosa: sappiano che due funzioni \(\displaystyle f,g:S\to T\) tra insiemi (non vuoti) coincidono se e solo se:
\[
\forall x\in S,\,f(x)=g(x)\in T;
\]
sappiamo che polinomi distinti possono determinare la medesima funzione polinomiale[nota]Tipo:
\[
O:x\in\mathbb{Z}_p\to0\in\mathbb{Z}_p,\\
F:x\in\mathbb{Z}_p\to x^p-x\in\mathbb{Z}_p
\]
sono entrambe la funzione (polinomiale) nulla, ma i polinomi che le definiscono sono distinti![/nota], per cui il concetto di mappa (o funzione) regolare di spazi (o varietà in senso classico) affini non si può basare unicamente sul prendere le funzioni polinomiali... Serve qualcosa in più!
Almeno su quest'ultima considerazione concordi?
Se ti ho ben seguito, questo qualcosa in più sarebbe richiedere l'esistenza dell'omomorfismo?
Faccio qualche altra considerazione che mi è venuta in mente nei giorni passati. In generale il reticolo delle sottostrutture di una data struttura è rilevante per lo studio una data struttura, inoltre un morfismo di strutture induce una qualche corrispondenza tra le rispettive sottostrutture.
Ora, nel caso delle varietà, sappiamo che le sottovarietà (irriducibili) corrispondono ad ideali (primi) dell'anello delle coordinate. Quindi se imponiamo che un morfismo di varietà induca una corrispondenza tra sottovarietà ne indurrà anche una tra ideali. E un modo naturale di fare ciò è cacciar fuori qualche isomorfismo.
"_fabricius_":Sì, nel senso che la funzione \(\displaystyle\varphi^{*}\) esiste sempre, ma non è detto che sia un omomorfismo di anelli.
...questo qualcosa in più sarebbe richiedere l'esistenza dell'omomorfismo?...
"_fabricius_":Amico: ti stai avvicinando alla teoria degli schemi (di Grothendieck)!
...In generale il reticolo delle sottostrutture di una data struttura è rilevante per lo studio una data struttura, inoltre un morfismo di strutture induce una qualche corrispondenza tra le rispettive sottostrutture.
Ora, nel caso delle varietà, sappiamo che le sottovarietà (irriducibili) corrispondono ad ideali (primi) dell'anello delle coordinate. Quindi se imponiamo che un morfismo di varietà induca una corrispondenza tra sottovarietà ne indurrà anche una tra ideali. E un modo naturale di fare ciò è cacciar fuori qualche isomorfismo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo